1.2.1. Случайные величины и способы их описания.
Случайной называют такую величину, которая в зависимости от случая принимает то или иное численное значение. Поскольку закономерности в появлении этих значений нет, анализ таких величин может производится только методами теории вероятности.
Для характеристики случайной величины необходимо знать совокупность возможных значений этой величины, а также вероятности, с которыми эти значения могут появляться.
Полностью свойства случайной величины описываются функцией распределения F (x), которая определяет вероятность того, что случайная величина Х будет меньше, чем x
F(x)= P (X 
< x 
) (1.14)
где X - определенная случайная величина (реализация), х 
- фиксированное значение величины.
Функция распределения неубывающая функция, определенная так, что F(-¥)=0, а F(+¥)=1.
< 
Наряду с функцией F(x), называемой интегральной, широко применяется дифференциальная функция, обычно называемая плотностьюраспределения ¦ 
¦ 
(1.15)
Плотность распределения 
функция размерная
dim¦(x)=dim 
Плотность распределения указывает как часто появляется случайная величина Х в некоторой окрестности точки х - при повторном опыте
Р (х 
< х < х 
)= 
¦(х) dx = F (x )- F (x ) (1.16)
|
Площадь под кривой ¦(х) равна вероятности появления любого из возможных значений х т.е. равна 1.
¦ 
Для практических целей вместо полного статистического описания свойств совокупности случайных величин х часто ограничиваются только указанием некоторых частных характеристик этой совокупности - моментов распределения - начальных и центральных.
Начальным моментом k -того порядка случайной величины х называют математическое ожидание k -той степени
¦ 
(1.17)
Среди начальных моментов наиболее важным является первый
¦ (1.18)
Первый начальный момент характеризует положение центра распределения - точки, к которой тяготеет совокупность значений случайной величины (значение х -координаты центра тяжести фигуры, образованной осью абсцисс и кривой распределения этой случайной величины).
Центральным моментом k -того порядка случайной величины х называют математическое ожидание k -той степени ее отклонения от среднего значения
¦ (1.19)
Первый центральный момент всегда равен 0
(1.20)
Второй центральный момент 
характеризует рассеивание случайной величины х, разброс ее значений относительно центра группирования и называется дисперсией D 
¦ (1.21)
Размерность дисперсии отлична от размерности случайной величины х, поэтому вместо дисперсии часто применяют положительный корень из нее, который называют средним квадратическим отклонением. (С.К.О)
СКО=s 
s 
(1.22)
Способы статистического описания свойств случайных величин относятся к их бесконечной совокупности.
Поскольку на практике число наблюдений n значений величины х ограничено, по данным такой случайной выборки х 
х ,… х 
определить истинные значения неизвестных параметров распределения m 
и s невозможно. Вместо их определяется только их статистические оценки, которые являясь функциями членов выборки, отклоняются от истинных значений соответствующих параметров.
Оценкой истинного значения математического ожидания случайной величины х является среднее арифметической выборки
(1.23)
При большом числе n значений случайной величины х в выборке, оценки их С.К.О. можно вычислять по формуле
s 
(1.24)
Для малых n применяют формулу Бесселя, в которую вводится поправочный множитель для уменьшения смещения
(1.25)
В практике точных измерений чаще всего имеют дело с нормальным распределением результатов измерения.
Для этого распределения функция плотности распределения и интегральная функция:
¦ 
dx (1.26)
где 
и 
- с.к.о. и мат. ожидание случайной величины х
< 
Особенности нормального распределения
1. Кривая плотности распределения симметрична относительно ординаты, проходящей через точку m 
.
2. Кривая имеет один максимум при x=m
¦ 
3. При 
ветви кривой асимптотически приближаются с оси абсцисс.
4. 
¦ 
¦ 
¦ 
¦ 
1.2.2. Оценка точности измерения одной величины
Пусть истинное значение некоторой величины, которое надо измерить равно 
Для повышения точности измерения 
проводят несколько 
независимых измерений. Вследствие наличия неизбежных ошибок измерения, в каждом замере получают значение этой величины а, отличное от на величину ошибки 
(1.27)
...
Будем считать, что ошибки измерений обусловлены действием только случайных факторов и являются случайными.
Из свойства случайных ошибок известно, что среднее арифметическое случайных ошибок равно нулю при достаточно большом числе измерений
поэтому использовать его для оценки точности измерений нельзя.
Наилучшим критерием является средняя квадратическая ошибка, квадрат которой равен среднему арифметическому квадратов отдельных случайных ошибок
; 
(1.28)
Так как на практике в большинстве случаев значение неизвестно (за исключением измерений по сравнению с эталоном), среднеквадратическая ошибка определяется по формуле Бесселя
, (1.29)
где в качестве оценки истинного значения измеряемой величины принимается ее среднеарифметическое значение 
т.е. полагают = . Это равенство тем точнее, чем больше n.
Важным свойством среднеквадратической ошибки является ее надежность при ограниченном числе измерений.
Ошибки измерений обычно подчиняются нормальному закону распределения с параметрами (рис.1.2.)
- математическое ожидание,
- среднеквадратическое отклонение
(1.30)
Результат измерения также является в этом случае нормально распределенной величиной (
) с параметрами
(1.31)
Как следует из нормального закона распределения ошибка измерения 
величина а в отдельных замерах с вероятностью 0,997 не превосходит 
. Это значение ошибки принимается в качестве максимальной
(1.32)
Практически все результаты отдельных замеров величины а (99,7%) находятся в пределах
< 
< 
(1.33)
Те замеры 
, ошибка которых по абсолютному значению превосходит 
, отбрасывается как явные выбросы.
Таким образом в качестве истинного значения измеряемой величины 
мы принимаем среднее арифметическое значение, а оценку точности производим по значению 
или 
.
1.2.3. Оценка точности определения среднего арифметического
Поскольку число замеров n обычно ограничено, то равенство 
не выполняется точно, а среднее арифметическое 
само является случайной величиной с характеристиками:
мат. ожидание
среднеквадратическое отклонение
Из выражения следует, что при одной и той же точности отдельных измерений , значение 
уменьшается с увеличением числа замеров пропорционально корню квадратному из n.
В пределе
Для оценки абсолютной погрешности 
пользуются понятием доверительного интервала 
и доверительной вероятности 
.
Доверительным интервалом 
соответствующим доверительной вероятности называется интервал длиной 
центром которого является вычисленное значение среднего арифметического и внутри которого с вероятностью заключено истинное значение измеряемой величины .
 |
< < 
(1.34)
Другими словами, вероятность того, что абсолютная погрешность 
не превзойдет 
равна доверительной вероятности
(1.35)
Доверительный интервал характеризует абсолютную ошибку 
определения по значению 
а доверительная вероятность - соответствующую этой точности гарантийную надежность.
По данной доверительной вероятности можно определить доверительный интервал и наоборот.
В зависимости от важности проводимых измерений доверительная вероятность принимается равной 0,5; 0,6; … 0,9; 0,99.
Абсолютную ошибку обычно выражают через относительную длину доверительного интервала 
(1.36)
Для ограниченного числа измерений (n < 10) для определения значения и заданной вероятности 
пользуются законом распределения Стьюдента
, 
, 
(1.37)
Для этого закона рассчитаны таблицы вероятности с двумя входами - и 
с помощью которых по заданной доверительной вероятности и числу измерений n определяется относительный доверительный интервал
Табл.1
| b n -1 | 0,1 | 0,2 | 0,3 |
| 0,158 | 0,325 | 0,510 | |
| 0,142 | 0,289 | 0,445 | |
| 0,137 | 0,277 | 0,224 |
...
при достаточно большом числе измерений n пользуются нормальным законом распределения.
В инженерной практике чаще всего для указания точности измерения величины а вместо доверительного интервала применяют запись вида
, (1.38)
которое справедливо с вероятностью 0,997.
1.2.4. Оценка погрешности вычислений
(косвенные измерения)
При косвенных измерениях, величины 
являются данными для определения посредством вычислений некоторой величины R, которая является известной функцией 
(1.39)
В этом случае возникает необходимость в определении ошибки 
обусловленной ошибками измерения величин 
.
Измеренные значения величин a,b,…r можно представить в виде:
(1.40)
r = 
Тогда:
(1.41)
Разлагая функцию R в ряд Тэйлора по степеням 
получаем:
(чл. в. п.) (1.42)
В разложении ввиду малости ошибок Dа, Db,…Dr можно пренебречь членами второго и высших порядков малости.
Тогда, если 
- истинное значение величины R, то:
(1.43)
а ошибка 
будет равна:
(1.44)
Частные производные 
называют коэффициентами влияния ошибок измерения (первичных ошибок) Dа, Db, Dr.
Частные производные функции R должны вычисляться для истинных значений параметров 
от которых они зависят:
(1.45)
Однако на практике истинные значения измеренных величин 
неизвестны, поэтому коэффициенты влияния вычисляют для средних значений измеренных параметров 
, которые отличаются от истинных значений на величину того же порядка что и ошибки измерения
(1.46)
Это приводит к появлению ошибки второго порядка малости в формуле что несущественно, т.к. вычисляется также с точностью до величин второго порядка малости.
Поскольку ошибки измерения являются случайными ошибками, то величина R и ошибка ее вычисления DR также случайные величины.
Поэтому за истинное значение величины R принимают ее наиболее вероятное значение
(1.47)
где:
...
а точность ее вычисления оценивают среднеквадратической ошибкой 
,
в которой значения Da, Db, … заменены средними квадратическими погрешностями
(1.48)
где:
= 
, 
,
, 
,
...
, 
.
Значения 
характеризуют точность определения истинных значений .
При нормальном законе распределения ошибок измерения с вероятностью 0,997:
Соответственно истинное значение величины R определяется с вероятностью
0,683 
,
0,954 
,
0,997 
.
Степень влияния первичных ошибок измерения величин 
на точность вычисления значения P определяется относительной долей каждого слагаемого в формуле для
,
, (1.49)
…
Для повышения точности определения значения (уменьшение ) необходимо в первую очередь повышать точность измерения той из величин 
коэффициент к которых имеет наибольшее значение.
Рассмотренная методика справедлива, когда измерения величин производится независимо друг от друга.
