Аксиоматическое построение теории аддитивных положительных скалярных величин. Понятие величины и измерение величин в начальном курсе математики. Зависимости между величинами.
Литература: [1] с. 331-334, [3] с. 265-293, [4] с. 108-120, [5] с. 167-175, [6] с.127-133.
ВЕЛИЧИНЫ И ИХ ИЗМЕРЕНИЕ
(задания I уровня)
1А. Верно ли, что: а) 20 см = 0,2 м; б) 45 мин. = 
час; в) 0,75 см2>0,6 дм2?
1Б. Если единицу измерения величины сначала увеличить в 3 раза, а затем уменьшить в 6 раз, то значение величины:
а) увеличится в 3 раза; б) уменьшится в 3 раза;
в) не изменится; г) увеличится в 2 раза.
2А. Верно ли, что: а) 12,5 м = 
км; б) 2 т 50 кг =2050 кг; в) 25 мин > час?
2Б. Единица измерения величины сначала уменьшилась в 4 раза, затем увеличилась в 6 раз. При этом численное значение измеряемой величины:
а) увеличилось в 2 раза; б) уменьшилось в 2 раза;
в) увеличилось в 
раза; г) уменьшилось в раза.
3А. Верно ли: а) 2 дм = 0,2 м; б) 36 км/ч = 10 м/с; в) 1,2 т < 120 ц?
3Б. Единица измерения величины сначала увеличилась в 4 раза, затем уменьшилась в 10 раз. Как изменилось при этом численное значение измеряемой величины:
а) увеличилось в 6 раз; б) увеличилось в 2,5 раза;
в) уменьшилось в 6 раз; г) уменьшилось в 2,5 раза.
4А. Верно ли, что: а) 325 мм=3 м 25 мм; б) 1,8 км/ч=30 м/мин; в) 1125г>1кг?
4Б. Единицу измерения величины сначала увеличили в 5 раз, затем еще увеличили в 6 раз. Как изменилось при этом численное значение измеряемой величины:
а) увеличилось в 30 раз; б) уменьшилось в 1 раз;
в) уменьшилось в 30 раз; г) не изменилось.
5А. Верно ли, что: а) 105 мм=1 дм 5 мм; б) 25ц = 2,5т; в) 90 мин > 5400 сек?
5Б. Единицу измерения величины сначала уменьшили в 60 раз, затем увеличили в 6 раз. При этом численное значение измеряемой величины:
а) уменьшилось в 10 раз; б) увеличилось в 10 раз;
в) увеличилось в 360 раз; г) уменьшилось в 360 раз.
0А. Верно ли, что: а) 95 дм = 9,5 м; б) 20 км/ч = 5 м/с; в) 20 мин 30 сек. = 
час?
Решение:
а) 1 дм = 0,1 м; 95 дм = 95 · 0,1 = 9,5 м – значение верно;
б) 1 км = 1000 м; 1ч = 3600 с;
20 км/ч = 
= 
- значение не неверно;
в) 1 сек = 
мин; 30 сек = 
;
20 мин 30 сек = 20 мин + 
= 20 
;
1 час = 60 мин; 
- значение верно.
0Б. Единицу измерения величины сначала уменьшили в 5 раз, затем увеличили во столько же раз. Как изменилось при этом численное значение измеряемой величины:
а) увеличилось в 5 раз; б) уменьшилось в 5 раз;
в) увеличилось в 25 раз; г) не изменилось.
Решение:
Численное значение измеряемой величины не изменилось, т. к. при уменьшении единицы измерения величины в 5 раз, численное значение величины увеличилось в 5 раз, а при увеличении в 5 раз численное значение величины уменьшилось в 5 раз.
Ответ: г (не изменилось).
ВЕЛИЧИНЫ И ИХ ИЗМЕРЕНИЕ
(задания II уровня)
1А. Выразите в более мелких единицах: а) 3 га 2 м2; б) 40 км/ч; в) 17 сут 11 час; г) 3°24¢; д) 22 т 10ц 3 кг; е) 401 м3.
1Б. Выразите в более крупных единицах: а) 75000 мм2; б) 17902 см3; в) 7432 сек; г) 22 г; д) 36¢ 4²; е) 300 м/с.
2А. Выразите в более мелких единицах: а) 17 км2 25 га; б) 60 км/мин; в) 23 сут 20 мин; г) 45°25¢; д) 0,604 т; е) 10 м3 3 дм3.
2Б. Выразите в более крупных единицах: а) 17040 см2; б) 23715 дм3; в) 12132 мин; г) 3112 г; д) 25¢ 11²; е) 70 м/с.
3А. Выразите в более мелких единицах: а) 2 км2 45000 м2; б) 76 км/ч; в) 3 сут 25 мин; г) 7°17¢; д) 123 ц 2 кг; е) 40 м3.
3Б. Выразите в более крупных единицах: а) 32 см2; б) 12300 мм3; в) 25 мин; г) 170 кг; д) 69¢ 2²; е) 11м/с.
4А. Выразите в более мелких единицах: а) 75 га 31 м2; б) 25 км/ч; в) 47 сут. 2 час.; г) 25°59¢; д) 17 т 
ц; е) 1 
м3.
4Б. Выразите в более крупных единицах: а) 326 мм2; б) 117 дм3; в) 246 сек; г) 95 г; д) 15¢ 3²; е) 19 м/с.
5А. Выразите в более мелких единицах: а) 45 га 13 ар; б) 17 км/ч; в) 13 сут. 14 час.; г) 
° 2¢; д) т 10 ц; е) 3 м3 2 дм3.
5Б. Выразите в более крупных единицах: а) 86,5 м2; б) 253 см3; в) 19 мин; г) 
кг; д) 62¢ 11²; е) 27 м/с.
0А. Выразите в более мелких единицах: а) 0,2 га 30 м2; б) 23 км/ч; в) 
сут. 2 час; г) ° 30¢; д) 0,7 т 2 кг; е) 17 м3 30 дм3.
Решение:
а) 1 га = 10000 м2; 0,2 га = 10000 · 0,2 = 2000 м2;
0,2 га 30 м2 = 2000 м2 + 30 м2 = 2030 м2.
б) 23 км/ч = 
м/с.
в) сут. = 12 час; сут. 2 час = 12 час + 2 час = 14 час.
г) 1° = 60¢; ° = · 60¢ = 
= 20 · 2 = 40¢;
°30¢ = 40¢ + 30¢ = 70¢.
д) 1 т = 1000 кг; 0,7 т = 0,7 · 1000 = 700 кг;
0,7 т 2 кг = 700 кг + 2 кг = 702 кг.
е) 1 м3 = 1000 дм3; 17 м3 = 17000 дм3;
17 м3 30 дм3 = 17000 дм3 + 30 дм3 = 17030 дм3.
0Б. Выразите в более крупных единицах: а) 192 м2; б) 2174 мм3; в) 22 мин; г) 
кг; д) 46¢ 33²; е) 79 м/с.
Решение:
а) 1 км2 = 1000000 м2; 192 м2 = 0,000192 км2.
б) 1 м3 = 1000000000 мм3; 2174 мм3 = 0,00002174 м3.
в) 1 мин = 
; 22 мин = 
час = 
час.
г) 1 ц = 100 кг; кг = 
ц.
д) 1′= °; 1″ = 
°; 46′33″ = 46 
=(46 )′ ∙ = 
°.
е) 1 м =0, 001 км; 1с = час; 79 м/с = 
км/ч = 284,4 км/ч.
ВЕЛИЧИНЫ И ИХ ИЗМЕРЕНИЕ
(задания III уровня)
1А. Масштаб карты 1: 200000. Чему равно расстояние на местности, если на карте оно составляет 1 дм 5 см 2 
мм? Ответ дайте в километрах.
1Б. Вычислите: а) 54 км/ч + 25 м/с = … м/мин; б) 1 га + 
км2 = …ар; в) 27 см2 + 2 дм2 = … мм2; г) 5 ч 14 мин 24 сек. – 2 ч 24 мин 36 сек = … мин; д) 12 дм 8 см 9 мм ・8 =….
2А. Норма посева льна 50 кг на гектар. Сколько потребуется семян льна, чтобы засеять прямоугольный участок земли, размеры которого на плане в масштабе 1:10000 равны 17 см ´ 5 см?
2Б. Вычислите: а) 15 км/ч + 15 м/с = … м/мин; б) 885 см2 + 5,8 дм2 = … мм2; в) 3 
га + 
км2 = …ар; г) 19 дм 8 см 7 м ・6 = …; д) 17 ч 35 мин 24 сек: 3 = ….
3А. Масштаб карты 1:300000. Чему равно расстояние на местности, если на карте оно соответствует 1 дм 2 см 5 мм? Ответ дайте в км.
3Б. Вычислите: а) 9 км/ч + 10 м/с = … м/мин; б) 45 см2 + 4,5 дм2 = … мм2; в) 2 
га + 
км2 = …ар; г) 11 дм 7 см 8 мм ・5 = …; д) 11 ч 47 мин 36 сек: 3 = ….
4А. Длина реки составляет 328 км. Какова длина этой реки на карте, если масштаб карты 1:12000?
4Б. Вычислите: а) 18 км/ч + 45 м/с = … м/мин; б) 105 см2 + 4,2 дм2 = … мм2; в) 1 га + 
км2 = …ар; г) 7 дм 2 см 4 мм ・9 =…; д) 3 ч 12 мин 45 сек: 9 = ….
5А. Длина одного поля в масштабе 1:10000 показана отрезком в 4,5 см, длина другого поля в масштабе 1:15000 – отрезком в 3 см. Какое поле длиннее и на сколько?
5Б. Вычислите: а) 25 км/ч + 4 м/с = … м/мин; б) 12 см2 + 45 дм2 = … мм2; в) 3 га + км2 = …ар; г) 3 ч 12 мин 10 сек – 1 ч 28 мин 34 сек = … мин; д) 17 дм 2 см 2 мм ・9 =….
0А. Масштаб карты 1:250000. Чему равно расстояние на местности, если на карте оно составляет 1 дм 3 см 2 мм? Ответ дайте в км.
Решение:
1 дм = 100 мм; 3 см = 30 мм;
1 дм 3 см 2 мм = 100 мм + 30 мм + 2 мм = 132 мм.
Если 1 мм на карте соответствует 250000 мм на местности, то 132 мм на карте соответствует 250000 · 132 = 33125000 мм на местности.
1 км = 1000000 мм; 33125000 мм = 
33,125 км.
Ответ: 33,125 км.
0Б. Вычислите: а) 17 км/ч + 6 м/с = … м/мин; б) 3 см2 + 14 дм2 = … мм2; в) 9 га + 
км2 = …ар; г) 7 м 3 дм 6 см ・8 = …; д) 23 ч 12 мин 15 сек: 5 = ….
Решение:
а) 17 км/ч + 6 м/с = 
м/с + 6 м/с = 
м/с + 6 м/с = 10 
м/с = = 
м/с = 
м/мин = 643 м/мин;
б) 3 см2 + 14 дм2 = 3 см2 + 1400 см2 = 1403 см2 = 140300 мм2;
в) 9 га + км2 = 
км2 + км2 = 
км2 = 
ар = = 
ар = 966 ар;
г) 7 м 3 дм 6 см ・8 = 56 м 24 дм 48 см = 58 м 8 дм 8 см;
д) 23 ч 12 мин 15 сек: 5 = 2 
ч + 2 
мин + 3 сек = 4 ч 36 мин + 2 мин 24 сек + 3 сек = 4 ч 38 мин 27 сек.
ВЕЛИЧИНЫ И ИХ ИЗМЕРЕНИЕ
(задания IV уровня)
1А. Выполните указанные действия:
(20 м3 50 дм3 – 9 м3 458 дм3 550 см3): (5 м3 408 дм3 400 см3: 1200);
1Б. Выполните указанные действия:
(8 ч 16 мин + 15 ч 46 мин): 12 + (1 ч 15 мин 30 сек – 18 мин 40 сек) ・8;
2А. Выполните указанные действия:
(20 а 25 м2 – 7 а 3 м2 9 дм2 – 8 а 50 м2 – 1 а 80 м2 79 дм2): (14 а 28 м2 57 дм2 – 11 а 98 м2 3 дм2);
2Б. Выполните указанные действия:
(27 т 400 кг ・75 – 23 т 800 кг ・5): (80 кг 500 г – 20 кг 200 г) ・0, 25;
3А. Выполните указанные действия:
((25 м3 50 дм3 – 14 м3 458 дм3 550 см3): 5 м3 408 дм3 400 см3): 1200;
3Б. Выполните указанные действия:
(6 сут 23 ч + 1 ч мин) ・2,5 – (5 ч 6 мин 35 сек + 19 ч 54 мин 25 сек);
4А. Выполните указанные действия:
((121 а 80 м2 – 12 а 4 м2 54 дм2) – (90 а – 49 а 84 м2 74 дм2)): (10 а 57 м2 14 дм2 – 5 а 96 м2 6 дм2);
4Б. Выполните указанные действия:
(12,5 м – км: 1,25): 10 м – (0,999 км 1 м – (0,1 м + 0,1 дм): (101 км 200 м 17 см – 1002017 см);
5А. Выполните указанные действия:
((142 га 50 м2 3 дм2 – 6 а 6 м2 21 дм2) – (17 а 60 м2 – 4 а 21м2 58 дм2)): 57 м2 63 дм2 50 см2.
5Б. Выполните указанные действия:
((7 ч 43 мин 37 сек + 5 ч 37 мин 43 сек) + (4 сут 17 мин 23 сек – 44 ч)): 30 ч.
ВЕЛИЧИНЫ И ИХ ИЗМЕРЕНИЕ
(задания V уровня)
1. Решите задачу по действиям с объяснением:
Необходимо окрасить двухэтажный дом высотой 8 м, длиной 30 м и шириной 9 м. В доме 40 окон высотой 1 м 80 см и шириной 1 м 15 см, 6 дверей высотой 3 м и шириной 1 м. Чему равна площадь окраски? Сделайте чертеж.
2. Решите задачу по действиям с объяснением:
Сколько рулонов обоев требуется для оклейки комнаты длиной 6 м, шириной 4 м 50 см и высотой 3 м, если руной обоев имеет длину 12 м и полезную ширину 50 см? В комнате есть окно, ширина которого 1 м 50 см и высота 2 м, дверь шириной 1 м и высотой 2 м 25 см. Ответ дайте с точностью до 1. Сделайте чертеж.
3. Решите задачу по действиям с объяснением:
Сколько кирпича пойдет для постройки стен гаража толщиной 40 см и высотой 2 м 50 см, если внутренняя площадь гаража равна 3 м ´ 6 м; в короткой стене гаража – ворота высотой 2 м и шириной 2 м 80 см? В 1 м3 готовой стены 405 кирпичей. Ответ дайте с точностью до 100. Сделайте чертеж.
4. Решите задачу по действиям с объяснением:
Сколько рулонов рубероида длиной 20 м и шириной 1 м необходимо для покрытия крыши здания, если крыша имеет два одинаковых ската, каждый из которых 20м ´ 8 м? На шов между полосами идет 10 см (полосы рубероида укладываются на крыше параллельно коньку). Ответ дайте с точностью до 1. Сделайте чертеж.
5. Решите задачу по действиям с объяснением:
Сколько ведер цилиндрической формы можно изготовить из листа жести размером 1420 мм ´ 710 мм, если ведро имеет высоту 290 мм, длину окружности 660 мм, на боковой шов едет 5 мм с каждого края, на загиб края ведра сверху идет 10 мм, на шов по дну – 5 мм. Дно ведра имеет диаметр 210 мм и на шов по краю дна идет 10 мм. Сделайте чертеж.
ЛИТЕРАТУРА
1. Виленкин Н. Я. Математика / Н. Я. Виленкин, А. М. Пышкало, В. Б. Рождественская [и др.] – М.: Просвещение, 1977. – 352 с.
2. Задачник-практикум по математике. / Н. Я. Виленкин, Н. Н. Лав-рова [и др.]; под ред. Н. Я. Виленкина. – М.: Просвещение, 1977. – 205 с.
3. Кожух І. Р. Матэматыка / І. Р. Кожух. – Мінск: Вышэйшая школа, 1993. – 350 с.
4. Кожух І. Р. Зборнік задач па матэматыцы: вучэб. дапам. для пед. ВНУ / І. Р. Кожух. – Мінск: Вышэйшая школа, 1994. – 162 с.
5. Лаврова Н. Н. Задачник-практикум по математике / Н. Н. Лаврова, Л. П. Стойлова. – М.: Просвещение, 1985. – 180 с.
6. Сендер А. Н. Методология формирования понятия о числе в начальном курсе математики / А. Н. Сендер. – Брест: БрГУ, 2003. – 164 с.
7. Стойлова Л. П. Математика: В 2 ч. / Л. П. Стойлова, Н. Я. Виленкин, Н. Н. Лаврова. – М.: Просвещение, 1990. Ч. 1. – 173 с.
Онискевич Татьяна Сергеевна
МАТЕМАТИКА
В РАЗНОУРОВНЕВЫХ ЗАДАНИЯХ
