Аппроксимация функций, зависящих от одной переменной

Тема 3. Аппроксимация функций

Смысл и постановка задачи аппроксимации функций

Общий смысл задачи аппроксимации функции

Смысл аппроксимации, теорема Вейерштрассе.

Термин «аппроксимация» означает приближенное выражение математических величин (функций, чисел и т.п.) через другие ─ более простые. При этом задается способ измерения отклонения данной величины Y от аппроксимирующей её , задаваемый обычно функцией расстояния . Во многих задачах строят последовательность аппроксимирующих значений величины Y так, чтобы =0. Например, аппроксимацией числа e = 2,7182… можно считать последовательность , или каждый член этой последовательности. При этом , т.е. .

Основополагающей теоремой в теории аппроксимации функций является теорема Вейерштрасса.

Теорема Вейерштрасса. Аппроксимация непрерывной на отрезке [a,b] функции многочленами возможна с любой степенью точности. Это означает, что для всякого малого существует многочлен такой, что .

Постановка задачи аппроксимации применительно к

Обработке экспериментальных данных

1) Общая постановка задачи аппроксимации

Результаты эксперимента по определению неизвестной зависимости , описывающей явление или процесс, заданы в виде таблицы:

¼ ¼

Так как вид аналитического выражения (формулы) для неизвестен, то возникает следующая задача: подобрать для , заданной в виде таблицы, аналитическое выражение такое, чтобы функции f и Q были близки в некотором определённом смысле. Понятие близости функций зависит от конкретной постановки задачи, в зависимости от которой устанавливается соответствующий критерий близости. Аппроксимирующая функция Q ищется в определённом классе функций. После того, как Q найдена, она всюду может быть использована вместо :

. Такая задача называется задачей аппроксимации (приближения) функций.

2) Типы задач аппроксимации:

- задача интерполирования функций;

- задача приближения функций в среднем по методу наименьших квадратов (МНК).

Аппроксимация функций, зависящих от одной переменной

2.1. Задача интерполирования

1) Математический смысл и геометрическая интерпретация задачи интерполирования

Аппроксимирующую функцию Q можно искать в виде полинома степени m:

.

Если при этом предположить, что экспериментальные значения в таблице не имеют погрешности, то естественно принять в качестве критерия близости f (x) и Q (x) равенство их значений в точках , т.е.

.

Такая задача называется задачей интерполирования, а точки – узлами интерполяции. Многочлен Q (x) называется интерполяционным многочленом.

2) Интерполяционный многочлен Лагранжа

а) Определение коэффициентов интерполяционного многочлена канонического вида из решения СЛУ

Задача заключается в том, чтобы построить интерполяционный многочлен единый для всего интервала . Запишем исходный многочлен в каноническом виде:

Он единственен, т. к. степень его на единицу меньше числа узлов (n +1).

Из условий равенства значений этого многочлена в узлах соответствующим заданным табличным значениям путем подстановки в полином значений и приравнивания значений полинома эмпирическим данным , получим следующую систему линейных уравнений (СЛУ) для нахождения его коэффициентов :

.

Эта система уравнений, включает (n +1) уравнение с (n +1) неизвестными коэффициентами и имеет единственное решение, если среди узлов интерполяции нет совпадающих: при .

б) Интерполяционный многочлен Лагранжа

Многочлен Лагранжа имеет вид

, (1)

где – многочлены степени n, удовлетворяющие условиям:

т.е. каждый многочлен обращается в нуль во всех узлах интерполяции за исключением одного i -го, где он равняется единице.

Этим условиям отвечают, например, многочлены вида:

(2)

Подставляя (2) в (1), получим

. (3)

Формула (3) называется интерполяционным многочленом Лагранжа.

Докажем, что этот многочлен является единственным. Допустим противоположное. Пусть существует ещё один многочлен F (x) степени n, принимающий в узлах интерполяции заданные значения, т.е. . Тогда разность , являющаяся многочленом степени n (или ниже), в узлах равна

.

Это означает, что многочлен R (x) степени не больше n имеет (n +1) корней, что невозможно. Отсюда следует, что .

Остается рассмотреть вопрос с точностью аппроксимации функции f (x), полиномом в других точках (отличных от узлов интерполяции), которая определяется остаточным членом :

Если y = f (x) в рассматриваемой области изменения , содержащей узлы интерполирования, имеет все производные до (n +1) -го порядка:

,

то точность приближения оценивается следующим соотношением:

где а x зависит от x

и лежит внутри отрезка [ a, b ].

Если обозначить , то получим следующую оценку для абсолютной погрешности интерполяционной формулы Лагранжа:

Лекции № 5