Тема 3. Аппроксимация функций
Смысл и постановка задачи аппроксимации функций
Общий смысл задачи аппроксимации функции
Смысл аппроксимации, теорема Вейерштрассе.
Термин «аппроксимация» означает приближенное выражение математических величин (функций, чисел и т.п.) через другие ─ более простые. При этом задается способ измерения отклонения данной величины Y от аппроксимирующей её 
, задаваемый обычно функцией расстояния 
. Во многих задачах строят последовательность аппроксимирующих значений 
величины Y так, чтобы 
=0. Например, аппроксимацией числа e = 2,7182… можно считать последовательность 
, или каждый член этой последовательности. При этом 
, т.е. 
.
Основополагающей теоремой в теории аппроксимации функций является теорема Вейерштрасса.
Теорема Вейерштрасса. Аппроксимация непрерывной на отрезке [a,b] функции 
многочленами 
возможна с любой степенью точности. Это означает, что для всякого малого 
существует многочлен такой, что 
.
Постановка задачи аппроксимации применительно к
Обработке экспериментальных данных
1) Общая постановка задачи аппроксимации
Результаты эксперимента по определению неизвестной зависимости , описывающей явление или процесс, заданы в виде таблицы:
| 
|
¼
| 
¼
|
Так как вид аналитического выражения (формулы) для 
неизвестен, то возникает следующая задача: подобрать для , заданной в виде таблицы, аналитическое выражение 
такое, чтобы функции f и Q были близки в некотором определённом смысле. Понятие близости функций зависит от конкретной постановки задачи, в зависимости от которой устанавливается соответствующий критерий близости. Аппроксимирующая функция Q ищется в определённом классе функций. После того, как Q найдена, она всюду может быть использована вместо :
. Такая задача называется задачей аппроксимации (приближения) функций.
2) Типы задач аппроксимации:
- задача интерполирования функций;
- задача приближения функций в среднем по методу наименьших квадратов (МНК).
Аппроксимация функций, зависящих от одной переменной
2.1. Задача интерполирования
1) Математический смысл и геометрическая интерпретация задачи интерполирования
Аппроксимирующую функцию Q можно искать в виде полинома степени m:
.
Если при этом предположить, что экспериментальные значения 
в таблице не имеют погрешности, то естественно принять в качестве критерия близости f (x) и Q (x) равенство их значений в точках 
, т.е.
.
Такая задача называется задачей интерполирования, а точки 
– узлами интерполяции. Многочлен Q (x) называется интерполяционным многочленом.
2) Интерполяционный многочлен Лагранжа
а) Определение коэффициентов интерполяционного многочлена канонического вида из решения СЛУ
Задача заключается в том, чтобы построить интерполяционный многочлен единый для всего интервала 
. Запишем исходный многочлен в каноническом виде: 
Он единственен, т. к. степень его на единицу меньше числа узлов (n +1).
Из условий равенства значений этого многочлена в узлах 
соответствующим заданным табличным значениям 
путем подстановки в полином значений 
и приравнивания значений полинома эмпирическим данным 
, получим следующую систему линейных уравнений (СЛУ) для нахождения его коэффициентов 
:
.
Эта система уравнений, включает (n +1) уравнение с (n +1) неизвестными коэффициентами 
и имеет единственное решение, если среди узлов интерполяции нет совпадающих: 
при 
.
б) Интерполяционный многочлен Лагранжа
Многочлен Лагранжа имеет вид
, (1)
где 
– многочлены степени n, удовлетворяющие условиям:
т.е. каждый многочлен 
обращается в нуль во всех узлах 
интерполяции за исключением одного i -го, где он равняется единице.
Этим условиям отвечают, например, многочлены вида:
(2)
Подставляя (2) в (1), получим
. (3)
Формула (3) называется интерполяционным многочленом Лагранжа.
Докажем, что этот многочлен является единственным. Допустим противоположное. Пусть существует ещё один многочлен F (x) степени n, принимающий в узлах интерполяции заданные значения, т.е. 
. Тогда разность 
, являющаяся многочленом степени n (или ниже), в узлах равна
.
Это означает, что многочлен R (x) степени не больше n имеет (n +1) корней, что невозможно. Отсюда следует, что 
.
Остается рассмотреть вопрос с точностью аппроксимации функции f (x), полиномом 
в других точках (отличных от узлов интерполяции), которая определяется остаточным членом 
:
 |
Если y = f (x) в рассматриваемой области изменения 
, содержащей узлы интерполирования, имеет все производные до (n +1) -го порядка:
,
то точность приближения оценивается следующим соотношением:
 | |||
 |
где а x зависит от x
и лежит внутри отрезка [ a, b ].
Если обозначить 
, то получим следующую оценку для абсолютной погрешности интерполяционной формулы Лагранжа:
 |
Лекции № 5
