Понятие о квантовой статистике Бозе - Эйнштейна и Ферми - Дирака

Квантовая статистика

Квантовая статистика — раздал статистической физики, исследующий системы, которые состоят из огромного числа частиц, подчиняющихся законам квантовой механики.

В отличие от исходных положений классической статистической физики, в которой тождественные частицы различимы (частицу можно отличить от всех таких же частиц), квантовая статистика основывается на принципе неразличимости тождественных частиц. При этом оказывается, как будет показано ниже, что коллективы частиц с целым и полуцелым спинами подчиняются разным статистикам.

Пусть система состоит из N частиц. Введем в рассмотрение многомерное простран­ство всех координат и импульсов частиц системы. Тогда состояние системы определя­ется заданием 6 N переменных, так как состояние каждой частицы определяется трой­кой координат х, у, z и тройкой соответствующих проекций импульса р_х, р_у, p_z. Соответственно число «взаимно перпендикулярных» координатных осей данного пространства равно 6 N. Это 6 N -мерное пространство называется фазовым пространством. Каждому микросостоянию системы отвечает точка в 6 N -мерном фазовом пространст­ве, так как задание точки фазового пространства означает задание координат и им­пульсов всех частиц системы. Разобьем фазовое пространство на малые 6 N -мерные элементарные ячейки объемом dqdp=dq ₁ dq ₂ ...dq _{3 N}dp ₁ dp ₂ ...dp _{3 N}, где q — совокупность координат всех частиц, р — совокупность проекций их импульсов. Корпускулярно-волновой дуализм свойств вещества и соотношение неопределенностей Гейзенберга приводят к выводу, что объем элементарной ячейки (он называется фазовымобъемом) не может быть меньше чем h ³ (h — постоянная Планка).

Вероятность d W данного состояния системы можно представить с помощью функции распределения f (q, p):

(234.1)

Здесь dW— вероятность того, что точка фазового пространства попадет в элемент фазового объема d q d p, расположенного вблизи данной точки q, р. Иными словами, dW представляет собой вероятность того, что система находится в состоянии, в котором ее координаты и импульсы, заключены в интервале q, q+dq и р, p+dp.

Согласно формуле (234.1), функция распределения есть не что иное, как плотность вероятности определенного состояния системы. Поэтому она должна быть нормирова­на на единицу:

где интегрирование производится по всему фазовому пространству.

Зная функцию распределения f(q, р), можно решить основную задачу квантовой статистики — определить средние значения величин, характеризующих рассматрива­емую систему. Среднее значение любой функции

(234.2)

Если иметь дело не с координатами и импульсами, а с энергией, которая квантуется, то состояние системы характеризуется не непрерывной, а дискретной функцией распределения.

Явное выражение функции распределения в самом общем виде получил американский физик Д. Гиббс (1839—1903). Оно называется каноническим распределением Гиббса. В квантовой статистике каноническое распределение Гиббса имеет вид

(234.3)

где А — постоянная, определяемая из условия нормировки к единице, n — совокупность всех квантовых чисел, характеризующих данное состояние. Подчеркнем, что f (Е_n) есть именно вероятность данного состояния, а не вероятность того, что система имеет определенное значение энергии Е_n, таккак данной энергии может соответствовать не одно, а несколько различных состояний (может иметь место вырождение).

Понятие о квантовой статистике Бозе - Эйнштейна и Ферми - Дирака

Одним из важнейших «объектов» изучения квантовой статистики, как и классической, является идеальный газ. Это связано с тем, что во многих случаях реальную систему можно в хорошем приближении считать идеальным газом. Состояние системы невзаимодействующих частиц задается с помощью так называемых чисел заполнения N_i — чисел, указывающих степень заполнения квантового состояния (характеризуется данным набором i квантовых чисел) частицами системы, состоящей из многих тождест­венных частиц. Для систем частиц, образованных бозонами — частицами с нулевым или целым спином, числа заполнения могут принимать любые целые значения: 0, 1, 2,.... Для систем частиц, образованных фермионами — частицами с полуцелым спином, числа заполнения могут принимать лишь два значения: 0 для свободных состояний и 1 для занятых. Сумма всех чисел заполнения должна быть равна числу частиц системы. Квантовая статистика позволяет подсчитать среднее число частиц в данном квантовом состоянии, т. е. определить средние числа заполнения  N_i .

Идеальный газ из бозонов — бозе-газ — описывается квантовой статистикой Бозе - Эйнштейна. * Распределение бозонов по энергиям вытекает из так называемого большого канонического распределения Гиббса (с переменным числом частиц) при условии, что число тождественных бозонов в данном квантовом состоянии может быть любым:

(235.1)

* Ш. Бозе (1894—1974) — индийский физик.

 

Это распределение называется распределением Бозе - Эйнштейна. Здесь  N_i  — сред­нее число бозонов в квантовом состоянии с энергией E_i, k — постоянная Больцмана, Т— термодинамическая температура,  —химический потенциал;  не зависит от энергии, а определяется только температурой и плотностью числа частиц. Химический потенциал находится обычно из условия, что сумма всех  N_i  равна полному числу частиц в системе. Здесь   0, так как иначе среднее число частиц в данном квантовом состоянии отрицательно, что не имеет физического смысла. Он определяет изменение внутренней энергии системы при добавлении к ней одной частицы при условии, что все остальные величины, от которых зависит внутренняя энергия (энтропия, объем), фик­сированы.

Идеальный газ из фермионов — ферми-газ — описывается квантовой статистикой Ферми - Дирака. * Распределение фермионов по энергиям имеет вид

(235.2)

где  N_i  — среднее число фермионов в квантовом состоянии с энергией Е_i,  — химический потенциал. В отличие от (235.1)  может иметь положительное значение (это не приводит к отрицательным значениям чисел  N_i ). Это распределение называется распределением Ферми - Дирака.

* Э. Ферми (1901—1954) — итальянский физик.

Если >>1, то распределения Бозе - Эйнштейна (235.1) и Ферми - Дирака (235.2) переходят в классическое распределение Максвелла - Больцмана:

(235.3)

(ср. с выражением (44.4)), где

(235.4)

Таким образом, при высоких температурах оба «квантовых» газа ведут себя подобно классическому газу.

№3

Система частиц называется вырожденной, если ее свойства существенным образом отличаются от свойств систем, подчиняющихся классической статистике. Поведение как бозе-газа, так и ферми-газа отличается от классического газа, они являются вырожденными газами. Вырождение газов становится существенным при весьма низ­ких температурах и больших плотностях. Параметром вырождения называется величина А. При А <<1, т. е. при малой степени вырождения, распределения Бозе - Эйнштейна (235.1) и Ферми - Дирака (235.2) переходят в классическое распределение Максвелла - Больцмана (235.3).

Температурой вырождения Т ₀ называется температура, ниже которой отчетливо проявляются квантовые свойства идеального газа, обусловленные тождественностью частиц, т. е. Т ₀ — температура, при которой вырождение становится существенным. Если Т >> Т ₀, то поведение системы частиц (газа) описывается классическими законами.