Гюйгенс-Штейнер теоремасы.

Санақ денесі болып кез келген дене алына алады. Абсолют қатты деп кез келген нүктелерінің арасындағы қашықтық өзгеріссіз болатын денені айтады.

О нүктесіне қарасты (3.1 сурет) материялық нүктеге әсер етуші күш моменті мына вектор болып табылады

. (3.1)

деп материялық нүктеге әсер етуші барлық күштердің тең әсерлісін айтады. Бастапқы деп қабылданып алынған қайсыбір материялық нүктенің О нүктесіне қарасты орналасу жағдайы радиус-векторымен сипатталады.

О нүктесіне қарасты материялық нүктенің импульс моменті мына вектор

. (3.2)

Уақыт бойынша импульс моментін дифференциалдау (3.2) арқылы моменттер теңдеуін аламыз:

.

Материялық нүктелер жүйесінің импульсі деп жүйені құраушы материялық нүктелер импульстерінің қосындысын айтады:

, (3.3)

мұнда - i индексімен белгіленген материялық нүктенің импульсі, n – жүйедегі нүктелер саны.

Материялық нүктелер жүйесінің бастапқы деп қабылданып алынған О нүктесіне қарасты импульс моменті деп О нүктесіне қарасты материалық нүктелер жүйесін құраушыларының импульс моменттерінің қосындысын айтады:

, (3.4)

мұнда – i индексімен белгіленген материялы нүкте импульсының моменті.

О нүктесіне қарасты материалық нүктелер жүйесіне әсер етуші күш моменті деп, О нүктесіне қарасты жүйе нүктелеріне түсірілген күш моменттерінің қосындысын айтады:

. (3.5)

(3.5)-гі күші i нүктесіне түсірілген ішкі күштерді қоса алғандағы толық күш болып табылады:

,

мұнда – сыртқы күш, ал – ішкі күштер.

Уақыт бойынша (3.3)-ті дифференциялдау арқылы материялық нүктелер жүйесінің теңдеуін аламыз:

, , (3.6)

мұнда . (3.7)

шамасы сыртқы күштер қосындысына тең, өйткені, (3.7) қосындысында барлық ішкі күштер өзара қысқарады.

Уақыт бойынша (3.4)-ті дифференциалдасақ, материялық нүктелер жүйесі үшін моменттер теңдеуін аламыз:

, = . (3.8)

Естеріңізге салайық, – сыртқы күштер моменті.

Қатты дене ара қашықтығы тұрақты болатын материялық нүктелер жүйесі ретінде қарастырыла алады. Сондықтан, материялық нүктелер жүйесі тұралы пайымдаулар мен теңдеулер қатты денелер үшін де қолданылады. (3.6) және (3.8) теңдеулері, осы жерде тағы да жазып көрсете кетейік:

, = ,

жалпы алғанда тұйық жүйе болып саналмайды. Алайда, олар қатты дене үшін тұйық теңдеулер жүйесі болып табылады.

Қозғалмайтын өске қарасты қатты дененің айналмалы қозғалысы динамикасының теңдеуі. Радиусі r_i шеңбер бойымен массасы m_i материялық нүктенің айналуы кезіндегі оның айналу өсіне проекцияланған импульсының моменті L_i=m_iv_ir_i -ге тең. Сызықтық жылдамдық v_i=wr_i, сондықтан L_i=m_ir_i²w, мұнда w – бұрыштық жылдамдық. Егер, О өсін айнала материялық нүктелер жүйесі айналып тұратын болса, онда . Бұдан шығатыны

(3.9)

мұнда , ал w тұрақты шама ретінде қосындының таңбасының алдына шығарылған.

Материялық нүктелер массаларының олардың айналу өсіне дейінгі қашықтықтарының квадратына көбейтіндісінің қосындысына тең J шамасы осы өске қарасты жүйе инерциясының моменті деп аталады. Егер масса үздіксіз таралған жағдайда қосынды таңбасы интеграл таңбасымен алмастырылады, онда инерция моменті мынадай түрде жазылады:

(3.10)

Дененің инерция моменті – ілгерілемелі қозғалыс кезіндегі массаға теңдес физикалық шама; ол дененің формасына, мөлшеріне, массасына және оның дене ішінде таралуына, сонымен қоса айналу өсін таңдауға тәуелді, ол айналмалы қозғалыс кезіндегі дененің инерттілігін сипаттайды.

Айналмалы қозғалыстың динамикасының негізгі заңын (3.10)-ді ескере отырып айналу осіне проекциясында былай жазуға болады:

, (3.11)

мұнда М – сыртқы күштердің қосынды моментінің айналу өсіне проекциясы.

Қозғалмайтын өсті айнала қатты дененің айналуының жекелеген жағдайында (3.11) теңдеу мына түрге өзгереді:

(3.12)

немесе

,

мұнда – бұрыштық үдеу.

Әрбір денеде дененің қозғалыста не тыныштықта болғанына қарамастан массасы болатындығы сияқты, ол дененің айналуда ма, немесе тыныштықта тұрғанына қарамастан, кез келген өске қарасты белгілі бір инерция моменті болады.

Гюйгенс – Штейнер теоремасын пайдаланса, анағұрлым жеңілденер еді: еркін өске қарасты J инерция моменті – мәлім өске параллель және дене массасының центрінен өтуші өске қарасты J_c инерция моменті мен дененің m массасының өстер аралық а қашықтығы квадратының көбейтінділерін қосқандағы шамаға тең:

.