Вариационные исчисления и методы оптимизации

Для спец. "Математика") 2011- 2012 уч. г.

 

Геометрия и алгебра

 

1. Кривые второго порядка. Классификация кривых второго порядка с помощью инвариантов.

2. Различные способы задания прямой на плоскости.

3. Прямые и плоскости в пространстве.

4. Ранг матрицы. Теоремы о ранге матрицы.

5. Критерий совместности и методы решения систем линейных уравнений.

6. Линейные операторы, их свойства. Задание операторов матрицами.

7. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора.

8. Корни многочленов с комплексными и действительными коэффициентами.

9. Группы и подгруппы, их свойства.

 

Математический анализ

 

1. Предел функции в точке. Непрерывность. Свойства функций непрерывных на отрезке.

2. Определенный интеграл Римана. Необходимые и достаточные условия существования. Формула Ньютона - Лейбница.

3. Последовательности функций. Равномерная сходимость. Непрерывность предельной функции.

4. Ряды Фурье. Минимальные свойства частичных сумм.

5. Двойные интегралы.

6. Формула Гаусса-Остроградского.

7. Интегралы, зависящие от параметра. Интегрирование и дифференцирование под знаком интеграла.

 

Функциональный анализ и интегральные уравнения

 

1. Теорема Хана - Банаха о продолжении линейного функционала.

2. Принцип равномерной ограниченности (теорема Банаха - Штейнгауза).

3. Теоремы Фредгольма.

4. Теорема Гильберта о компактных самосопряженных операторах.

 

Теория функций комплексного переменного

 

1. Производная функции комплексного переменного. Условия дифференцируемости.

2. Интегральная формула Коши.

3. Изолированные особые точки.

 

Дифференциальные уравнения

 

1. Теорема существования и единственности решения задачи Коши для нормальной системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

2. Невырожденные особые точки линейной однородной системы двух уравнений с постоянными коэффициентами (узел, седло или фокус - по выбору).

3. Устойчивость по Ляпунову.

 

Методы вычислений

 

1. Постановка задачи интерполирования функций. Интерполяционный многочлен Лагранжа. Погрешность интерполирования.

2. Метод Эйлера с пересчетом решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений.

3. Понятие разностной схемы для уравнений в частных производных. Явные и неявные разностные схемы (на примере простейшего уравнения параболического типа).

4. Метод прогонки решения системы конечно-разностных уравнений с трехдиагональной матрицей.

5. Понятие аппроксимации, устойчивости, сходимости численного решения задач для дифференциальных уравнений.

6. Спектральный признак устойчивости разностных схем (на примере простейших разностных уравнений).

 

 

Компьютерные науки

 

1. Запись базовых алгоритмических конструкций на языке высокого уровня (Бейсик, Паскаль, Си - на выбор). Понятие переменной, оператора цикла и условия (примеры использования).

2. Встроенные алгоритмы (процедуры и функции) и их оформление на языке Бейсик (Паскаль, Си - на выбор). Примеры записи алгоритмов.

3. Алгоритм квадратур. Запись алгоритма формулы трапеций (Симпсона - на выбор) в виде блок-схемы и на одном из языков программирования.

4. Алгоритмы численного решения уравнения F (x)=0. Запись алгоритма метода простых итераций (половинного деления, хорд, Ньютона - на выбор) в виде блок-схемы и на одном из языков программирования.

 

Уравнения в частных производных

 

1. Основные уравнения математической физики. Классификация линейных дифференциальных уравнений второго порядка.

2. Приведение уравнения к каноническому виду в случае двух независимых переменных.

3. Задача Коши для уравнения колебания струны.

4. Задача Коши для уравнения теплопроводности.

5. Основные свойства гармонических функций.

 

Теория вероятностей

 

1. Классическое определение вероятности. Аксиомы теории вероятностей. Свойства вероятности.

2. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей.

3. Формула полной вероятности и формула Байеса.

4. Функция распределения и плотность распределения вероятностей одномерной случайной величины, их основные свойства.

5. Математическое ожидание случайной величины и его основные свойства.

6. Дисперсия случайной величины и ее основные свойства.

7. Ковариация и коэффициент корреляции случайных величин. Основные свойства ковариации и коэффициента корреляции.

 

Вариационные исчисления и методы оптимизации

 

1. Постановка экстремальной задачи и понятие её решения.

2. Формулировка теоремы о необходимом условии минимума в гладкой задаче нелинейного программирования.

3. Критерий Куна-Такера для задачи выпуклого программирования (формулировка и смысл).

4. Основная лемма вариационного исчисления, её применение к первой вариации, уравнение Эйлера.

5. Формулировка необходимых и достаточных условий слабого локального минимума для простейшей задачи вариационного исчисления.

6. Необходимые условия минимума в изопериметрической задаче.

 

Математическая логика

 

1. Определение логического следования. Теорема о связи логического следования и импликации.

2. Определение дизъюнктивной нормальной формы. Теорема о равносильности формулы логики высказываний дизъюнктивной нормальной форме.

 

 

Вопросы утверждены Советом факультета информатики и прикладной

математики 01 декабря 2011 г.

 

 

Декан

факультета информатики и

прикладной математики,

профессор С.А. Ишанов

 

Председатель

методической комиссии

факультета, доцент О.А. Гущин