Уравнение плоскости в отрезках
Пусть плоскость не проходит через начало координат, а отсекает от осей координат соответственно отрезки a, b, c. Как видно из рисунка 4.10, плоскость проходит через точки M(a,0,0), N(0,b,0) и R(0,0,c).
Рисунок 4.10
Пусть общее уравнение плоскости имеет вид:
Ax + By + Cz + D = 0 (4.31)
Подставим в это уравнение координаты точек M, N и R, получим:
(4.34)
Так как плоскость не проходит через начало координат, то D≠ 0. Так как плоскость отсекает от осей координат ненулевые отрезки, то A≠ 0, B≠ 0, C≠ 0. Тогда из (4.34) имеем: 
Подставив эти значения в уравнение (4.31), получим: 
Так как D≠0, то все члены последнего равенства можно разделить на (-D). Получим: 
или 
(4.35). Уравнение (4.35) и есть уравнение плоскости в отрезках.
Нормальное уравнение плоскости
 |
Положение плоскости в трехмерном пространстве будет вполне определено, если известно ее расстояние P от начала координат O, т.е. длина перпендикуляра ON, опущенного из точки O на плоскость, и единичный вектор
, перпендикулярный к плоскости. По условию, 
. Для любой точки M(x,y,z), лежащей на плоскости, имеем (рисунок 4.11): 
. С другой стороны, по определению скалярного произведения двух векторов имеем: 
или 
(4.36)
Уравнение (4.36) называется векторным уравнением плоскости. Одновременно уравнение (4.36) называется нормальным уравнением плоскости. Пусть теперь единичный вектор 
образует с осями координат соответственно углы α, β, γ. Тогда 
имеет своими координатами направляющие косинусы, т.е. 
. Далее, вектор 
. Тогда получим скалярное произведение векторов:
При этом уравнение (4.36) примет вид:
(4.37)
Уравнение (4.36) называется нормальным (нормированным) уравнением плоскости в координатной форме. Замечание: как и в случае нормального уравнения прямой, в рассматриваемом случае уравнение (4.37) можно получить, используя теорию проекций.
Первый замечательный предел
Теорема
(раскрывает неопределенность типа 
).
Доказательство.
Возьмем круг единичного радиуса и положим 
. X – угол выраженный в радианах.
Обозначим площади треугольника ОАВ через– S1, треугольника ОАС – S2, площадь сектора ОАВ – через S.
Неравенство (1) получено для 
однако cos x и 
функции четные,т.к. cos (-x) = cos x.
т.е. (1) справедливо и для 
т.к. 
, то из (1) на основании теоремы 5 заключаем 
3) Основные теоремы о пределах и их применения.
Теорема 1. Для того, чтобы число A было пределом функции f(x) при x®a, необходимо и достаточно, чтобы эта функция была представлена в виде: f (x) = A+a(x), где a(x) – бесконечно малая функция.
Теорема 2. Предел постоянной величины равен самой постоянной.
Теорема 3. Если функция 
³0 
(£0) для любых х в некоторой окрестности точки а, кроме быть может самой точки а, и в точке а имеет предел, то 
Теорема 4. Если функции 
и 
имеют пределы при x®a, то при x®a имеют пределы их сумма 
+ 
произведение 
и при условии, что 
частное 
причем 
(1)
(2)
(3)
Доказательство. Ограничимся доказательством формулы (1).
Пусть 
, тогда по теореме 1:
где 
Отсюда 
По свойству бесконечно малых (1) α(x) + β(x) – бесконечно малая, следовательно, по теореме (1):
.
Следствие 1. Если функция f(x) имеет предел при x → a, то:
,
где n – натуральное число.
Следствие 2. Постоянный множитель можно выносить за знак предела:
, c = const.
Теорема 5. Если для функций f(x), f1(x) и f2(x) в некоторой окружности точки a выполняется неравенство
и(4)
, то 
Доказательство.
Из определения предела следует, что 
, 
,
(5)
(5)
Из неравенств (4) и (5) имеем:
, откуда 
.
Аналогично, из (4) и (6) имеем:
, откуда 
, т.е.
или 
, т.е.
.
5) Рассмотрим функцию 
. Дадим аргументу 
приращение 
и найдём приращение функции: 
. Поэтому
(Можно доказать эту формулу и так:
Здесь мы применили формулу (4.9).) Точно так же для функции 
получаем: 
, откуда
(И здесь, применяя формулу (4.9), мы можем действовать так:
Такие же вычисления для функции 
при целом 
можно провести, разложив 
по формуле бинома Ньютона (см. гл. 2). При этом получится формула
|
И таблица..
6) При дифференцировании константу можно выносить за производную:
Правило дифференцирования суммы функций:
Правило дифференцирования разности функций:
Правило дифференцирования произведения функций (правило Лейбница):
Правило дифференцирования частного функций:
Правило дифференцирования функции в степени другой функции:
Правило дифференцирования сложной функции:
Правило логарифма при дифференцировании функции:
Вывод правила.
1. 
Доказательство
7) Производной функции z = f (x,y) в точке M 0(x 0 ,y 0) по направлению l называется число
(1) 
. Эта формула может быть представлена в виде: 
(2). Пусть в некоторой области G плоскости XOY задана функция z = f (x,y), имеющая непрерывные частные производные по обоим аргументам. Градиентом или вектором-градиентом 
функции f (x,y) в точке (x,y) Î G называется вектор, который задается формулой
.
Функция f определяет для каждой точки области G вектор-градиент, исходящий из этой точки.
Возвратимся теперь к формуле (2). Ее правую часть мы можем рассматривать, как скалярное произведение векторов. Первый из них ‑ вектор-градиент функции z = f (x,y) в точке M 0(x 0 ,y 0):
.
Второй – вектор 
. Это вектор, имеющий длину 1 и угол наклона к оси 
, равный a.
Теперь можно сделать вывод, что производная функции z = f (x,y) по направлению, определяемому углом a наклона к оси OX, в точке M 0(x 0 ,y 0) может быть вычислена по формуле
(5)
Здесь b ‑ угол между вектором 
и вектором 
, задающим направление, по которому берется производная. Здесь также учтено, что 
.
8) Если уравнение вида 
после преобразования может быть записано в виде
, (1)
то оно называется уравнением с разделяющимися переменными.
Исключим из рассмотрения точки, в которых 
. Тогда, разделив обе части уравнения на 
, получим
.
Общим интегралом уравнения будет
.
1. При проведении почленного деления дифференциального уравнения на 
могут быть потеряны некоторые решения. Поэтому следует отдельно решить уравнение 
и установить те решения дифференциального уравнения, которые не могут быть получены из общего решения – особые решения.
2. Уравнение 
также сводится к уравнению с разделяющимися переменными. Для этого положим 
. Умножим обе части на dx и разделим переменные.
3. Уравнение 
, где a,b,c – числа, путем замены 
сведется к дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными. Дифференцируя по x, получим 
.
Данное уравнение примет вид:
,
или
,
.
Интегрируя это уравнение и заменяя u на 
, получим общий интеграл исходного уравнения.
Теоремы сложения вероятностей.
Теорема 1: Если события несовместны, то вероятность суммы событий равна сумме вероятностей этих событий.
Р(А + В) = Р(А) + Р(В). (2.7)
Доказательство:
n – число всех исходов испытаний.
m1 – число исходов испытаний, благоприятствующих наступлению события А.
m2 – число испытаний, благоприятствующих наступлению события В.
Р(А + В) = 
= 
+ 
= Р(А) + Р(В).
Что и требовалось доказать.
Следствие из теоремы:
Вероятность суммы нескольких несовместных событий равна сумме вероятности этих событий.
Р(А1 + А2 + … + Аn) = Р(А1) + Р(А2) + … + Р(Аn) (2.8)
Теорема 2: Сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна единице.
Доказательство:
Пусть А1,А2, …, Аn – полная группа событий. Тогда наступление одного из этих событий – событие достоверное, т.е. Р(А1 + А2 + … +Аn) = 1. Но по теореме сложения несовместных событий можно записать:
Р(А1) + Р(А2) + … Р(Аn) = 1. (2.9)
Следствие из теоремы:
Сумма вероятностей противоположных событий равна 1.
Р(А1) + Р(Ā) = 1.
Это действительно так, т.к. противоположные события образуют полную группу.
Обозначим: Р(А) = р и Р(Ā) = q, тогда
p + q = 1. (2.10)
Теорема 3: Если события совместны, то вероятность их суммы вычисляется по формуле:
Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ) (2.11)
Доказательство:
m1 – число исходов испытаний, благоприятствующих наступлению события А.
m2 – число исходов испытаний, благоприятствующих наступлению события В.
m3 – число исходов испытаний, благоприятствующих наступлению совместных событий АВ.
n – число всех исходов испытаний.
Р(А + В) = 
= 
= Р(А) + Р(В) – Р(АВ).
Что и требовалось доказать.
10) Теорема умножения: Вероятность произведения событий равна вероятности одного из этих событий, умноженной на условную вероятность другого при условии, что первое событие уже произошло.
Р(А В) = Р(А) РА(В). (2.1)
Доказательство:
n – число всех исходов испытания.
m – число исходов, благоприятствующих наступлению события А.
к – число исходов, благоприятствующих наступлению события В, при условии, что А имело место, т.е. к – число исходов, когда А и В наступили вместе.
Поэтому Р(А В) = 
= 
= 
= P(A) PA(B).
Теорема умножения вероятностей обобщается на случай произвольного числа событий:
Р(АВСD) = Р(А)· РА(В) ·РАВ(С) · РАВС(D), (2.2)
т.е. вероятность произведения нескольких событий равна произведению вероятности одного из этих событий на условные вероятности других; при этом условная вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события произошли.
Следствия.
1). Если события независимы, то вероятность события В, при условии, что А наступило.
РА(В) = РĀ(В) = Р(В). (2.3)
РВ(А) = Р 
(A) = P(A).
2). Вероятность совместного наступления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.
Р(АВ) = Р(А) Р(В)
Доказательство:
Р(АВ) = Р(А) РА(В) = Р(А) Р(В).
3). Вероятность произведения нескольких независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.
Р(А1 А2 ... Аn) = Р(А1) Р(А2) ... Р(Аn). (2.4)
Если события А1, А2, …, Аn независимы в совокупности, причем Р(А1) = р1, Р(А2) = р2, …, Р(Аn) = рn, и в результате испытания могут наступить все события, либо часть из них, либо ни одного из них, то вероятность наступления события А, состоящего в появлении хотя бы одного из событий А1, А2, …, Аn, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий 
, 
,…, 
:
Р(А) = 1 - 
… 
. (2.5)
В частности, если все n событий имеют одинаковую вероятность, равную р, то вероятность появления хотя бы одного из этих событий равна
Р(А) = 1 - 
.
11)Теорема: Если_Вероятность ρ наступления события Α в каждом испытании постоянна, то вероятность Pk , n того, что событие A наступит k раз в n независимых испытаниях, равна: 
где q = 1-p
Доказательство._ Так как в результате n независимых испытаний, проведенных в одинаковых условиях, событие A наступает с вероятностью 
, следовательно противоположное ему событие с вероятностью 
.
Обозначим Ai — наступление события A в испытании с номером i. Так как условия проведения опытов одинаковые, то эти вероятности равны. Пусть в результате n опытов событие A наступает k раз, тогда остальные n − k − раз это событие не наступает. Событие A может появиться k раз в n испытаниях в различных комбинациях, число которых равно количеству сочетаний из n элементов по k. Это количество сочетаний находится по формуле:
.
При этом вероятность каждой комбинации равна произведению вероятностей:
.
Применяя теорему сложения вероятностей несовместных событий, получим окончательную Формулу Бернулли:
где q = 1-p
