Формулы площади треугольника

; ;

; ;

Формула Герона: .

Прямоугольный треугольник

Катеты: a, b; гипотенуза: c. Теорема Пифагора: . Соотношения между элементами: ; ; ; ; ; ;

или ,

где CD = h_c - высота, опущенная на гипотенузу, .

Подобия в прямоугольном треугольнике:

: : ;

: : ;

: : .

Правильный треугольник

p= 3 a/ 2;

;

;

; .

Четырехугольники

Обозначения:

S – площадь, R – радиус описанной окружности, r – радиус вписанной окружности, d – диагональ.

Квадрат

S = a ²;

.

Прямоугольник

p=a+b (p - полупериметр)

S=ab

Параллелограмм

p=a+b (p - полупериметр)

Ромб

9.2.6. Трапеция

 

 

Свойства трапеции:

1. Во всякой трапеции середины оснований К,

М лежат на прямой, проходящей через точку

пересечения диагоналей О и точку пересечения

продолжений боковых сторон.

2. Средняя линия трапеции параллельна

основаниям и равна их полусумме.

.

Окружность и круг.

Длина окружности: ;

длина дуги окружности:

; ;

(n - величина дуги в градусах, j - величина дуги в радианах).

Площадь круга: ;

площадь кольца: ;

площадь сектора: ,

где a - величина дуги в градусах.

 

Свойства окружности:

1) касательная и радиус, проведенный в точку касания,

перпендикулярны: r ^ l.

 

2) отрезки касательных, проведенные

к окружности из точки, лежащей вне ее,

равны: AB = AC

 

3) диаметр, перпендикулярный хорде,

делит ее пополам;

диаметр, проходящий через середину хорды,

перпендикулярен ей:

4) квадрат длины касательной равен

произведению длины секущей

на ее внешнюю часть:

AB ² = .

5) центры касающихся окружностей О ₁, О ₂

и точка их касания М лежат на одной прямой.

 

 

6) в четырехугольник можно вписать окружность

тогда и только тогда, когда

суммы длин противоположных сторон равны:

AD + BC = AB + CD.

 

7) около четырехугольника можно описать окружность

тогда и только тогда, когда

сумма противоположных углов равна 180⁰:

.

 

• из всех параллелограммов только около прямоугольника

можно описать окружность;

- около трапеции можно описать окружность тогда и только тогда, когда она равнобокая;

8) центральный угол измеряется

градусной мерой дуги, на которую он опирается:

 

9) величина вписанного угла в два раза меньше

центрального угла, опирающегося на эту же дугу:

 

10) вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же

дугу, имеют одинаковую величину:

СТЕРЕОМЕТРИЯ

10.1. Куб

Объем:

Площадь поверхности:

10.2. Параллелепипед

Объем: ,

где S _осн - площадь основания, h – высота.

Прямоугольный параллелепипед

Объем: V = abc.

Площадь поверхности:

S = 2 (ab + bc + ac);

d ² = a ² + b ² + c ²,

где d - диагональ.

Пирамида

Объем: .

Усеченная пирамида

Объем: ,

где S ₁, S ₂ – площади оснований.

Цилиндр

Объем: .

Площадь боковой поверхности: .

Площадь полной поверхности: .

10.6. Конус

Объем: .

Площадь полной поверхности: .

10.7. Усеченный конус

Объем: .

Площадь полной поверхности:

.

Сфера и шар

Объём шара: ,

где R – радиус сферы (шара).

Площадь сферы: .