Темы практических занятий по Разделу 2

1. Векторы и линейные пространства.

Литература: [1], [2], [4], [10], [3], [13], [14].

2. Уравнения прямых и плоскостей.

Литература: [1], [2], [4], [10], [3], [13], [14].

3. Матрицы и операции с ними.

Литература: [1], [2], [4], [10], [3], [13], [14].

4. Определители и их свойства. Вычисление определителей, применение определителей.

Литература: [1], [2], [4], [10], [3], [13], [14].

5. Решение систем линейных алгебраических уравнений с квадратной матрицей. Решение произвольной системы методом Гаусса.

Литература: [1], [2], [4], [10], [3], [13], [14].

6. Решение однородных систем линейных алгебраических уравнений. Нахождение фундаментальной системы решений. Построение общего решения неоднородной системы.

Литература: [1], [2], [4], [10], [3], [13], [14].

7. Нахождение псевдорешения несовместной системы линейных алгебраических уравнений.

Литература: [5].

8. Нахождение собственных векторов и собственных значений линейных операторов.

Литература: [1], [2], [4], [10], [3], [13], [14].

9. Элементарные понятия теории вероятностей.

Литература: [11], [12], [13], [15].

10. Элементы комбинаторики. Решение задач с использованием классического определения вероятности.

Литература: [11], [12], [13], [15].

11. Условная вероятность. Независимые события и формула умножения вероятностей. Формула сложения вероятностей. Формула полной вероятности, формула Байеса.

Литература: [11], [12], [13], [15].

12. Независимые повторные испытания. Формула Бернулли. Формула Пуассона.

Литература: [11], [12], [13], [15].

13. Локальная и интегральная формулы Лапласа.

Литература: [11], [12], [13], [15].

14. Дискретные случайные величины, их распределения и числовые характеристики.

Литература: [11], [12], [13], [15].

15. Непрерывные случайные величины, их распределения и числовые характеристики.

Литература: [11], [12], [13], [15].

16. Центральная предельная теорема.

Литература: [11], [12], [13], [15].

17. Двумерные случайные величины

Литература: [11], [12], [13], [15].

ФОРМЫ КОНТРОЛЯ И ОТЧЕТНОСТИ

Формы контроля

В качестве оценочных средств программой дисциплины предусматривается:

· текущий контроль (аудиторные контрольные работы, домашние контрольные работы, домашние задания).

· промежуточный контроль.

Очная форма обучения, 4 года.

Промежуточный контроль изучения дисциплины проводится в форме письменного экзамена в 1-ом и 2-ом семестре. Итоговая оценка за экзамен выставляется в форме “неудовлетворительно”, “удовлетворительно”, “хорошо”, “отлично” и в баллах по 100-бальной шкале:

· “неудовлетворительно” – менее 51 балла;

· “удовлетворительно” – от 51 до 69 баллов;

· “хорошо” – от 70 до 85 баллов;

· “отлично” – свыше 85 баллов;

и формируется:

· аттестационными баллами семестра (80);

· экзаменационным баллом (20).

Вопросы для подготовки к экзамену

Формулировки теоретических вопросов, предлагаемых на экзамене, повторяют формулировки тем, перечисленных в содержании программы. Например:

· Независимые повторные испытания. Формула Бернулли.

· Проверка статистических гипотез.

· и т.д.

 

Примеры задач, предлагаемых в контрольных работах, на экзамене.

Раздел 1

1. Дать формальное (с использованием таблицы истинности посылок и заключения) доказательство теоремы:

Дано: Если не готовиться к экзамену – получишь двойку.

Если получишь двойку – не будет стипендии.

Доказать: Если не готовиться к экзамену – не будет стипендии.

2. Используя метод математической индукции, доказать, что для геометрической прогрессии (т.е. последовательности ) сумма первых n членов равна .

3. 60% студентов читают журнал «Огонек», 50% ‑ «Урал», 50% ‑ «Юность», 30% ‑ журналы «Огонек» и «Урал», 20% ‑ «Урал» и «Юность», 30% ‑ «Огонек» и «Юность», 10% ‑ все три журнала. Сколько студентов читают какие-нибудь два журнала? Сколько не читают ни одного?

4. Построить отображение отрезка [-1, 1] в отрезок [0, 1], так, чтобы это отображение: а) было взаимно однозначным соответствием; б) не было взаимно однозначным соответствием.

5. Доказать, что множество всех правильных многоугольников является бесконечным.

6. Исследуйте бинарное отношение (x,y), x+y=8, на множестве X={1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Является ли данное отношение рефлексивным, симметричным, транзитивным, антисимметричным?

7. Дано множество X={-4,-3,-2,1,2,3}. Доказать, что следующее отношение (x,y), ‑ есть отношение эквивалентности, и построить соответствующее разбиение множества X на классы эквивалентности.

8. Показать, используя определение предела последовательности, что последовательность сходятся к числу 0.

9. Показать, используя определение предела последовательности, что последовательность сходится к 1.

10. Найти предел последовательности .

11. Найти предел последовательности .

12. Найти предел .

13. Пусть последовательность - ограничена, - бесконечно большая. Доказать, что последовательность бесконечно малая.

14. Дана f(x) = 2x² + x - 3. Построить графики y = f(x), y = |f(x)|. При каких значениях параметра а уравнение |f(x)| = a имеет четыре корня?

15. Дана функция Построить ее график; решить неравенство y<0; решить уравнение |y-1| = 1.

16. Построить график функции .

17. Используя определение предела функции (на языке последовательностей) найти .

18. Найти предел .

19. Найти предел .

20. Пусть

При каком выборе числа функция будет непрерывной в точке ?

21. Доказать, что уравнение имеет точно один корень на отрезке [1, 2].

22. Доказать, что уравнение имеет один положительный корень, меньший 1.

23. Пусть . Найти приращение функции и отношение в точке если а) , б) , в) , г) , д) , е) . Объяснить результаты.

24. Используя определение производной найти производную функции .

25. В каких точках угловой коэффициент касательной к кубической параболе равен 12?

26. На параболе взяты две точке с абсциссами и . Через эти точки проведена секущая. В какой точке параболы касательная к ней будет параллельна проведенной секущей?

27. Найти производную для функции . Найти третью производную для функции .

28. Функции спроса q и предложения s от цены p имеют вид q=7-p, s=p+1. Найти равновесную цену, эластичности спроса и предложения для этой цены, изменение спроса, предложения и дохода (в %) при увеличении цены на 5% от равновесной.

29. На сколько процентов изменится (приближенно) площадь круга, если его радиус изменится на 1%?

30. Из трех досок одинаковой ширины сколачивается желоб для подачи воды. При каком угле наклона боковых стенок к днищу желоба площадь поперечного сечения желоба будет наибольшей?

31. В треугольник с основанием a и высотой h вписан прямоугольник, основание которого лежит на основании треугольника, а две вершины – на боковых сторонах. Найти наибольшую площадь вписанного прямоугольника.

32. Исследовать функцию и построить ее график: .

33. Исследовать функцию и построить ее график: .

34. Исследовать функцию и построить ее график: .

35. Исследовать функцию и построить ее график: .

36. Исследовать функцию и построить ее график: .

37. Вычислить неопределенный интеграл .

38. Используя метод замены переменной, вычислить неопределенные интегралы: а) ; б) .

39. Используя метод интегрирования по частям, вычислить неопределенные интегралы: а) ; б) .

40. Вычислить определенные интегралы: а) ; б) ; в) .

 

41. Найти область определения функции двух переменных .

42. Построить линии уровня для функции .

43. Построить линии уровня для функции .

44. Найти предел функции в точке М(0,0).

45. Доказать, что функция не имеет предела в точке М(0,0).

46. Найти частные производные функций: а) ; б) .

47. Для функции найти частные производные второго порядка.

48. Зависимость объема производства от капитальных затрат и затрат труда описывается функцией Кобба-Дугласа . Найти дифференциал и частные эластичности этой функции. Пусть ; на сколько процентов изменится объем производства, если капитальные затраты увеличить на 4%, а затраты труда снизить на 2%?.

49. Пусть . Найти .

50. При условии постоянства объема производства неявная зависимость затрат труда от капитальных затрат описывается соотношением . Рассчитать производную . Какой она имеет смысл?

51. Найти экстремумы функции .

52. Найти экстремумы функции .

53. Найти экстремумы функции .

54. Найти экстремумы функции .

55. Найти максимум функции Кобба-Дугласа при условии .

56. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в области .

57. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в области .

58. Рассчитать двойной интеграл , если область .

59. Рассчитать двойной интеграл , если область D ограничена линиями .

60. Найти общее решение дифференциального уравнения , а также его частное решение, удовлетворяющее начальному условию .

61. Найти общее решение дифференциального уравнения , а также его частное решение, удовлетворяющее начальному условию .

62. Найти общее решение дифференциального уравнения , а также его частное решение, удовлетворяющее начальному условию .

63. Найти общее решение дифференциального уравнения , а также его частное решение, удовлетворяющее начальным условиям .

64. Найти общее решение дифференциального уравнения , а также его частное решение, удовлетворяющее начальным условиям .

65. Найти общее решение дифференциального уравнения , а также его частное решение, удовлетворяющее начальным условиям .

 

Раздел 2

1. Являются ли компланарными (т.е. лежат ли в одной плоскости) три вектора: ?

2. Являются ли линейно зависимыми три вектора: ?

3. Пусть . Найти координаты вектора .

4. Две прямые на плоскости задаются уравнениями и . Параллельны ли эти прямые? Каково между ними расстояние?

5. Пусть . Найти матрицу .

6. Дана матрица . Вычислить ее определитель. Найти миноры элементов и алгебраические дополнения элементов .

7. Найти ранг матрицы .

8. Решить методом обратной матрицы и методом Крамера систему линейных алгебраических уравнений:

9. Решить методом Гаусса систему линейных алгебраических уравнений:

10. Решить методом Гаусса систему линейных алгебраических уравнений:

11. Найти фундаментальную систему решений однородной системы линейных алгебраических уравнений , а также ее общее решение.

12. Найти нормальное относительно вектора псевдорешение системы линейных алгебраических уравнений: .

13. Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора, заданного матрицей

14. В коробке 12 шаров: 3 белых, 4 черных, 5 красных. Какова вероятность вынуть из коробки черный шар?

15. В коробке 10 шаров: 6 белых и 4 черных. Вынули два шара. Какова вероятность того, что оба шара ‑ белые?

16. В лотерее 2000 билетов. Из них выигрышные:

1 – 100 руб., 4 по 50 руб., 10 по 20 руб., 20 по 10 руб.,

165 по 5 руб., 400 по 1 руб.

Какова вероятность выиграть по одному билету не менее 10 руб.?

17. Монета подброшена два раза. Какова вероятность того, что оба раза выпадет герб?

18. В лотерее 1000 билетов. Из них 500 – выигрышные и 500 – невыигрышные. Куплено два билета. Какова вероятность того, что оба билета выигрышные?

19. На экзамене из 30 студентов некоторой группы 6 получили «отлично», 10 – «хорошо», 9 –«удовлетворительно», остальные – «неуд». Какова вероятность того, что все трое студентов этой группы, встреченные деканом в буфете, получили на экзамене «неуд»?

20. В лотерее выпущено n билетов, m из которых выигрывают. Гражданин купил k билетов. Какова вероятность того, что по крайней мере один из купленных билетов выигрышный?

21. Из колоды, содержащей 52 карты, наугад вынимают 4 карты. Какова вероятность того, что все эти карты разных мастей?

22. В первом ящике 2 белых и 10 черных шаров; во втором ящике 8 белых и 4 черных шара. Из каждого ящика вынули по шару. Какова вероятность, что оба шара белые?

23. В ящике 6 белых и 8 черных шаров. Из ящика вынули два шара (не возвращая вынутый шар в ящик). Какова вероятность того, что оба шара белые?

24. Три стрелка независимо друг от друга стреляют по цели. Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 0.75, для второго – 0.8, для третьего – 0.9. Определить вероятность того, что все три стрелка одновременно попадут в цель.

25. В условиях предыдущей задачи определить вероятность того, что в цель попадет хотя бы один стрелок.

26. На экзамен пришли студенты из двух групп: 60% пришедших – из 101-й группы, 40% ‑ из 102-й. По прогнозам в 101-й группе будет 20% неуспевающих, а в 102-й – 15%. Какова вероятность того, что наугад вызванный студент не получит двойку?

27. В поликлинике работают два врача. Вероятность попасть на прием к врачу А равна 0.6, а к врачу Б – 0.4. Вероятность ошибочного диагноза у А равна 0.03, а у Б – 0.08. Больной побывал в поликлинике и ему поставили неверный диагноз. Определить вероятность того, что диагноз поставлен врачом А? Врачом Б?

15. В коробке 10 белых и 5 черных шаров. Вынули 4 шара. Какова вероятность того, что среди них оказалось 3 белых?

28. В группе 25 человек. Какова вероятность того, что хотя бы двое из них празднуют свой день рождения в один и тот же день?

29. В автобусе 40 пассажиров, среди которых 5 преступников. На допрос пригласили шестерых наугад выбранных пассажиров. Какова вероятность того, что среди них окажется хотя бы один преступник?

30. Двое по очереди бросают монету. Выигрывает тот, у кого первого выпадет орел. Число бросков не ограничивается. а) Какова вероятность выигрыша бросавшего первым? Вторым? б) Какими станут вероятности выигрыша, если бросающий вторым делает по два броска?

31. В контрольной работе 3 задачи, для каждой указано 5 вариантов ответов, один из которых правильный. Для положительной оценки достаточно решить 2 задачи. Какова вероятность положительной оценки, если отвечать наугад?

32. В тесте 25 вопросов. На каждый приведено 3 ответа, один из которых верный. Для зачета достаточно правильно ответить на 15 вопросов. Какова вероятность получить зачет, отвечая наугад?

33. Определить вероятность того, что в семье, имеющей 5 детей, будет три девочки и два мальчика. Вероятность рождения мальчика и девочки одинакова.

34. Что вероятнее выиграть у равносильного шахматиста (ничейный исход партии исключен): больше 1 партии из 4 или больше 2 партий из 5?

35. В помещении 4 лампы. Вероятность работы в течение года для каждой лампы 0.8. Найти вероятность того, что к концу года останутся гореть 3 лампы.

36. Два баскетболиста делают по три броска в корзину. Вероятность попадания мяча при каждом броске равна соответственно 0.6 и 0.7. Найти вероятность того, что у обоих будет равное количество попаданий.

37. В страховой конторе застраховано 10 000 клиентов одного возраста и одной социальной группы. Вероятность смерти клиента в течение года равна 0,006. Каждый клиент 1 января вносит 12 долларов. Если в течение года он умрет, то контора обязана выплатить его родственникам 1000 долларов. Чему равна вероятность того, что: а) контора разорится; б) контора получит не менее 40000 долларов прибыли?

38. Банк выдал 1000 кредитов на год по 500 т.р. под 10% годовых (возврат 550 т.р.). Вероятность возврата кредита каждым клиентом 90%. Какой будет прибыль банка, гарантированная с вероятностью 95%?

39. В лотерее выпущено 100 билетов. Разыгрывается один выигрыш в 50 руб. и десять выигрышей 1 руб. Найти распределение случайной величины Х – стоимости возможного выигрыша для владельца одного лотерейного билета.

40. Кубик брошен 3 раза. Написать распределение числа появлений шестерки. Построить функцию распределения.

41. Стрелок трижды стреляет по мишени. Число попаданий – случайная величина Х. Вероятность попадания в мишень при каждом выстреле равна 0.3. Построить распределение случайной величины Х, рассчитать ее математическое ожидание, дисперсию, стандартное отклонение. Проверить выполнение «правила трех стандартных отклонений».

42. В коробке 4 шара с номерами от 1 до 4. Вынимают 2 шара. Случайная величина Х – сумма номеров вынутых шаров. Построить распределение случайной величины Х, рассчитать ее математическое ожидание, дисперсию, стандартное отклонение. Проверить выполнение «правила трех стандартных отклонений».

43. Дана функция плотности вероятности некоторой случайной величины:

Определить и функцию распределения .

44. Случайная величина , принимающая значения на отрезке [0,1], имеет плотность вероятности . Какова функция распределения этой случайной величины? Нарисуйте графики и . Рассчитайте математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

45. Случайная величина , принимающая значения на промежутке (0,2), имеет плотность вероятности при и при . Какова функция распределения этой случайной величины? Нарисуйте графики и . Рассчитайте математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

46. Случайная величина , принимающая значения на отрезке , имеет равномерное распределение. Какова плотность распределения и функция распределения этой случайной величины? Нарисуйте графики и . Рассчитайте математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

47. Случайная величина , принимающая значения на отрезке , имеет плотность вероятности . Найдите функцию распределения этой случайной величины. Нарисуйте графики и . Рассчитайте математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

48. Радиус круга измерен приближенно на интервале (a,b). Полагая, что радиус является случайной величиной, распределенной равномерно на этом интервале, найти математическое ожидание и дисперсию площади круга.

49. Случайная величина распределена нормально с математическим ожиданием и дисперсией, соответственно равными 10 и 25. Найти вероятность того, что при испытании эта случайная величина примет значение: а) из промежутка (20, 30); б) большее 15?

50. Стрельба из орудия ведется вдоль определенного направления. Средняя дальность полета снаряда 10 000 м. Предполагая, что дальность полета распределена по нормальному закону с дисперсией 1600 м², найдите, какой процент выпускаемых снарядов дает перелет от 100 до 200 м.

51. При средней длине некоторой детали в 20 см найдено, что отклонения, превосходящие см, встречаются в среднем 4 раза на 100 деталей. Считая, что длина детали распределена по нормальному закону, определите ее стандартное отклонение.