Требования к результатам освоения дисциплины. Место дисциплины в структуре ООП (основной образовательной программы)

Место дисциплины в структуре ООП (основной образовательной программы)

Дисциплина «Математика» является базовой дисциплиной математического цикла федерального государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования (ФГОС ВПО) по направлению 080200 Менеджмент (квалификация – «бакалавр»).

Изучение дисциплины «Математика» основывается на базе знаний, умений и компетенций, полученных студентами в ходе освоения школьных курсов «Алгебра и начала анализа», «Геометрия».

Дисциплина «Математика» является базовым теоретическим и практическим основанием для всех последующих математических и финансово-экономических дисциплин, в частности, предоставляет необходимые базовые знания для последующего освоения дисциплин «Теория статистики» и «Методы принятия управленческих решений».

 

ТРЕБОВАНИЯ К РЕЗУЛЬТАТАМ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ

Процесс изучения дисциплины направлен на формирование следующих компетенций:

· владение методами количественного анализа и моделирования, теоретического и экспериментального исследования (ОК-15);

· понимание роли и значения информации и информационных технологий в развитии современного общества и экономических знаний (ОК-16);

· владение основными методами, способами и средствами получения, хранения, переработки информации, навыками работы с компьютером как средством управления информацией (ОК-17);

· способность работать с информацией в глобальных компьютерных сетях и корпоративных информационных системах (ОК-18).

В результате изучения дисциплины обучающийся должен:

знать:

· основные этапы становления современной математики, ее структуру, специфику аксиоматического построения математических теорий, роль математики в социально-экономических исследованиях;

· свойства числовых множеств и последовательностей, глобальные свойства непрерывных функций;

· основные теоремы о дифференцируемых функциях и их приложения

· основы интегрального исчисления;

· основы исчисления функций нескольких переменных;

· базовые понятия теории вероятности, такие как испытание, случайное событие, вероятность случайного события, случайная величина, закон распределения случайной величины;

· формулы комбинаторики и формулы для вычисления вероятности суммы и произведения событий;

· основные законы распределения дискретных и непрерывных случайных величин;

· формулы для вычисления вероятностных характеристик одномерных и двумерных случайных величин;

· законы, устанавливающие взаимосвязь между вероятностными и статистическими показателями;

уметь:

· совершать логические операции над событиями и множествами;

· вычислять пределы последовательностей и функций;

· дифференцировать функции одной и нескольких переменных;

· исследовать функции одной и нескольких переменных;

· интегрировать функции одной и нескольких переменных;

· вычислять вероятность случайного события;

· строить законы распределения и вычислять вероятностные характеристики одномерных и двумерных случайных величин;

· определять наличие корреляции и строить линейную регрессионную зависимость для непрерывных и дискретных случайных величин;

владеть:

· навыками математического мышления;

· аксиоматическим подходом к построению теоретических моделей;

· методами строгих математических доказательств, основанных на законах формальной логики, математической индукции и дедукции;

· основами исчисления бесконечно малых величин и пределов,

· методами дифференциального и интегрального исчисления;

· навыками использования математических методов и основ математического моделирования в социально-экономических науках;

· методами описания случайных величин и предсказания их вероятностных характеристик при решении различных социально-экономических задач.

СТРУКТУРА ДИСЦИПЛИНЫ

Общая трудоемкость дисциплины составляет 12 зачетных единиц.

 

№	Формы обучения	Лекции (часы)	Практические Занятия (часы)	Самостоятельная Работа (часы)	Всего часов
	Очная форма, 4 года

 

27 часов на подготовку к экзамену в первом семестре и 27 часов на подготовку во втором семестре.

 

Форма промежуточной аттестации: Очная форма, 4 года - экзамен в первом и втором семестрах.

№	Формы обучения	Лекции (часы)	Практические Занятия (часы)	Самостоятельная Работа (часы)	Всего часов
	Заочная форма, 3,5 года

27 часов на подготовку к экзамену в первом семестре и 27 часов на подготовку во втором семестре.

 

 

СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ

Тематический план

 

Очная форма, 4 года

 

Наименование разделов и тем	Количество часов	Самостоятельная работа	Всего часов по теме
Лекции	Практические занятия
Введение. Специфика математики как науки.
Раздел 1. Основы математического анализа
Тема 1.1. Теория множеств
Тема 1.2. Числовые последовательности и их пределы
Тема 1.3. Функции одной переменной и их свойства
Тема 1.4. Пределы и непрерывность функции одной переменной
Тема 1.5. Понятие производной и дифференцирование функций
Тема 1.6. Основы интегрального исчисления
Тема 1.7. Функции нескольких переменных
Тема 1.8. Дифференцирование и интегрирование функций нескольких переменных
Тема 1.9. Обыкновенные дифференциальные уравнения
Тема 1.10. Оптимизационные задачи. Линейное и нелинейное программирование.
Раздел 2.Линейная алгебра и теория вероятностей
Тема 2.1. Векторы и линейные пространства
Тема 2.2. Уравнения прямых и плоскостей
Тема 2.3. Матрицы и действия с ними
Тема 2.4. Определители и их свойства
Тема 2.5. Системы линейных алгебраических уравнений
Тема 2.6. Линейные операторы
Тема 2.7. Элементарные понятия теории вероятностей
Тема 2.8. Решение задач с использованием классического определения вероятности
Тема 2.9. Независимые повторные испытания
Тема 2.10. Дискретные случайные величины, их распределения и числовые характеристики
Тема 2.11. Непрерывные случайные величины, их распределения и числовые характеристики
Тема 2.12. Центральная предельная теорема.
Тема 2.13. Двумерные случайные величины
Итого по дисциплине:

 

Содержание дисциплины

№ п/п	Наименование раздела дисциплины	Содержание раздела
1.	Введение. Специфика математики как науки	Аксиоматическое построение математических теорий. Современный взгляд на проблему определения основных понятий. Правила логического вывода и исчисление высказываний. Дедуктивная формальная логика, понятие логического следования, «прямой» метод доказательства теорем. Доказательство методом «от противного». Метод математической индукции. Математические модели. Математизация естественных и гуманитарных наук. Литература: [1], [2], [3].
2.	Тема 1.1. Теория множеств	Элементы, множества, подмножества. Способы задания множеств. Равенство множеств. Включение и строгое включение множеств. Пустое множество. Универсальное множество. Примеры числовых множеств. Операции (действия) над множествами. Объединение, пересечение, разность множеств. Дополнение множества. Диаграммы Вьена. Алгебраические свойства операций над множествами, законы де Моргана. Декартово (прямое) произведение множеств. Отображения. Определение отображения. Типы отображений, примеры. Взаимно однозначное соответствие множеств. Эквивалентные множества. Бесконечные множества. Конечные множества. Определение и особые свойства бесконечных множеств. Понятие мощности множества. Счетные множества. Континуальные множества. Отношения на множествах. Определение отношения произвольной степени. Бинарное отношение на множестве. Рефлексивные, симметричные, транзитивные бинарные отношения. Отношение эквивалентности. Отношения порядка. Изоморфизм. Литература: [1], [2], [3].
3.	Тема 1.2. Числовые последовательности и их пределы	Определение последовательности, определение предела последовательности. Примеры последовательностей. Стационарная последовательность. Свойства сходящихся последовательностей: конечное число элементов вне любой окрестности предела, ограниченность, единственность предела, арифметические свойства пределов. Бесконечно малые и большие последовательности. Неопределенности вида 0/0 и др. Число e. Литература: [1], [2], [3], [4], [5].
4.	Тема 1.3. Функции одной переменной и их свойства	Определение и общие свойства функций. Определение функции, способы задания функций. График функции. Основные свойства функций: четность, монотонность, ограниченность. Корни, экстремумы функции. Наибольшее и наименьшее значения функции. Арифметические операции над функциями. Обратная функция. Сложная функция. Построение графиков функций средствами табличного процессора MS Excel. Элементарные функции. Простейшие элементарные функции и их графики. Константа, линейная функция, квадратичная функция, экспоненциальная функция, показательная функция, логарифмическая функция, степенная функция, тригонометрические функции. Элементарные функции, построение их графиков. Литература: [1], [2], [3], [5], [6].
5.	Тема 1.4. Пределы и непрерывность функции одной переменной	Предел функции. Определение предела функции. Односторонние пределы. Предел в бесконечности, бесконечный предел в точке. Бесконечно большие и бесконечно малые функции. Первый и второй замечательные пределы. Арифметические свойства пределов. Вычисление пределов. Непрерывные функции. Определение непрерывности функции в точке. Односторонняя непрерывность в точке. Определение разрыва. Причины разрывов. Классификация разрывов. Арифметические свойства непрерывных функций. Непрерывность функции на отрезке. Свойства функции, непрерывной на отрезке (теоремы Вейерштрасса и Коши). Поиск корня функции методом «деления отрезка пополам». Литература: [1], [2], [3], [4], [5], [6].
6.	Тема 1.5. Понятие производной и дифференцирование функций	Производная, ее смысл, способы вычисления. Определение производной функции в точке; ее механическая, экономическая интерпретация. Геометрическая интерпретация производной, уравнение касательной к графику функции. Понятие производной, как функции, заданной на некотором интервале. Операция дифференцирования. Линейность операции дифференцирования. Производная произведения, частного, сложной функции, обратной функции. Производные простейших элементарных функций. Непрерывность дифференцируемой функции. Производные высших порядков. Дифференциал и приближенные вычисления. Определение дифференциала. Связь дифференциала и приращения функции. Формула конечных приращений (формула Лагранжа) и ее использование для приближенных вычислений. Эластичность функции и ее использование для приближенного вычисления относительного изменения функции. Формула Тейлора и формула Маклорена. Использование производных для исследования функций и построения их графиков. Теорема Лагранжа и ее следствие. Теорема о монотонности. Необходимое условие экстремума (теорема Ферма). Стационарные и критические точки. Достаточные условия экстремума. Выпуклость функции, геометрическая интерпретация этого понятия (направление выпуклости графика). Теорема о направлении выпуклости. Точка перегиба. Необходимое и достаточное условия точки перегиба. Асимптоты графика функции. Схема исследования функции и построения ее графика. Применение производных в экономике. Предельные показатели в микроэкономике. Максимизация прибыли. Оптимизация налогообложения предприятий. Закон убывающей эффективности производства. Литература: [1], [2], [3], [4], [5].
7.	Тема 1.6. Основы интегрального исчисления	Первообразная и неопределенный интеграл. Определения первообразной, интегрируемой функции, неопределенного интеграла. Линейность – основное свойство интеграла. Неопределенные интегралы простейших элементарных функций. Интегрирование методом замены переменной. Метод интегрирования по частям. Определенный интеграл. Определение и геометрическая интерпретация определенного интеграла. Свойства определенного интеграла. Определенный интеграл, как функция верхнего предела. Формула Ньютона-Лейбница. Схема вычисления определенного интеграла с использованием формулы Ньютона-Лейбница. Приложения определенного интеграла в экономике. Понятие несобственного интеграла по бесконечному промежутку. Литература: [1], [2], [3], [4], [5].
8.	Тема 1.7. Функции нескольких переменных	Определение функции нескольких переменных. Понятия координатного m -мерного пространства и евклидова m -мерного пространства. Геометрическая интерпретация двумерного и трехмерного евклидовых пространств. Примеры множеств, являющихся подмножествами евклидова m -мерного пространства (сфера, шар, гиперкуб, окрестность точки). Внутренние и граничные точки множеств. Открытые и замкнутые множества. Ограниченные множества. Связные множества. Выпуклые множества. Определение функции нескольких переменных. Примеры: линейная функция, квадратичная функция (квадратичная форма), степенная функция (функция Кобба-Дугласа), нелинейная функция общего вида. Графическая интерпретация функции двух переменных – поверхность в трехмерном евклидовом пространстве. Линии уровня (изокванты). Построение поверхностей и линий уровня в Excel. Пределы и непрерывность функции нескольких переменных. Понятие последовательности точек в евклидовом m -мерном пространстве и определение ее предела. Предел и непрерывность функции нескольких переменных в точке. Свойства функции, непрерывной на ограниченном замкнутом множестве. Литература: [1], [2], [4], [5].
9.	Тема 1.8. Дифференцирование и интегрирование функций нескольких переменных	Частные производные функции нескольких переменных. Полное приращение и частные приращения функции нескольких переменных. Определение и смысл частных производных первого порядка, правила их вычисления. Частные производные второго и высших порядков. Дифференциал функции нескольких переменных. Определение дифференциала и дифференцируемости функции в точке. Достаточное условие дифференцируемости. Дифференциал, частные эластичности и приближенные вычисления. Дифференцирование сложных функций. Дифференцирование функции одной переменной, заданной неявно. Поиск экстремумов функции нескольких переменных. Определение экстремума. Необходимое условие экстремума. Стационарные и критические точки. Достаточное условие экстремума для функции двух переменных. Условный экстремум. Поиск условного экстремума функции двух переменных методом прямой подстановки и методом неопределенных множителей Лагранжа. Наибольшее и наименьшее значения функции на ограниченном замкнутом множестве (две переменных). Численное нахождение экстремумов с помощью инструмента «Поиск решения» табличного процессора MS Excel. Метод наименьших квадратов. Диаграмма рассеяния, постановка задачи. Формулировка гипотезы о виде модельной функции (функции тренда). Процедура определения параметров модельной функции методом наименьших квадратов. Расчет параметров линейной модельной функции y=kx+b. Построение функции тренда средствами табличного процессора MS Excel. Геометрическая интерпретация двойного интеграла. Его вычисление путем сведения к повторному интегрированию. Литература: [1], [2], [4], [5].
10.	Тема 1.9. Обыкновенные дифференциальные уравнения	Дифференциальные уравнения первого порядка.Определение дифференциального уравнения первого порядка. Дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной. Определения решения, интегральной кривой, формулировка теоремы Коши. Понятия общего и частного решения. Геометрический смысл дифференциального уравнения первого порядка, поле направлений. Методы решения уравнений с разделяющимися переменными, неполных уравнений. Метод решения линейного дифференциального уравнения первого порядка. Дифференциальные уравнения второго порядка. Определение дифференциального уравнения второго порядка. Дифференциальное уравнение второго порядка, разрешенное относительно старшей производной. Определения решения, интегральной кривой, формулировка теоремы Коши. Понятия общего и частного решения. Метод решения линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Преобразование дифференциального уравнения второго порядка в систему двух дифференциальных уравнений первого порядка; обобщение на случай дифференциальных уравнений высших порядков. Литература: [1], [2], [4], [5].
11.	Тема 1.10. Оптимизационные задачи. Линейное и нелинейное программирование.	Задача линейного программирования. Формулировка задачи линейного программирования в стандартной форме и ее типичная экономическая интерпретация (нахождение оптимального плана выпуска продукции при наличии ресурсных ограничений). Матричная запись стандартной задачи линейного программирования. Геометрический смысл решений систем линейных неравенств и уравнений. Общая постановка задачи линейного программирования. Симплекс-метод решения задачи линейного программирования. Оптимизационная задача с несколькими целевыми функциями (многокритериальное программирование). Решение задачи методом преобразования целевых функций в ограничения. Решение задачи путем построения обобщенной целевой функции с использованием весовых коэффициентов. Задачи нелинейного программирования. Задача выпуклого программирования. Производная по направлению и градиент функции нескольких переменных. Выпуклые функции. Приближенное решение задач выпуклого программирования методом кусочно-линейной аппроксимации и градиентным методом. Литература: [7], [8], [9].
12.	Тема 2.1. Векторы и линейные пространства	Векторы, как направленные отрезки в двух- и трехмерном евклидовом пространстве. Координаты вектора, длина вектора. Обобщение на многомерный случай. Множество всех векторов в m -мерном евклидовом пространстве ‑ m -мерное линейное (векторное) пространство. Правила сложения векторов и их умножения на число. Скалярное произведение векторов и его свойства. Проекция вектора. Определения и признаки ортогональности, коллинеарности векторов. Линейная комбинация векторов. Линейная независимость векторов. Базис линейного пространства, существование ортонормированного базиса. Векторное и смешанное произведения векторов в трехмерном пространстве. Литература: [1], [2], [3], [4], [10].
13.	Тема 2.2. Уравнения прямых и плоскостей	Общий вид уравнения линии на плоскости. Нормальное и общее уравнения прямой на плоскости. Основные задачи о прямых на плоскости. Общий вид уравнения поверхности в трехмерном пространстве. Нормальное и общее уравнения плоскости в трехмерном пространстве. Основные задачи о плоскостях. Общий вид системы уравнений, описывающих линию в трехмерном пространстве. Уравнение прямой в трехмерном пространстве. Литература: [1], [2], [3], [4], [10].
14.	Тема 2.3. Матрицы и действия с ними	Определение матрицы. Использование двух индексов для идентификации элементов прямоугольной матрицы. Транспонирование матрицы. Матрица, как совокупность векторов-столбцов или векторов-строк. Умножение матрицы на число. Сложение матриц одинаковой структуры. Умножение матриц. Свойства операции матричного умножения. Умножение матрицы на вектор. Квадратная матрица, единичная матрица, обратная матрица. Определение ранга матрицы. Функции Excel для работы с матрицами. Литература: [1], [2], [4], [6], [10].
15.	Тема 2.4. Определители и их свойства	Вычисление определителей. Правила вычисления определителей квадратных матриц 2-го и 3-го порядков. Основные свойства определителей. Необходимое и достаточное условия равенства определителя нулю. Определение минора и алгебраического дополнения элемента квадратной матрицы. Теорема о способе вычисления определителя разложением по строке или столбцу (теорема Лапласа). Применение определителей. Произвольная матрица и ее миноры. Теорема о вычислении ранга матрицы. Теорема о базисном миноре. Условие существования и правило вычисления обратной матрицы. Литература: [1], [2], [4], [6], [10].
16.	Тема 2.5. Системы линейных алгебраических уравнений	Постановка задачи и основные определения. Пример: модель многоотраслевой экономики Леонтьева. Общий вид системы линейных алгебраических уравнений, матричная запись, определение решения. Совместные и несовместные системы. Эквивалентные системы, элементарные преобразования систем. Формулировка теоремы Кронекера-Капелли. Условия определенности и неопределенности совместной системы. Решение систем линейных алгебраических уравнений с квадратной матрицей. Метод обратной матрицы. Метод Крамера. Решение произвольной системы методом Гаусса. Алгоритм метода Гаусса. Структура множества решений совместной неопределенной системы: базисные и свободные переменные. Решение однородных систем линейных алгебраических уравнений. Теорема о необходимом и достаточном условии существования нетривиальных решений однородной системы и следствия из нее. Фундаментальная система решений однородной системы и способ ее нахождения. Структура общего решения однородной системы. Структура общего решения неоднородной системы. Нахождение псевдорешения несовместной системы линейных алгебраических уравнений. Получение нормальной системы из условия минимума невязки. Псевдорешение – решение нормальной системы. Поиск нормального псевдорешения в случае неопределенности нормальной системы. Общий алгоритм построения нормального псевдорешения. Численное нахождение нормального псевдорешения в Excel. Литература: [1], [2], [4], [5], [6], [10].
17.	Тема 2.6. Линейные операторы	Понятие оператора, действующего в линейном пространстве. Определение линейного оператора. Матричное представление линейного оператора. Преобразование матрицы линейного оператора при ортогональном преобразовании базиса. Примеры линейных операторов. Задача о нахождении собственных векторов и собственных значений линейного оператора. Нормировка собственных векторов. Задача о нахождении корней многочлена, комплексные числа. Линейная модель международной торговли. Литература: [1], [2], [4], [10].
18.	Тема 2.7. Элементарные понятия теории вероятностей	Испытание. Испытание, исход (элементарное событие), Полное множество исходов (вероятностное пространство). Случайность исходов. Операции над событиями. Определение случайного события. Противоположное событие. Сумма (объединение) и произведение (пересечение) событий. Достоверное и невозможное события. Несовместные события. Полная группа событий. Литература: [5], [11], [12].
19.	Тема 2.8. Решение задач с использованием классического определения вероятности	Элементы комбинаторики. Правила суммы и произведения. Подсчет числа размещений, перестановок, сочетаний. Классическое, статистическое, геометрическое определения вероятности события. Условная вероятность. Независимые события и формула умножения вероятностей для независимых событий. Общая формула сложения вероятностей. Формула сложения вероятностей для несовместных событий. Формула полной вероятности. Формула Байеса. Примеры решения задач. Литература: [5], [11], [12].
20.	Тема 2.9. Независимые повторные испытания	Схема опыта Бернулли. Формула Бернулли. Формула Пуассона. Предельный случай очень большого числа испытаний; локальная и интегральная формулы Лапласа. Литература: [5], [11], [12].
21.	Тема 2.10. Дискретные случайные величины, их распределения и числовые характеристики	Определение случайной величины. Дискретные и непрерывные случайные величины. Распределение дискретной случайной величины. Ряд распределения, полигон распределения, гистограмма распределения. Функция распределения дискретной случайной величины. Математическое ожидание, дисперсия, стандартное отклонение дискретной случайной величины. Смысл математического ожидания и дисперсии. Математические операции над случайными величинами. Биномиальное распределение, геометрическое и гипергеометрическое распределение, распределение Пуассона. Литература: [5], [11], [12].
22.	Тема 2.11. Непрерывные случайные величины, их распределения и числовые характеристики	Функция распределения и плотность вероятности непрерывной случайной величины. Определение и смысл математического ожидания, дисперсии, стандартного отклонения непрерывной случайной величины. Мода, медиана, асимметрия, эксцесс случайной величины. Моменты случайной величины. Математическое ожидание и дисперсия функции случайной величины. Примеры распределения непрерывной случайной величины. Случайная величина с равномерным распределением. Нормальная и стандартная нормальная случайные величины. Литература: [5], [11], [12]
23.	Тема 2.12. Центральная предельная теорема.	Неравенство Чебышева, Закон больших чисел в форме Бернулли. Смысл центральной предельной теоремы (теоремы Ляпунова). Литература: [5], [11], [12].
24.	Тема 2.13. Двумерные случайные величины	Распределение двумерной дискретной случайной величины. Функция распределения и ее свойства. Плотность вероятности непрерывной двумерной случайной величины и ее свойства. Условные распределения. Числовые характеристики двумерной случайной величины. Регрессия. Зависимые и независимые случайные величины. Ковариация и теоретический коэффициент корреляции. Литература: [5], [11], [12].

План практических занятий.