Уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Методика решения неоднородных линейных дифференциальных уравнений базируется на теореме о том, что общее решение неоднородного линейного уравнения равно сумме общего решения соответствующего ему однородного уравнения и какого-либо частного решения неоднородного уравнения, то есть . Поскольку алгоритм нахождения общего решения однородных уравнений был изложен, остается рассмотреть способ получения второго слагаемого - частного решения .

Будем рассматривать правую часть уравнения (2.2) в специальном виде

или ,

где – заданный многочлен степени . Назовем параметром таких функций комплексное число .

Прежде чем решать неоднородное уравнение со специальной правой частью, нужно сравнить параметр функции из правой части с корнями характеристического уравнения, соответствующего однородному уравнению. Для описания этого совпадения введем число . Если параметр не совпадает ни с одним из корней характеристического уравнения, то считаем . При совпадении с корнем характеристического уравнения считаем равным кратности совпавшего корня в характеристическом уравнении (для уравнений второго порядка кратность может принимать значения или ).

Далее в зависимости от степени многочлена и конкретного значения параметра функции в правой части неоднородного уравнения, можно записать вид, который имеет частное решение .

Начнем с рассмотрения функции (параметр имеет действительное значение, поскольку ). В этом случае , то есть частное решение ищут в виде функции специального вида с тем же параметром и той же степени, что и в правой части, умножая ее на . При этом, как отмечалось, возможны три варианта: , или . Конкретные числовые значения коэффициентов многочлена необходимо определять, подставляя в исходное уравнение функцию, в виде которой записано частное решение.

Рассмотрим, например, неоднородное уравнение

Функция в его правой части имеет степень и параметр , не совпадающий с корнями и характеристического уравнения, то есть . Поэтому частное решение такого уравнения имеет вид . Для определения числового значения коэффициентов и найдем производные функции указанного вида , и подставим в уравнение:

Полученное после сокращений равенство обратится в тождество, если приравнять коэффициенты при соответствующих степенях переменной в его обеих частях: и . Тем самым, и дают нужные значения коэффициентов для частного решения: . С учетом найденного ранее общего решения однородного уравнения, получаем .

Если изменить правую часть уравнения:

то степень функции будет , а параметр совпадет с одним из корней характеристического уравнения, то есть . Частное решение следует искать теперь в виде . Находим производные и . Подставим их в уравнение:

Равенство обращается в тождество, если , следовательно, и .

Для неоднородного уравнения

функция степени имеет параметр , совпадающий с двукратным корнем характеристического уравнения, поэтому здесь . Частное решение в этом случае приобретает вид . Производные и подставим в уравнение:

Равенство обращается в тождество, если , следовательно, и .

В случае комплексного значения параметра функции специального вида () частное решение неоднородного уравнения ищут в виде . Здесь и - многочлены той же степени , что и в правой части, - кратность совпавшего с параметром корня в характеристическом уравнении. Важно иметь в виду, что вид решения в этом случае всегда содержит обе тригонометрические функции – и , и , каждая из которых умножается на многочлен со своими коэффициентами. Коэффициенты многочленов снова нужно определять, подставляя в исходное уравнение функцию, в виде которой записано частное решение.

В качестве примера рассмотрим уравнение (2.1), описывающее вынужденные колебания в случае, если на систему воздействует периодическая внешняя сила, имеющая синусоидальный характер:

В отсутствии сопротивления уравнение упрощается:

. (3.1)

Свободные колебания были уже рассмотрены, необходимо теперь записать вид частного решения неоднородного уравнения. Параметр функции в правой части , степень . Если частота вынуждающей силы не совпадает с частотой собственных колебаний (), то . После дифференцирования и подстановки такой функции в уравнение (3.1) получим значения коэффициентов и . Тем самым, .

Общее же решение уравнения вынужденных колебаний в среде без сопротивления является наложением двух гармонических колебаний с разными частотами:

. (3.2)

При совпадении частоты возмущающей силы с частотой собственных колебаний () движение описывается уравнением

, (3.3)

а частное решение имеет вид . Подставляя такую функцию в уравнение (3.3), получим и . Видим, что частное решение описывает колебания с неограниченно возрастающей амплитудой. Общее решение тогда является наложением этих колебаний и обычных гармонических колебаний:

Таким образом, если в среде без сопротивления частота возмущающей силы совпадает с частотой собственных колебаний, то амплитуда вынужденных колебаний может стать неограниченно большой даже тогда, когда невелико. Иначе говоря, возможно получение сколь угодно больших амплитуд при малых возмущающих силах. Это явление называется резонансом. Если учитывать сопротивление среды, то при совпадении частот явление резонанса проявляется в более «мягком» виде.

Впрочем, в действительности точное совпадение этих частот не является необходимым. При близости частот и амплитуда решения (3.2) для вынужденного колебания может быть очень большой, хотя и ограниченной.

Возможностью создания колебаний со значительной амплитудой часто пользуются в различных усилителях, например в радиотехнике. С другой стороны, во многих случаях появление больших амплитуд является вредным, ибо может приводить к разрушению конструкций (скажем, мостов или перекрытий).

Числовые ряды

Пусть задана последовательность чисел . Если ее члены соединить знаками "+", то получится выражение вида , которое называют числовым рядом. Числа называются членами ряда, называется общим членом ряда.

Ряд считается заданным, если задано правило, позволяющее по известному номеру его члена записать этот член ряда . Чаще всего ряд задается формулой общего члена .

Например, формула задает ряд , то есть выражение вида (4.1)

Подставляя в эту формулу конкретное натуральное число, можно записать любой член ряда:

при – 1-й член ряда (4.1);

при – 2-й член ряда (4.1);

при – 3-й член ряда (4.1) и т.д.

Аналогично, если задан ряд вида

, (4.2)

для которого - формула общего члена, поэтому

при – 1-й член ряда (4.2);

при – 2-й член ряда (4.2);

при – 3-й член ряда (4.2) и т.д.

Для ряда введем обозначения:

; ; ; …,

и т.д.

Сумма называется - ой частичной суммой ряда .

Если существует конечный предел последовательности частичных сумм , то ряд называется сходящимся, а число называетсясуммой ряда. В этом случае пишут . Таким образом, символом обозначается не только сам ряд, но и (в случае сходимости) его сумма. Ряд называется расходящимся, если предел последовательности частичных сумм не существует или равен бесконечности.

Исследуем для примера числовой ряд . Составим частичную сумму этого ряда . Здесь суммируются числа, образующие геометрическую прогрессию со знаменателем и первым членом . Из школьного курса математики известна формула суммы первых членов геометрической прогрессии: . В нашем случае

.

Найдем предел последовательности частичных сумм

= = – = .

Видим, что предел существует и конечен. Следовательно, данный ряд сходится и его сумма равна . Записываем .

Рассмотрим числовой ряд . Для него частичная сумма имеет вид . Здесь суммируются числа, образующие геометрическую прогрессию со знаменателем и первым членом . Тогда

= = .

Находим предел

= = – = .

Следовательно, данный ряд расходится.

В процессе исследования числовых рядов бывает удобно пользоваться свойствами сходящихся рядов:

1. Если сходится ряд , то сходится и ряд , получаемый из данного ряда отбрасыванием первых членов (этот последний ряд называют -ым остатком исходного ряда) и наоборот – из сходимости -го остатка ряда вытекает сходимость данного ряда.

2. Если сходится ряд , и суммой его является число , то сходится и ряд , полученный из исходного умножением на ненулевое число , причем сумма последнего ряда равна .

3.Если сходятся ряды и , имеющие, соответственно, суммы и , то сходится и ряд , причем сумма последнего ряда равна + .

Основным вопросом при изучении числовых рядов является вопрос об их сходимости или расходимости. Формулу для - ой частичной суммы можно записать далеко не всегда, поэтому нужны утверждения, позволяющие решить этот вопрос. Начнем с необходимого условия сходимости числового ряда:

Если числовой ряд . сходится, то предел его общего члена при равен нулю, т.е. .

Действительно, если данный нам ряд сходится и , то . Поэтому

.

Например, для числового ряда

.

Видим, что необходимый признак не выполняется, следовательно, ряд расходится.

Рассмотрим далее ряд . Для него необходимый признак сходимости выполняется, поскольку . С другой стороны, . Отсюда

.

Следовательно, при последовательность частичных сумм , а это означает, что ряд расходится.

Рассмотренный пример иллюстрирует важность понимания того, что необходимый признак не является достаточным – сходимости он не обеспечивает. Поэтому вопрос о сходимости числовых рядов, для которых необходимый признак сходимости выполнен, будем решать с помощью достаточных признаков сходимости. Этот вопрос проще всего решается для рядов с неотрицательными членами.

Признаки сравнения. Пусть даны два ряда с неотрицательными членами = (1)

И = , (2)

где Признак сравнения 1. Если ряд сходится и выполняется неравенство , то ряд также сходится; если ряд расходится и выполняется неравенство , то ряд также расходится.

Сходимость или расходимость ряда с неотрицательными членами устанавливают сравнением исследуемого ряда с "эталонным" рядом, относительно которого заведомо известно, сходится он или нет.

В качестве "эталонных" рядов будем использовать следующие ряды:

Расходящиеся ряды

a) гармонический ряд

;

б) обобщенный гармонический ряд

, при ;

в) ряд, составленный из членов геометрической прогрессии

, при ;

Сходящиеся ряды

а) обобщенный гармонический ряд

, при ;

б) ряд, составленный из членов геометрической прогрессии

, при ;

Например, для ряда в качестве ряда сравнения выбираем ряд, составленный из членов геометрической прогрессии . Он является сходящимся, т.к. знаменатель прогрессии . Кроме того, справедливо неравенство для всех . Следовательно, по первому признаку сравнения ряд тоже сходится.

Сформулируем еще один признак сравнения (в предельной форме). Пусть даны два ряда с неотрицательными членами = , = . Если существует конечный и отличный от нуля предел , то ряды и сходятся или расходятся одновременно.

Предельным признаком сравнения удобно пользоваться, если общий член некоторого числового ряда есть дробно-рациональная функция, т.е. , где - многочлен степени , а - многочлен степени . При этом если , то в качестве ряда сравнения следует брать ряд , где .

Например,для исследования на сходимость ряда в качестве ряда сравнения выберем ряд . Он сходится, т.к. . Рассмотрим предел отношения

= = =

Согласно второму признаку сравнения получаем, что ряд сходится.

Для исследования рядов с положительными слагаемыми, общий член которых содержит либо показательное выражение вида , либо факториал удобно использовать признак Даламбера. Пусть дан числовой, знакоположительный ряд , и пусть существует предел отношения . Тогда

если , то данный ряд сходится;

если или , то данный ряд расходится;

если , то признак Даламбера ответа не дает (ряд может оказаться как сходящимся, так и расходящимся).

Исследуем по признаку Даламбера сходимость ряда . Здесь ; . Находим предел отношения

= .

Так как , то ряд сходится.

Далее исследуем на сходимость ряд .

Здесь ; .

Находим

= .

Так как , то по признаку Даламбера ряд расходится.

Поскольку признак Даламбера действует не всегда, нужны другие достаточные признаки для знакоположительных рядов. Рассмотрим радикальный признак Коши. Пусть дан числовой ряд (), и пусть существует конечный предел .

Тогда если , то данный ряд сходится;

если , то данный ряд расходится;

если , то признак Коши ответа не дает.

Рассмотри, например, ряд . Запишем общий член ряда в виде . Легко проверить получение любого члена данного нам ряда, полагая :

;

и т.д.

Найдем

Так как , то по признаку Коши ряд сходится.

Еще один достаточный признак сходимости знакоположительных рядов – это интегральный признак Коши. Пусть члены числового ряда удовлетворяют следующим условиям:

1) они неотрицательны () и не возрастают, т.е.

;

2) найдется непрерывная невозрастающая функция , определен-ная при и такая, что , , ,...

Тогда если несобственный интеграл сходится, то сходится и ряд ; если несобственный интеграл расходится, то расходится и ряд .

Сразу же поясним, что функцию , принимающую в точках значения , чаще всего удается получить с помощью замены натурального в выражении на непрерывно изменяющийся аргумент . Так, например, если , то ; если , то и т.п.

Однако не всегда таким путем можно получить функцию . Допустим, что . В этом случае нельзя заменить на , т.к. символ имеет смысл только при целых значениях . Но это не означает, что не существует функции , принимающей в точках значения . Напротив, она всегда существует, но ее аналитическое выражение бывает трудно найти.

Исследуем для примера сходимость ряда . Для этого рассмотрим функцию . Пусть . Вычислим несобственный интеграл

Отсюда следует, что если , то интеграл сходится; если , то интеграл расходится. При получаем – интеграл расходится. Тем самым интегральный признак Коши дает возможность обосновать утверждение относительно обобщенного гармонического ряда, который мы ранее определили в качестве эталонного: он сходится при и расходится при .

Сходимость ряда легко установить с помощью второго признака сравнения. Однако в качестве примера исследуем его с использованием интегрального признака. Для этого рассмотрим несобственный интеграл и вычислим его:

Видим, что несобственный интеграл сходится, следовательно, сходится и ряд .

При исследовании на сходимость ряда применение признаков сравнения, радикального признака Коши и признака Даламбера не дает ответа на вопрос. Попробуем воспользоваться интегральным призраком Коши. Так как , то функцией, принимающей в точках значения , будет функция . Она непрерывна для и монотонно убывает. Вычислим несобственный интеграл

Интеграл расходится, следовательно, расходится и ряд .

Приступим к исследованию на сходимость числовых рядов, члены которых имеют произвольный знак. Частным случаем таких рядов являются знакочередующиеся ряды.

Ряд , в котором все - числа одного знака, называется знакочередующимся.

Для знакочередующихся рядов различают два типа сходимости – абсолютную и условную. Ряд называется абсолютно сходящимся, если ряд , составленный из модулей его членов, сходится.

Оказывается, что всякий абсолютно сходящийся ряд является сходящимся, т.е. из сходимости ряда следует сходимость ряда . Обратное утверждение неверно.

Ряд называется условно сходящимся, если сам он сходится, а ряд , составленный из модулей его членов, расходится.

При исследовании на сходимость знакочередующегося ряда надо ответить не только на вопрос, сходится он или расходится, но и выяснить, как он сходится – условно или абсолютно.

Для знакочередующихся рядов справедлив признак Лейбница (достаточный признак сходимости): если для знакочередующегося числового ряда выполняются два условия:

1) и

2) члены ряда монотонно убывают по абсолютной величине, т.е.

, то

ряд сходится; а его сумма положительна и меньше первого члена , т.е.

.

Отметим важные свойства абсолютной и условной сходимости. Если ряд сходится абсолютно, то он остается абсолютно сходящимся и имеет одну и ту же сумму при любой перестановке его членов. Если ряд сходится условно, то, какое бы число мы заранее ни взяли, можно так переставить члены этого ряда, что сумма получившегося после перестановки ряда окажется равной .

Если ряд сходится, то при вычислении его суммы можно заменять , где – -я частичная сумма ряда. Разность называют остатком ряда. Поскольку остаток сам является знакочередующимся рядом, удовлетворяющим всем условиям теоремы Лейбница, он сходится и , т.е. погрешность замены на меньше первого отброшенного слагаемого .

Исследуем, например, ряд

.

Проверим, выполняется ли признак Лейбница. Для этого

1) находим предел общего члена ряда , видим, что первое условие выполнено;

2) проверяем второе условие признака Лейбница: , т.е. члены данного нам ряда монотонно убывают по модулю. Таким образом, оба условия признака Лейбница выполняется и, следовательно, ряд сходится.

Выясняем теперь, как сходится ряд - условно или абсолютно. Для этого рассматриваем ряд, составленный из модулей членов нашего ряда: . Здесь , .

Воспользуемся признаком Даламбера, вычислив

.

Так как , то ряд сходится. Следовательно, исходный знакочередующийся ряд сходится абсолютно.

Рассмотрим ряд . Применим к нему признак Лейбница:

1) ;

2) - члены ряда монотонно убывают по абсолютной величине.

Следовательно, ряд сходится по признаку Лейбница. Однако он сходится лишь условно, т.к. ряд , составленный из его модулей, расходится (это гармонический ряд).