П.В. Столбов
Математика
Часть III
Утверждено редакционно-издательским
советом университета в качестве
учебного пособия
Нижний Новгород
ННГАСУ
ББК 22.1
С 81
Столбов П.В. Математика. Часть III [текст]: учебное пособие / П.В. Столбов; Нижегород. гос. архит.-строит. ун-т. – Н.Новгород: ННГАСУ, 2013. – 63 с.
ISBN 978-5-87941-880-0
Учебное пособие по математике предназначено для студентов всех специальностей и направлений.
ББК 22.1
ISBN 978-5-87941-880-0
© Столбов П.В., 2013
© ННГАСУ, 2013
В курсе математики средней школы изучались алгебраические уравнения, где неизвестными были числа. Сейчас мы переходим к рассмотрению так называемых дифференциальных уравнений, при решении которых находят неизвестные функции, удовлетворяющие заданным соотношениям, включающим операцию дифференцирования.
Рассмотрим для начала задачу о законе изменения скорости свободного падающего тела. Пусть тело массы 
падает с некоторой высоты. Учтем, что кроме силы тяжести, на него действует сила сопротивления воздуха. Запишем второй закон Ньютона
, (1.1)
предполагая, что сила сопротивления пропорциональна скорости 
в каждый момент времени 
с коэффициентом пропорциональности 
. Уравнение (1.1), кроме неизвестной функции 
, содержит еще и ее производную 
. Это и есть дифференциальное уравнение.
Дадим общие определения. Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение
, (1.2)
связывающее независимую переменную 
и искомую функцию 
с ее первой производной 
. Если можно явно выразить через оставшиеся переменные уравнения (1.2), то оно приобретает вид
. (1.3)
Решением дифференциального уравнения (1.2) называется всякая функция 
, которая при подстановке в уравнение (1.2) обращает его в тождество.
Можно убедиться, в частности, что функция
(1.4)
при любом значении постоянной 
удовлетворяет уравнению (1.1). Действительно, подставляя функцию (1.4) и ее производную 
в (1.1), получим тождество. Это означает, что функция вида (1.4) является решением уравнения (1.1).
Заметим, что мы нашли бесконечно много функций, удовлетворяющих дифференциальному уравнению (1.1) – каждому значению постоянной соответствует свое решение вида (1.4).Множество функций 
, обращающих уравнение (1.3) в тождество, называют общим решением дифференциального уравнения (1.3). Запись общего решения содержит произвольную постоянную . Заметим, что решение дифференциального уравнения может быть записано и в неявном виде 
.
Допустим, что в рассматриваемой задаче известна скорость тела в начальный момент времени 
. Обозначим её 
. Чтобы определить, как будет изменяться скорость тела в дальнейшем, выделим из найденного множества решений (1.4) только одно - то, которое соответствует начальному условию . При и 
из множества решений (1.4) получим 
, откуда 
. Подставляя найденное значение постоянной в (1.4), получим закон изменения скорости падающего тела при заданном начальном условии 
:
. (1.5)
Согласно последнему равенству, скорость падающего тела при 
будет стремиться к величине 
. Отсюда, в частности, можно найти нужный коэффициент сопротивления (парашют), чтобы обеспечить приземление с допустимой скоростью. Функция (1.5) представляет собой так называемое частное решение уравнения (1.1), соответствующее начальному условию .
Частным решением уравнения (1.3) называется одна функция, удовлетворяющая самому уравнению и начальному условию. Задачу нахождения частного решения дифференциального уравнения (1.3), удовлетворяющего данному начальному условию 
, называют задачей Коши. Если правая часть 
уравнения (1.3) непрерывна в некоторой области, содержащей начальную точку 
, и имеет непрерывную в этой области частную производную 
, то задача Коши имеет единственное решение. При этих условиях частное решение получается из общего решения при конкретном значении произвольной постоянной .
Процесс отыскания решения дифференциального уравнения называется его интегрированием, а график решения – интегральной кривой. Рассмотрим геометрическую интерпретацию решений уравнения (1.3) на конкретном примере. Пусть требуется найти частное решение дифференциального уравнения
, (1.6)
удовлетворяющего начальному условию
. (1.7)
Непосредственной подстановкой убеждаемся, что функция вида
(1.8)
обращает уравнение (1.6) в тождество. Она содержит произвольную постоянную и является общим решением уравнения (1.6). Построив в плоскости 
графики этих функций при различных значениях . мы получим семейство парабол (См. рис.1).
Чтобы выделить из этого семейства интегральных кривых конкретную параболу, соответствующую условию (1.7), рассмотрим точку с координатами 
. Через нее проходит парабола семейства (1.8), для которой 
. Соответствующее решение 
является искомым частным решением.
Переходим к рассмотрению конкретных видов дифференциальных уравнений первого порядка и методов их решения.
Если правая часть дифференциального уравнения (1.3) может быть записана в виде произведения функций двух функций 
и 
, зависящих от переменных и соответственно, то есть 
, то уравнение называют дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными.
Учитывая, что 
, перепишем последнее уравнение в виде
или 
.
Умножая обе части последнего уравнения на 
, получим вид уравнения 
, (1.9)
в котором каждая из переменных и находится в той части уравнения, где ее дифференциал. Считая известной функцией от , равенство (1.9) можно рассматривать как равенство двух дифференциалов и интегрировать обе части уравнения (1.9). Полученные при этом функции 
и 
будут отличаться постоянным слагаемым: 
. Мы записали соотношение, связывающее решение , независимую переменную и произвольную постоянную , это соотношение и представляет собой общее решение дифференциального уравнения (1.3).
Уравнение с разделяющимися переменными, записанное исходно в дифференциальной форме
,
решается аналогично.
Решим для примера дифференциальное уравнение
. (1.10)
Функцию 
в правой части уравнения можно представить в виде произведения 
и переписать уравнение (1.10):
или 
.
Умножая обе части последнего уравнения на функцию 
, получим 
. Интегрируя 
, находим 
, или 
, откуда 
– общее решение уравнения (1.10), где – произвольная постоянная.
Решим далее задачу Коши: найдем решение уравнения
, (1.11)
при условии, что
. (1.12)
Дифференциальное уравнение (1.11) с разделяющимися переменными запишем в виде
.
Умножая обе части последнего уравнения на 
, разделим переменные: 
.
Интегрируя 
, находим 
, или 
, где – произвольная постоянная.
Итак, общее решение уравнения (1.11) имеет вид
.
Учет начального условия (1.12) дает 
, откуда 
. Следовательно, решение задачи Коши записывается в виде 
или 
.
Рассмотрим далее л инейные дифференциальные уравнения первого порядка, которые, по определению, имеют вид
. (1.13)
Решение уравнения (1.13) будем искать в виде произведения
(1.14)
двух неизвестных функций 
и 
, тогда
. (1.15)
Подставив в уравнение (1.13) вместо и равенства (1.14) и (1.15) соответственно, получим
,
или 
. (1.16)
Рассмотрение вместо одной неизвестной функции 
двух функций 
и 
дает возможность ввести для одной из них, в частности , дополнительное условие, которое упростит уравнение. Оно состоит в требовании обращения выражения 
в нуль, то есть
. (1.17)
Уравнение (1.17) является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными 
и . Его запишем в виде 
или 
. Умножая обе части последнего уравнения на 
, разделяем переменные: 
. Интегрируем
и находим одно из решений уравнения (1.17), например, при постоянной . Это решение обозначим 
. Для второй неизвестной функции из (1.16) получим уравнение 
. Снова разделяем переменные 
и, интегрируя, находим 
, где – произвольная постоянная.
Подставляя найденные и в функцию (1.14), получаем решение уравнения (1.13) в виде 
.
Найдем для примера общее решение уравнения
(1.18)
В нем по условию 
, 
. Подставив в уравнение и 
, получим 
,
или 
. (1.19)
В качестве функции возьмем одно решение уравнения 
при значении . Перепишем его в виде 
, разделим переменные 
и, интегрируя 
, находим 
. При получим 
. (1.20)
Подставим функцию (1.20) в (1.19), получим 
или 
.
Снова разделяя переменные 
и интегрируя 
,
находим 
, (1.21)
где – произвольная постоянная.
Подставляя найденные функции (1.20) и (1.21) в равенство , получим общее решение данного уравнения (1.18)
.
Линейные однородные дифференциальные уравнения
Второго порядка
Начнём с задачи из механики. Рассмотрим прямолинейное движение материальной точки массы 
по оси 
. Отклонение точки от положения равновесия будем определять функцией 
. Пусть движение происходит под действием трёх сил: силы, притягивающей точку к началу координат и имеющей проекцию на ось , равную 
, силы сопротивления среды, которую считаем пропорциональной первой степени скорости 
и возмущающей силы, направленной по оси и равной 
в момент времени 
.
Применяя второй закон Ньютона к движущейся массе, получим
.
Разделим обе части уравнения на 
и после введения новых обозначений 
, 
и 
приведем его к виду
. (2.1)
Полученное уравнение относится к классу так называемых линейных дифференциальных уравнений второго порядка, имеющих вид
. (2.2)
В них неизвестная функция 
и ее производные 
входят линейно. В качестве коэффициентов уравнения 
и 
могут рассматриваться любые функции, непрерывные в интервале 
. При этих условиях существует единственное решение уравнения (2.2), удовлетворяющее заданным начальным условиям 
.
Если правая часть уравнения (2.2) равна нулю:
, (2.3)
то оно называется однородным, в противном случае (если 
) – неоднородным.
Уравнение вида (2.2) служит математической моделью разнообразных колебательных физических процессов, то есть процессов, которые характеризуются определенной повторяемостью во времени. Колебательные процессы широко распространены в природе и технике, например, качания маятника часов, переменный электрический ток и т.д. При колебательном движении маятника или груза на пружине изменяется координата центра масс, в случае переменного тока колеблются напряжение и сила тока. Физическая природа колебаний может быть разной, однако они описываются сходными характеристиками и уравнениями одинакового типа. Математические модели, сводящиеся к линейному дифференциальному уравнению второго порядка с постоянными коэффициентами, называют линейным осциллятором.
Методика решений рассматриваемых уравнений базируется на следующем утверждении. Если 
и 
– два каких-либо непропорциональных друг другу решения уравнения (2.3), т.е. 
, то общее решение 
однородного дифференциального уравнения второго порядка имеет вид
,
где 
– произвольные постоянные. Следовательно, два любых непропорциональных решения однородного линейного дифференциального уравнения второго порядка формируют его общее решение. Однако нет общего метода отыскания функций и . Их легко найти в случае, когда коэффициенты уравнения (2.3) являются числами. Обозначим их 
и 
:
. (2.4)
Такое уравнение называется линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Его решения ищут в виде функций 
. Рассмотрим, например, уравнение
.
Подставив в него функцию , а также ее производные 
и 
, получим 
. Поскольку 
, функция будет решением, если 
– корень квадратного уравнения
,
которое называют характеристическим уравнением соответствующего дифференциального уравнения. Его корни 
и 
, поэтому непропорциональные функции 
и 
формируют общее решение этого уравнения 
. В общем виде характеристическое уравнение дифференциального уравнения (2.4) имеет вид
. (2.5)
Если 
, то уравнение (2.5) имеет два различных действительных корня 
и 
, которые определяются формулой
.
При этом непропорциональные решения уравнения 
и 
формируют общее решение уравнения (2.4) в виде
.
Рассмотрим дифференциальное уравнение 
. Его характеристическое уравнение имеет два одинаковых корня 
(в таком случае говорят, что 
– корень кратности два). Одно из решений в этом случае нам известно: 
. Непосредственной подстановкой в уравнение можно убедиться, что функция 
также будет решением этого уравнения. Поскольку полученные функции непропорциональны, общее решение дифференциального уравнения получается в виде 
.
В целом можно сказать, что если выполняется условие 
, то характеристическое уравнение (2.5) имеет кратный корень 
, а общее решение 
однородного дифференциального уравнения второго порядка имеет вид 
.
Если же характеристическое уравнение (2.5) имеет комплексные корни 
, то можно убедиться, что функции 
и 
образуют пару непропорциональных решений уравнения (2.4), а его общее решение имеет вид
.
Такая ситуация возникает, если 
, при этом 
, 
.
Рассмотрим, например, дифференциальное уравнение 
. Его характеристическое уравнение 
имеет комплексные корни 
, а общее решение, тем самым, приобретает вид 
. Для уравнения 
также составим характеристическое уравнение: 
. Его комплексные корни 
позволяют записать общее решение дифференциального уравнения в виде 
.
Вернёмся теперь к механическим колебаниям. Отсутствию возмущающей силы соответствует уравнение (2.1), в котором 
:
. (2.6)
Такое уравнение называется уравнением свободных колебаний. Характеристическое уравнение в этом случае имеет вид
. (2.7)
Свободные колебания в среде без сопротивления описываются уравнением 
. В этом случае характеристическое уравнение 
имеет мнимые корни 
, ему соответствует общее решение
Удобно привести записанное решение к другой форме, введя новые обозначения. Умножив и разделив на 
, получим
Если положить
,
то общее решение приобретает вид
.
Оно описывает движение, которое называют гармоническим колебанием. Его график имеет вид:
Величину 
называют амплитудой колебания, аргумент 
— фазой колебания, величину 
- начальной фазой колебания. Величина представляет собой частоту колебания. Напомним, что 
. Период колебания 
и частота k зависят только от массы системы и силы, притягивающей точку к началу координат. В задаче о движении тела, подвешенного на пружине, это означает зависимость от жесткости пружины.
Свободные колебания в среде с сопротивлением описываются уравнением (2.6). Если 
, то характеристическое уравнение (2.7) имеет два различных действительных корня 
. В модели движения груза на пружинке указанное условие означает, что сила сопротивления среды большесилы упругости пружины. Общее решение дифференциального уравнения в этом случае 
описывает апериодическое движение. Поскольку корни характеристического уравнения отрицательны, то с ростом координата стремится к нулю.
Характеристическое уравнение (2.7) имеет кратный корень 
, если 
, то есть 
. Для задачи о движении груза на пружине это означает, что сила сопротивления и сила упругости пружины «уравновешены» в смысле указанного равенства. Общее решение приобретает вид 
. При малых значениях основную «роль» играет первый множитель, линейный относительно , а затем с увеличением материальная точка будет стремиться к положению равновесия.
Если же 
(то есть 
- упругая сила пружины превосходит силу сопротивления среды в задаче о грузе на пружине), то характеристическое уравнение (2.7) имеет комплексные корни 
.
Общее решение
описывает затухающие гармонические колебания с периодом 
, частотой 
и амплитудой 
, убывающей с увеличением . Вид графика решения:
Проанализировав полученные результаты, можно сказать, что наличие сопротивления 
видоизменяет характер колебаний: пока сопротивление сравнительно невелико 
, движения остаются периодическими, затухая с увеличением , при большом сопротивлении среды 
движения становятся апериодическими.
