Федеральное агентство морского и речного транспорта
Федеральное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования
Волжская государственная академия водного транспорта
Кафедра математики
Доклад
по дисциплине: «Математика»
на тему: «Задачи анализа разомкнутых и замкнутых систем массового обслуживания»
Выполнила: студентка группы БЭ-26 Ковалева Я. А.
Проверила: Урусова Н.А.
Нижний Новгород
2012 год
Буквально с момента рождения нам приходится сталкиваться c очередями. Мы стоим в очереди в академии в гардероб... Мы набираем телефонные номера наших друзей и слышим продолжительные гудки Можно приводить множество примеров.
Очереди возникают практически во всех системах массового обслуживания (C М О) и теория массового обслуживания (теория очередей) занимается оценкой функционирования системы при заданных параметрах и поиском параметров, оптимальных по некоторым критериям.
Эта теория представляет особый раздел теории случайных процессов и использует, в основном, аппарат теории вероятностей. Первые публикации в этой области относятся к 20-м гг. XX в. и принадлежат датчанину А. Эрлангу, занимавшемуся исследованиями функционирования телефонных станций - типичных СМО, где случайны моменты вызова, факт занятости абонента или всех каналов, продолжительность разговора. В дальнейшем теория очередей нашла развитие в работах К.Пальма, Ф.Поллачека, А.Я.Хинчина, Б.В.Гнеденко, А.Кофмана, Р.Крюона, Т. Cаати и других математиков.
В качестве основных элементов СМО следует выделить входной поток заявок, очередь на обслуживание, cистему (механизм) обслуживания и выходящий поток заявок. В роли заявок (требований, вызовов) могут выступать покупатели в магазине, телефонные вызовы, поезда при подходе к железнодорожному узлу, вагоны под разгрузкой, автомашины на станции техобслуживания, самолеты в ожидании разрешения на взлет. Роль обслуживающих приборов (каналов, линий) играют продавцы или кассиры в магазине, таможенники, пожарные машины, взлетно-посадочные полосы, экзаменаторы, ремонтные бригады.
Системы массового обслуживания с ожиданием распространены наиболее широко. Их можно разбить на две большие группы: разомкнутые и замкнутые. Эти системы определяют так же, как системы с ограниченным и неограниченным входящим потоком. К замкнутым относятся системы, в которых поступающий поток требований ограничен. Например, мастер, задачей которого является наладка станков в цехе, должен периодически их обслуживать. Каждый налаженный станок становится в будущем потенциальным источником требований на отладку. В подобных системах общее число циркулирующих требований конечно и чаще всего постоянно. Если питающий источник обладает бесконечным числом требований, то системы называются разомкнутыми. Примерами подобных систем могут служить магазины, кассы вокзалов, портов и др. Для этих систем поступающий поток требований можно считать неограниченным.
Основные характеристики СМО.
Значение P0 определяет вероятность того, что все каналы обслуживания свободны (находятся в состоянии простоя).
Значение Pk определяет вероятность того, что в системе (в очереди и на обслуживании) находятся k заявок. Если k не превышает числа каналов N, то все заявки находятся на обслуживании и очередь отсутствует; в противном случае все каналы заняты и k-N заявок находится в очереди.
Вероятность Pотк отказа в обслуживании определяется ситуацией занятости всех N каналов и всех m мест в очереди и равна PN+m.
Среднее число занятых каналов Nзан определяется математическим ожиданием дискретной случайной величины:
Среднее число свободных каналов
Коэффициент простоя каналов
Коэффициент занятости каналов
Относительная пропускная способность (доля обслуженных заявок в общем числе поступавших в систему) определяется величиной
Абсолютная пропускная способность (среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени) определяется величиной
Средняя длина очереди
Cреднее число заявок, находящихся в системе, складывается из средних значений занятости каналов и длины очереди
Среднее время пребывания заявки в очереди равно
Общее время пребывания заявки в очереди будет складываться из Tочер и среднего времени обслуживания
Полученные характеристики дают возможность анализа замкнутых и разомкнутых систем с отказами (m=0), с очередью или с ожиданием при простейшем входном потоке и однотипных параллельных каналах обслуживания с показательным законом длительности обслуживания (в частности, с фиксированной длительностью).
Примеры систем с ограниченной очередью
Пример 1. Пусть на аэродром самолеты прибывают с интенсивностью 27 самолетов в час, время приземления составляет 2 минуты, допускается нахождение над аэродромом не более m = 10 самолетов. Нужно определить число N посадочных полос, гарантирующее вероятность отказа, не превышающую 0.05, и среднее время ожидания, не превышающее 5 минут.
Здесь l=27, m = 30, r=l/m = 0.9.
Отыскиваем вероятность простоя диспетчеров службы посадки:
Вероятность отказа в посадке равна
Cреднее время ожидания в воздухе:
Выполняя арифметические действия при N=1, обнаруживаем, что
и что одной посадочной полосы при указанных условиях вполне достаточно.
