Поверхности второго порядка

Кронекель-Капелли

Для того, чтобы система линейных уравнений была совместна необх. и достаточно, чтобы ранг матрицы

системы был равен рангу матрицы расширенной матрицы системы.

Следствия: 1.) Если ранг матрицы системы < ранга расшир. матрицы системы, то система не совместна.

2.) Если ранг матрицы системы = числу неизвестных системы, то сист. имеет 1 решение

3.) Если ранг матрицы системы меньше числа неизвестных, то сист. имеет ∞ мн-во решений.

Исследование системы на совместность: Совместна, если имеет, хотя бы 1 решение.

1. Если D матрицы сист. лин. ур-ий ¹0, то система имеет 1 решение

2. Если D сист. =0, но хотя бы один из Dx или Dy ¹0, то сист. не им. реш.

3. Если D=Dx=Dy=0, то сист имеет ∞ мн-во решений

Векторная алгебра:

x=(x₁+lx₂)/(1+l)-деление отрезка в заданном соотношении

Cosl=a_x/SQRT(a_x²+a_y²+a_z²)-направл. кос. вектора.

Скаляр. пр-ие векторов: a(®)b(®)=|a(®)|×|b(®)|×Cos(a(®)^b(®))

1.) a(®)b(®)=b(®)a(®) 2.) l(a(®)b(®))= (la(®))b(®) 3.) (a(®)+b(®))c(®)=a(®)c(®)+b(®)c(®)

4.) a(®)b(®)=0, если a(®)^b(®)

Выр. скал. пр-ия через пр-ии перемн. векторов: a(®)b(®)=a_xb_x ii +a_xb_y ij +…+a_zb_z kk =a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z

Векторное пр-ие векторов: a(®) ´ b(®)=| i j k|=i(a_yb_z-b_ya_z)-j(a_xb_z-a_zb_x)+k(a_xb_y-b_xa_y)

S_ABCD=|AB(®) ´ AC(®)| |a_x a_y a_z|

S_ABC=0.5|AB(®) ´ AC(®)| |b_x b_y b_z| i(®) ´ j(®)=k(®), j(®) ´ i(®)= -k(®), j(®) ´ k(®)=i(®)……..

1.) a(®) ´ b(®)= -b(®) ´ a(®) 2.) l ( a(®) ´ b(®) ) = ( la(®) )´ b(®)

3.) a(®) ´( b(®)+c(®) ) =a(®) ´ b(®)+a(®) ´ c(®) 4.) Если век. пр-ие=0, то либо 1 из векторов нулевой, либо они ||.

Выр. век. пр-ия через… векторов: a(®) ´ b(®)=a_xb_x i (®) ´ i (®)+a_xb_y i (®) ´ j (®)+…+a_zb_z k (®) ´ k (®)=D

|c_x c_y c_z|

Прямая на плоскости:

A(x-x₁)+B(y-y₁)=0, где A,B-коорд. вект. нормали

Ax+By+C=0 –общ. ур-ие

(x-x₁)/m=(y-y₁)/n, где m,n-коорд. напр. вект.

y=k(x-x₁)+y₁ –канонич. ур-ие

(x-x₁)/(x₂-x₁)=(y-y₁)/(y₂-y₁)-ур-ие прям., прох. через 2 точк.

tgj=(k₂-k₁)/(1+k₁k₂)-угол меж. прям. (k₁=-1/k₂-для случая перпенд.)

d= ± (Ax₀+By₀+C)/SQRT(A²+B²)-расст. меж. прям. и точк M(x₀,y₀),где A,B-коорд. вект. нормали.

Кривые второго порядка:

(x-x₀)²+(y-y₀)²=R²-окружность ((x₀,y₀)-центр окр)

(x²/a²)+(y²/b²)=1 -эллипс (y=b*SQRT(a²-x²)/a- для 1 четверти;) e=с/a, c²=a²-b², e²=1-b²/a²)

(x²/a²)-(y²/b²)=1-гипербола (y= a*SQRT(x²-a²)/b-для 1 четверти;)(e=с/a, c²=a²+b², y=±bx/a-оссимп)

Поверхности второго порядка

y²/b²-x²/a²=1 (x-x₀)²+(y-y₀)²+(z-z₀)²=r²-сфера, центр (x₀,y₀,z₀)

x²/a²+y²/b²=1-эллипт. цил.; x²/a²-y²/b²=1-гипер. цил.

x²/a²+y²/b²-z²/c²=0-конус;x²/a²+y²/b²+z²/c²=1эллип

x²/a²-y²/b²+z²/c²=1-гиперболоид однополост

y²=2px -парабола (x= -p/2-директриса) x²/a²-y²/b²+z²/c²=-1 -гиперболоид двуполост

x²/p+y²/q=2z-эллип. параболоид; q, p>0-параметры

x²/p-y²/q=2z-гипер парабалоид; q, p>0-параметры

Полярная система координат:

x=rCosj, y=rSinj- от поляр. к прямоуг.

r=±SQRT(x²+y²), Sinj=y/±SQRT(x²+y²), Cosj=x/±SQRT(x²+y²)- от прям. к поляр.

Плоскость:

A(x-x₁)+B(y-y₁)+C(z-z₁)=0- ур-ие пл-ти, прох. через фикс. точку

Ax+By+Cz+D=0 –ур-ие пл-ти с вект. нормали N=Ai(®)+Bj(®)+Ck(®) (общее ур-ие)

x/a+y/b+z/c=1-ур-ие пл-ти в отрезках на осях (a,b,c- отрезки отсек. пл-тью на осях)

D = |x-x₁ y-y₁ z-z₁| =Ax+By+Cz+D=0-ур-ие пл-ти прох., через 3 точки

|x₂-x₁ y₂-y₁ z₂-z₁|

|x₃-x₁ y₃-y₁ z₃-z₁|

xCos l +yCos b +zCos g -p=0-норм. ур.(l,b,g-углы меж. коор. ос. и пл-тью, р-длин перп., опущ. из(000)на пл-ть)

Чтобы перейти от общ. к норм.: общ. ур-ие умнож. на нормир. множ-ель N= ±1/SQRT(A²+B²+C²),

выбрав знак, противополож, знаку слагаемого D в общ. ур-ии

Углы между плоскостями:

Cos a= N₁(®)N₂(®)/|N₁(®)||N₂(®)|=(A₁A₂+B₁B₂+C₁C₂)/SQRT((A₁²+B₁²+C₁²)(A₂²+B₂²+C₂²))

A₁\A₂=B₁\B₂=C₁/C₂- когда пл-ти параллельны Ур-ие учка плоскостей:

A₁A₂+B₁B₂+C₁C₂=0- когда пл-ти перпендикулярны A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0 (умн. на парам.

Расстояние от точки до пл-ти: A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0 l и складыв.):

Дано: M(x₁,y₁,z₁)-точка; Q=Ax+By+Cz+D=0-пл-ть;

d=|Ax₁+By₁+Cz₁|/SQRT(A²+B²+C²)-расстояние A₁x+B₁y+C₁z+D₁+l(A₂x+B₂y+C₂z+D₂)=0

Прямая в 3D

A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0-обшее ур-ие прямой (x-x₁)/m=(y-y₁)/n=(z-z₁)/p-кононическое ур-ие

A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0 (x-x₁)/Cosl=(y-y₁)/Cosb=(z-z₁)/Cosg-оно же, если

r=r₁+ts(®) –векторное уравнение s(®) единичный

x=x₁+tm s(®)=N₁(®) ´ N₂(®)(из общ. ур-ия)=| i j k |

y=y₁+th -параметрическое ур-ие |A₁ B₁ C₁|

z=z₁+tp |A₂ B₂ C₂|

(x-x₁)/(x₂-x₁)=(y-y₁)/(y₂-y₁)=(z-z₁)/(z₂-z₁)- ур-ие прямой, прох. через 2 точки

Cosl=s₁(®)s₂(®)/|s₁(®)|×|s₂(®)|=(m₁m₂+n₁n₂+p₁p₂)/(SQRT((m₁²+n₁²+p₁²)(m₂²+n₂²+p₂²))-угол

Sinj=(Am+Bn+Cp)/SQRT((A₂+B₂+C₂)(m₂+n₂+p₂))-угол меж. пр. и пл-тью(A,B,C-коорд. норм.

век. пл-ти, m,n,p-коорд. напр. вект. прямой)

Комплексные числа z=x+y i -общ. вид.(алгебр. запись); x=Rez, y=Inz; z(®)=x-y i -сопряжение z

Тригонометр запись: Показательная запись:

x=rCosj; y=rSinj; z=r(Cosj+ i Sinj); (r=|z|=SQRT(x²+y²); j=arctg(y/x)) z=re^(i j)

Действия: z₁±z₂ =(x₁+y₁ i) ± (x₂+y₂ i)=(x₁±x2)+ i (y₁±y₂); z₁z₂ =(x₁+y₁ i)(x₂+y₂ i)=x₁x₂+y₁x₂ i +y₁x₂ i -y₁y₂=(x₁x₂-y₁y₂)+ i (x₁y₂+y₁x₂)

z₁/z₂ =z₁z₂(®)/z₂z₂(®)=(x₁+y₁ i)(x₂-y₂ i)/(x₂+y₂ i)(x₂-y₂ i)=(x₁x₂+y₁y₂)/(x₂²+y₂²)+ i (y₁x₂-x₁y₂)/(a₂²+b₂²)

z₁z₂ =r₁r₂(Cos(j₁+j₂)+ i Sin(j₁+j₂)); z₁/z₂ =r₁(Cos(j₁-j₂)+ i Sin(j₁-j₂))/r₂; zⁿ =r ⁿ (Cosj n + i Sinj n)

корень n степ. из z= кор n степ из: (r(Cosj+ i Sinj)=(Кор n степ из r)*(Cos((j+2pk)/n)+ i Sin((j+2pk)/n)), k=0,1,2…n-1

z₁z₂ =r₁r₂e^(i (j₁+j₂)); z₁/z₂ =r₁e^ i (j₁-j₂)/ r₂; zⁿ =rⁿe^(i nj)

корень n степени из z=( кор n степ из r)*e^ i ((j+2pk)/n)

e^z=e^{(x+y i)}=e^xe ⁱ ^y=e^x(Cosy+ i Siny)- формула Эйлера

z=|z|(Cosj+ i Sinj)=re^ i j

]

Б.Б.В.

(" A>0)($ N)(" n>N):|x_n|>A, lim(x_n®∞)x_n=∞; (если $ N)(" n>N):lim(x_n®+∞)x_n=+∞-то ББВ положит

1. Если а ¹0-пост. величина, то а ×ББВ=ББВ 2. ББВ × ББВ=ББВ 3. å ББВ одного знака=ББВ 4. ББВ/БМВ=ББВ

5. ББВ / ББВ (предст. неопр. вида ∞/∞)одинак. знаков может быть: а) ББВ б) БМВ в) конечная

Б.M.В.

(" e>0)($ N)(" n>N):|x_n|<e, lim(x_n®∞)x_n=0;

свойства БМ пос-тей:

1 Сумма (разность) 2-х БМВ есть БМВ.

Док-во: · ]e>0Þ($ N₁)(n>N₁):|x_n|<e/2 и ($ N₂)(n>N₂):|a_n|<e/2, возьмем N_max={N₁,N₂}Þ,будут выполн.

оба нер-ваÞ|x_n±a_n|£|x_n|+|a_n|<e/2+e/2=e· Следствие: алг. сум. люб. конеч. числа БМВ есть БМВ

2 Пр-ие 2х БМВ есть БМВ.

Док-во: · ]e>0Þ($ N₁)(n>N₁):|x_n|<e и ]e=1Þ($ N₂)(n>N₂):|a_n|<1, возьмем N_max={N₁,N₂}Þ,

будут выполн. оба нер-ваÞ|x_n×a_n|=|x_n|×|a_n|<e×1=e· Следствие: пр-ие люб. конеч. числа БМВ есть БМВ

3 Пр-ие огр. пос-ти на БМВ есть БМВ.

Док-во: · ]{x_n}-огр., а{a_n}-БМВ, т.к. {x_n}-огр., то($ A>0)(" x_n):|x_n|£A по опр., тогда]e₀=e/A(e>0)Þ

($ N)(" n>N):|a_n|<e/AÞ|x_n×a_n|=|x_n|×|a_n|<Ae/A=e·

4 Пр-ие БМВ на число есть БМВ.

Док-во: ·]A-пост. велич. и ]{x_n}-БМВ, то по опр.: (" (e/A)>0)($ N)(" n>N):|x_n|<e/A,ÞA×|x_n|<e×A/A=e·

5 Пр-ие переменной внличины, стремящейся к пределу на БМВ есть БМВ

6 Частное 2-х БМВ есть величина, либо БМ, либо ББ, либо конечная (частное 2-х БМВ им. неопр-ть вида 0/0)

Числовые последовательности

Числ. пос-тью назыв. мн-во знач. ф-ии f (n), определяемой на мн-ве натур. чисел.

Монотонно-возр. пос-ть: (" n):x_n₊₁>x_n; (" n):x_n₊₁<x_n – монотон. убывающ.

Предел пос-ти: Если: (" e>0)($ N)(" n>N):|A-x_n|<e, то A-предел пос-ти {x_n}

($ M)(" x_n):x_n£M-огранич. сверху; ($ m)(" x_n):x_n³m -огранич. снизу

($ A>0)(" x_n):|x_n|£ A -ограничена; (" A>0)($ x_n):|x_n|>A -неограничена

Расходящиеся пос-ти

Расх пос-ть {x_n}это пос-ть, имеющая: lim(n®∞)x_n=±∞

Св-ва:

1) Если пос-ть x_n огран., а y_n расходится, то при n®∞, lim(x_n+y_n)=±∞; lim(x_ny_n)=±∞; lim(x_n/y_n)=0; lim(x_n-y_n)=±∞

2) Если пос-ти x_n и y_n обе расходятся, и имеют предел +∞, то lim(n®∞)(x_n-y_n)=+∞

3) Если x_n и y_n расход, причем x_n к +∞,а y_n к -∞, то: lim(x_n-y_n)=+∞, lim(x_ny_n)= -∞

4) Если x_n сходится к а, а y_n расход к ±∞, то: lim(x_ny_n)=+∞, если a>0 и lim(x_ny_n)=-∞, если а<0.

5) Если x_n сход к а, а y_n к 0, то: limx_n/y_n=+∞, если а>0 и limx_n/y_n=-∞, если а<0

Сумма, разность, пр-ие, частное пос-тей:

1) ] lim(n®∞)x_n=a; lim(n®∞)y_n=b, то å этих пос-тей lim(n®∞)(x_n±y_n)=a±b (справедливо и для n®±∞; n®n₀)

2) lim(x_ny_n)=limx_nlimy_n (при n®∞; n®±∞; n®n₀)

3) lim(x_n/y_n)=limx_n/limy_n, если limy_n¹0

Теоремы о предельном переходе:

1) Если x_n имеет конеч предел, то для "R-числа l: lim(n®∞)(x_n^l)=(lim(n®∞)(x_n))^l

2) Если пос-ть x_n приним только положит зн-ия и имеет lim¹0, то "а>0: lim(log_ax_n)=log_a(limx_n) (при n®∞)

3) При тех же условиях: lim(a^x_n)=a^(limx_n) (при n®∞)

Предел функции

Число А назыв. пределом ф-ии f(x) при x®x₀, если (" e>0)($ d>0)(" xÎобл.опр.,x¹x₀,|x-x₀|<d):|f(x)-A|<e

Ф-ия назыв. БМ, при x®x₀, если lim f (x)=0

Ф-ия назыв. ББ, если lim(x®x₀) f (x)= ±∞

A+e Св-ва: 1.) Алгебраическя сумма 2-х БМ ф-ий, есть ф-ия БМ

A2e Док-во: ·] u(x)=a(x)+b(x), где lim(x®a) a (x)=0; lim(x®a) b (x)=0, ] выполн: a(x)<e/2 в

A-e окрестности (a-d₁)<x<(a+d₁) и b(x)<e/2 в окрестности (b-d₂)<x<(b+d₂). Возьмем

d d d_min={d_1;d₂}, Þ будут выполн. оба нер-ваÞ|u(x)|=|a(x)+b(x)| £|a(x)|+|b(x)|<e/2+e/2=e·

x₀-dx₀x₀+d Следствие: Алг. сумма любого конеч. числа БМ ф-ий, есть ф-ия БМ

2) Пр-ие БМ ф-ии y= f (x) на ф-ию, на ф-ию ограниченную u= f (v), при x®x₀ (x®∞) есть ф-ия БМ.

Док-во: ·Рассм случай x®x₀. Для некоего M>0 найдется окр-ть точки x=x₀, в которой будет выполн: |u|<M.

Для "e>0 найдется окр-ть, в котор |y|<e/M. В наимень. из этих окр-тей выполн: |yu|<eM/M=eÞuy-БМ·

3) Если ф-ия y= f (x) представляется в виде суммы пост. числа b и БМ ф-ии a=u(x), то lim(x®x₀ или ∞) y =b и обратно.

Док-во: · Т.к. y=b+a, то |y-b|=|a|, ("e>0)(все зн-ия а, начиная с некоторого):|a|<e,Þдля любого y, начин. с некот.

будет выполн. |y-b|<e, а это значит, что lim y= b (при x®x₀ или ∞).·

4) Если y= f (x) стремится к 0 при x®x₀(или x®∞) и не обращается в 0, то y=1/ f (x) стремится к бесконечности.

·("M>0)будет выполн:1/|y|>M, если будет выполн: |y|<1/M; последнее будет выполн для всех y, начиная с некотор,

т.к. y= f (x) ®0·

Предель. переход:1) lim алг.å конеч. числ. БМ ф-ии=алг.å lim этих ф-ий: lim(u₁+u₂+…u_n)=lim u ₁+lim u ₂+…+lim u _n

·]limu₁=a₁,limu₂=a₂,по св-ву 3:u₁=a₁+a₁,u₂=a₂+a₂,гдеa₁,a₂-БМФÞu₁+u₂=a₁+a₂+a₁+a₂Þlim(u₁+u₂)=a₁+a₂=limu₁+limu₂·

2) limu₁×u₂×…×u_n=limu₁×limu₂×…×limu_n ·]limu₁=a₁,limu₂=a₂,по св-ву 3:u₁=a₁+a₁,u₂=a₂+a₂,u₁u₂=(a₁+a₁)(a₂+a₂)-БМФÞ

limu₁u₂=a₁a₂=limu₁limu₂· 3) limu/v=limu/limv (limv¹0) ·]limu=a,limv=b¹0Þu=a+a,v=b+b, где aиb-БМФ.

u/v=(a+a)/(b+b)=a/b+((a+a)/(b+b)-a/b)=a/b+(ab-ab)/(b+b)b; a/b-const,(ab-ab)/(b+b)b-БМФÞlimu/v=a/b=limu/limv·

Геометр.смысл предела

lim при x®+∞: Число А назыв. пределом ф-ии f (x) при x®+∞, если

A+e (" e>0)($ N)(" x>N):|f(x)-A|<e

A A-e< f (x)<A+e-геометр. это означ, что гр. ф-ии y= f (x) для "x>N

A-e содержится огр. промежутке: A-e< f (x)<A+e

lim при x®-∞: Число А назыв. пределом ф-ии f (x) при x®-∞, если

N (" e>0)($ M)(" x<M):|f(x)-A|<e

A-e< f (x)<A+e-геометр. это означ, что гр. ф-ии y= f (x) для "x<M содержится огр.

промежутке: A-e< f (x)<A+e

b - предел ф-ии y= f (x) при x®x₀ справа(x®x₀+0), если (" e>0)($ M>x₀)(x₀<x<M):|f(x)-b|<e

b-предел ф-ии y= f (x) при x®x₀ слева (x®x₀-0), если (" e>0)($ M<x₀)(M<x<x₀):|f(x)-b|<e

Односторонний предел- предел слева и справа. Если $ lim слева и lim справа, то $ lim приx®x₀.

b- предел ф-ии y=f(x) при x®x₀, если (" e>0)($ M и N)(" xÎ[M,N], за искл. быть может x₀):|f(x)-b|<e

Единственный lim ф-ии

$$$$ ³³³³³³³£££££££££

∞Yepjrmnabgdl"$±»¹ÎÏ×®Þ³£~Dò¦·^´å