Теорема: Вероятность суммы конечного числа несовместных событий 
равна сумме вероятностей этих событий
P 
Док-во
Докажем эту теорему для случая суммы двух несовм соб 
и 
. Пусть соб благоприятствуют 
элементарных исходов, а событию - 
исходов. Так как соб и по условию несовместны, то соб + благоприятствуют + элементарных исходов из общего числа n-исходов =>
P( + )= 
= 
+ 
=P(
, где P(
– вероябтность события 
; 
- вероятн соб 
.
Теорема сложения вероятностей совместных событий
Теорема: Два соб наз совместными, если появление одного из них не исключает появления другого в одном и том же опыте. Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ)
Док-во
Событие А+В наступит, если наступат одно из трех несовместных событий А 
, 
В, АВ. По теореме сложения вероятностей несовм соб имеем Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ) (1)
Событие А произойдет, если наступит одно из двух несовм соб: А , АВ. Вновь применяя теоремы сложения вероятн несовм соб, получим Р(А)=Р(А )+Р(АВ) (2)
Откуда Р(А )=Р(А)-Р(АВ) (3) Р(В)=Р( В)+Р(АВ) (4)
Ан-но для второго события. Откуда: Р( В)=Р(В)-Р(АВ) (5)
Подставив 3 и 4 в 5, получим: Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ)
Теорема умножения вероятностей для двух произвольных событий
Теорема: Вероятность произведения двух соб равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое имело место. Р(АВ)=Р(А)Р(
)=Р(В)Р(
)
Док-во
Предположим, что из n всевозможных элементарн исходов событию А благоприятствуют m исходов, из которых k исходов благоприятствуют соб В. Тогда вероятность соб А будет Р(А)= 
, условная вероятность соб В относительно соб А будет Р()= 
. Произведению событий А и В благоприятствуют только те исходы, которые благоприятствуют и соб А и событию В одновременно, то есть k исходов. Поэтому вероятность произведения соб А и В равна: Р(АВ)= 
.
Умножим числитель и знаменатель дроби на m. Получим: Р(АВ)= 
=Р(А)Р()
Ан-но док и формула: Р(АВ)=Р(В)Р()
Теорема умножения вероятностей двух независимых событий
Теорема: Теорема произведения конечного числа событий равна произведению их условий вероятностей относительно произведения предшествующих событий.
Так как события независимые, то верно равенство: 
(В)=Р(В) => Р(АВ)=Р(А)Р(В)
Формула полной вероятности
Предположим, что событие В может осуществляться только с одним из несовместных событий .
P(B)= 
Формула Байеса
Пусть событие В происходит одновременно с одним из n несовместных событий . Требуется найти вероятность события 
, если известно, что событие В произошло. На основании теоремы о вероятности произведения двух событий можно написать:
P( B)= 
=> 
Случайные величины
Случайной называется величина, которая в результате испытаний принимает то или иное возможное значение, за ранее неизвестное, меняющееся от испытания к испытанию и зависящее от случайных обстоятельств. Примеры: размер обрабатываемой детали, погрешность результата измерения какого-либо параметра изделия или среды.
Два типа: дискретные и непрерывные.
Дискретной наз случ величина, кринимающая конечное или бесконечное счетное множ знач. Например: частота попаданий при трех выстрелах, число брака в партии изделий.
Законом распределения случайной величины наз всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными знач случайной величины и соответствующими им вероятностями.
Закон распределения дискретной случайной величины можно задать: таблично, аналитически и графически.
Числовые характеристики дискретной случайной величины:
Математическим ожиданием дискретной случайной величины наз сумма произведений ее возможных знач не соответствующие им вероятности М(х)= 
Свойства:
Мат ожид постоянной равно самой постоянной: М(с)=с
Постоянный множ можно выносить за знак мат ожид: М(сх)=сМ(х)
Мат ожид произведения двух независимых случ величин равно произведению их мат ожид: М(ху)=М(х)М(у)
Мат ожид суммы двух случ величин (зависимых или независимых) равно сумме мат ожид слагаемых: М(х+у)=М(х)+М(у)
Дисперсией (рассеянием) случайной величины наз мат ожид квадрата ее отклонения от ее мат ожид: D(x)=M(x-M(x) 
Свойства:
Дисперсия постоянной величины С равна нулю: D(с)=0
Постоянный множ можно выносить за знак дисперсии, возведя его в квадрат: D(cx)= 
D(x)
Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий: D(x+y)=D(x)+D(y)
Дисперсия разности двух независимых случ величин равна сумме их дисперсий: D(x-y)=D(x)+D(y)
Биноминальное распределение – это распр вероятностей возможных чисел появления соб А при n независимых испытаниях, в каждом из которых соб А можно осущ с одной и той же вероятностью P(A)=p=const. Кроме события А может произойти также противоположное событие , вероятность которого Р(
=1-р=q
Непрерывной наз величина, множ знач которой заполняет сплошь некоторый числовой промежуток.
Функция распределения – функ, характ распределению случ величины или случ вектора.
Свойства:
Не убывает: если 
< 
, то 
Существуют пределы 
и 
В любой точке непрерывна слева
Плотность вероятности – один из способов задания вероятностей меры на евклидовом пространстве
Свойства:
Плотность вероятности определена почти всюду. Если f явл плотностью вероятн Р и f(x)=g(x) почти всюду.
Интеграл от плотности по всему пространству равен единице
Числовые характ непрерывных случ величин:
Мат ожид непрерывной случ величины х, возможные знач которой принадлежат отрезку [a;b] наз определенный интеграл.
Нормальное распределение (распр Гаусса) – распределение вероятностей, которое задается функ плотности распр.
Правило трех сигм:
Пусть имеется нормально распределенная случ величина Е с мат ожид, равным а и дисперсией 
. Опред вероятность попадания Е в интервал (а-3 
; а+3 ), то есть вероятность того, что Е принимает знач, отличное от мат ожид не более, чем на три среднеквадр отклонения.
Выборочный метод
Основу статистического исследования составляет множ данных, полученных в результате измерения одного или нескольких признаков. Реально наблюдаемая совокупность объектов, статистически представленная рядом наблюдений 
случ величины х, явл выборкой, а гипотетически сущ (домысливаемая) – генеральной совокупностью.
Репрезентативная выборка – это выборка из генеральной совокупности с рапсред F(x), представляющая основные особенности ген совокупности.
Ряд знач признака, или вариант, полученных вследствие массового обследования однородных вещей и явлений, размещенных в порядке возрастания или убывания их величин, вместе с соответствующими частотами наз вариационным рядом. Если в вар ряде знач признака заданы в виде отдельных чисел, то такой ряд наз дискретным. Если в вар ряде знач признака заданы в виде интервалов, то такой ряд наз интервальным.
Полигоном частот наз ломаную линию, отрезки которой соединяют точки (
; 
), (
; 
),…, (
; 
). Для построения полигона частот на оси обсцисс откладывают варианты 
, а на оси ординат – соответствующие им частоты 
и соединяют точки (; 
) отрезками прямых.
В случае непрерывного признака строится гистограмма, для чего интервал, в кот заключены все наблюдаемые знач признака разбивают на несколько частичных интервалов длиной h и находят для каждого частичного интервала - сумму частот вариант, попавших в i-интервал.
Гистограммой частот наз ступенчатую фигуру, сост из прямоуг, основаниями которой служат частичные интервалы длиной h, а высоты равны отношению 
. Для построения гистограммы частот на оси абсцисс откладывают частичные интервалы, а над ними проводят отрезки, параллельные оси абсцисс на высоте . Площадь i-ого прямоуг равна 
= – сумма частот вариант i-ого интервала, поэтому площадь гистограммы частот равна сумме всех частот, то есть объемы выборки.
Накопленная относительная частота – отношение накопленных частот к объему совокупности данных.
Эмпирической функцией распред наз функ F(x), определяющую каждого знач х относительную частоты события х. F(x)= 
, где 
- число вариант, меньше х; n – объем выборки.
Кумулят – служит для графического кумулятивного вариационного ряда. Для ее построения на оси абсцисс откладывают знач аргумента, а на оси ординат накопленные частоты или накопленные относит частоты. Масштаб – произвольный. Далее строят точки: на оси абсцисс откладываются знач равные вариантам или верхним границам интервалов, а на оси ординат знач соответствующие частотам. Точки соединяют отрезками. Получ ломаная явл кумулятой.
