Правила вычисления вероятностей. Алгебраические системы

Алгебраические системы

Алгебраическая система – множ G с заданным на нем набором операций и отношений, удовл некоторой сис-ме аксиом.

Группа – непустое множ с опред на нем бин операцией удовл аксиомам.

Подгруппа – подмнож H группы G, само явл группой отношений операции, опред G.

Абелева группа – группа, в которой групповая операция явл коммутативной (изменяющейся).

 

Вектор – направленный отрезок, то есть отрезок, у которого указаны начало и конец.

Векторное пространство – матем понятие, обобщающее понятие совокупности всех (свободных) векторов обычного трехмерного пространства.

Линейная комбинация векторов – вектор, представленный в виде x= , где коэф – произвольные числа; – рассматриваемые векторы (i = 1, …, n).

 

Базисом ненулевого векторного пространства V над полем F наз сис-ма векторов, которая порождает V или линейно зависима.

Размерностью ненулевого вект простр V=/0 наз мощность его базиса. Для нулекого вект простр V=0 полагают, что его размерность равна нулю ().

 

Элементы линейной алгебры

Матрица – прямоугольная таблица каких-либо эл-тов (чисел, мат выражений), состоящая из m-строк и n-столбцов.

Если m=n, то матрица наз квадратной. Матрица состоящая из одного числа, отождествляется с этим числом. Матрица mn, все эл-ты которой равны нулю, наз нулевой матрицей и обозн через 0. Матрица, состоящая из одной строки или одного столбца, наз соотв вектор-строкой или вектор-столбцом.

 

Умножение матриц. Умножением матрицы А размеров m*n на матрицу В размеров n*k называется матрица С размером m*k, эл-ты которой вычисл по формуле: , где i=1,…,m; j=1,…,k. Умножение матриц – некоммутативная операция => сущ такие матрицы А и В, что АВ=/ВА

Свойства опер умнож матриц:

Ассоциативность умножения: АВ(С)=А(ВС); (АВ)=( А)В=А( В), где

Дистрибутивность умножения: А(В+С)=АВ+АС; (А+В)С=АС+ВС

ЕА=А, АЕ=А, где Е – единичная матрица соответствующего порядка

 

Минором эл-та матрицы n-ого порядка наз определитель матрицы -ого порядка, полученный из матрицы А вычеркиванием i-строки и j-столбца.

Алгебраическим дополнением эл-та матрицы n-ого порядка наз его минор, взятый со знаком, зависящий от номера сроки и номера столбца.

 

Определителем наз число равное разности произведений эл-тов, стоящих на главной диагонали и эл-тов, стоящих на побочной диагонали.

Свойства определителей:

Полилинейность – означает, что определитель линеен по всем строкам (столбцам).

При добавлении линейной комб опред не изменится.

Если две строки/столбца матрицы совпадают, то ее определитель равен нулю

Если 2 или более строки/столбца матрицы линейно зависимы, то ее определитель равен 0.

 

Матрица наз вырожденной, если ее определитель равен нулю и невырожденной, если определитель матрицы отличен от нуля.

 

Формула вычисления обратной матрицы:

, где – алгебраическое дополнение эл-тов

Алгоритм вычисления обратной матрицы:

Пусть А – исходная матрица, обратную к которой мы хотим найти.

n и k – кол-во строк и столбцов в ней соответственно

Сначала проверим явл ли А квадратной, т. Е. совпадают ли nи k. Затем проверим равен ли определитель матрицы А нулю. Если он равен нулю, то обратной матрицы не существует. Создаем матрицу Inv равную единичной размерности n*n. При помощи элементарных преобразований: сложения строк матрицы, умножения строки на число, перестановки столбцов и строк приводим матрицу А к единичной. Причем, параллельно, те же преобразования производим и с матрицей Inv = > будет явл обратной матрицей к исходной А.

 

Метод Гаусса

Метод Крамера

Алгебра высказываний

Высказывание – это утверждение, которому всегда можно поставить в соответствие одно из двух лог знач: «ложь» или «истина».

 

Операции над высказываниями:

Отрицание – лог выск, принимает знач «истинно», если исходное высказывание ложно и наоборот. Если на входе «0», то на выходе «1» и наоборот.

Конъюнкция – лог выск, истинное только тогда, когда они одновременно истинны (лог «и»). Если у обеих опер будет знач «1», то на выходе будет «1». В остальных случаях «0».

Дизъюнкция – лог выск, истинное только тогда, когда хотя бы одно из них истинно (лог «или»). Если у обеих опер будет знач «0», то на выходе будет «0». В остальных случаях «1».

Импликация – лог выск, ложное только тогда, когда В ложная, а А истинно. А->В и В=0 => А->В = «0». В остальных случаях «1».

Эквивалентность – лог выск, истинное только тогда, когда они одновременно истинны или одновременно ложны. Если А=0 и В=0 или А=1 и В=1, то А В будет иметь знач «1», в остальных случаях «0».

 

Составное высказывание – выск, которое образовано из простых выск путем объединения с помощью лог операций.

 

Классификация формул алгебры высказывания:

Формула алгебры выск F() наз выполнимой, если некоторая ее конкретизация явл истинным высказыванием.

Формула алгебры выск F() наз опровержимой, если некоторая ее конкретизация явл ложным высказыванием.

Формула алгебры выск F() наз тавтологией, или тождественно истинной, если все возможные ее конкретизации явл истинными.

Формула алгебры выск F() наз противоречием, или тождественно ложной, если все возможные ее конкретизации явл ложными.

 

Основные тавтологии:

Закон тождества: P Р

Закон контрапозиции: (P Q) (неQ неР)

Закон исключенного третьего: PVнеP

 

Логическая равносильность формул – ф-лы наз равносильными, если получ ф-ла тождественно истинна.

 

Логическое следование – одно из фундаментальных отношений между высказываниями, используемое для проверки правильности рассуждений.

 

Основные понятия теории вероятностей

Случайное событие – подмножество множ исходов случайного эксперимента.

Вероятность – Численная мера степени объективности наступления какого-либо события.

Относительная частота – отношение числа испытаний, в которых событие появилось, к общему числу фактически произведенных испытаний.

 

Совместное событие – любое событие, которое представляет собой одновременное возникновение любых двух (или более) событий.

Несовместные события – несколько событий наз несовм соб, если никакие два из них не могут появиться одновременно в результате однократного испытания случ эксперимента.

Полная группа событий – совокупность событий образует п.г.с. для данного испытания, если его результатом обязательно становится, хотя бы одно из них.

 

Свойства вероятности:

Вероятность достоверного события равна единице.

Вероятность невозможного события равна нулю.

Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное в промежутке между нулем и единицей.

 

Основные правила комбинаторики:

Правило суммы: Если некоторый объект А можно выбрать n-способами, а другой объект В можно выбрать m-способами, то выбор «либо А, либо В» можно осуществить n+m-способами.

Правило произведения: Если некоторый объект А можно выбрать n-способами, а после каждого такого выбора другой объект В можно выбрать m-способами, то пары объектов А и В можно выбрать n*m-способами.

Сочетанием эл-тов из Е= по k наз упорядоченное подмнож из k эл-тов, принадлежащих Е и отличающиеся друг от друга составом, но не порядком эл-тов.

Пересечением наз размещения без повторений из n эл-тов, в кот входят все эл-ты.

Размещение из n эл-тов из Е= по k – всякая конечная последовательность, состоящая из k-членов данного множ Е.

 

Правила вычисления вероятностей

Условная вероятность – вероятность одного события при условии, что другое событие уже произошло.

 

Суммой двух случайных событий А и В наз события, состоящие в появлении события А, или события В, или обоих этих событий (лог «или»).

Суммой нескольких случайных событий наз событие, которое состоит в появлении хотя бы одного из этих событий.

Произведением двух случайных событий А и В наз событие, состоящее в совместном двух этих появлении (лог «и»).

Произведением нескольких случайных событий наз событие, состоящее в повялении всех этих событий одновременно.