Дать определение векторного (линейного) пространства над полем действительных чисел. Как выполняются действия над векторами арифметического пространства?

Множество V называется векторным пространством (над полем действительных чисел ℝ), если его элементы можно складывать между собой и умножать на действительные числа, причем эти действительные числа, причем эти операции обладают следующими свойствами (которые называются аксиомами векторного пространства) 1) сложение коммутативно: 2) сложение ассоциативно: 3) в Vсуществует нулевой элемент 0 (или нуль): 4) для каждого существует противоположный ему элемент )= 5) умножение ассоциативно 6) умножение дистрибутивно относительно сложения: λ для любого числа λ 7) умножение на единицу тождественно: Элементы векторного пространства называются векторами

Пример1. Само множество ℝ действительных чисел является векторным пространством. Множ-во, состоящее из единственного эл-та – нуля, – также является векторным пространством. Оно обозначается 0 и называется тривиальным. Пример 2.Рассмотрим множество ℝⁿ = и положим Тогда ℝⁿ превращается в векторное пространство, которое называется n-мерным арифметическим пространством Пусть даны векторы Х и У 1) Суммой векторов Х и Y называется вектор Х+Y = (x₁+y₁,…x_n+y_n), т.е.при сложении векторов их соответствующие координаты складываются. 2) Произведением вектора Х= на число λ называется вектор λХ= , т.е. при умножении вектора на число каждая его из координат умножается на число 3)Скалярным произведением двух векторов X= и Y= называется число, равное сумме произведений соответствующих координат векторов Х*Y=x₁y₁+x₂y₂,…x_ny_n Св-ва ск.пр-ия 1)(X*Y)*Z=X*Z+Y*Z, (aX)*Y=a(X*Y), X*Y=Y*X 4)Два вектора называются ортогональными, если их скал.пр-ие рано 0 Лин.пр-во с введ-м ск-м в-ром наз-ся евклидовым n-мерным про-вом (мн-во 3мерн.в-ров R³,мн-во 2мерн.в-ров R²,мн-во R^-1=R-мн-во действ.ч.

12. Охарактеризовать системы образующих и базисы векторного пространства. Дать определение размерности векторного пространства.

Пусть V – векторное пространство. 1)Линейной комбинацией векторов называется вектор 2) Векторы называются линейно зависимыми, если , где хотя бы одно из чисел не равно нулю. В противном случае векторы называются линейно независимыми. Теорема. Системы векторов линейно зависима, если и только если один из векторов является линейной комбинацией векторов - линейно зависимы ó ) ó => в линейном пространстве V существует минимальная независимая система векторов, к-рая облад.св-вами:

1) – линейно независимы

2) любой вектор выражается в виде линейной комбинации вектора Базисом линейного векторного пространства V называется максимальная система векторов, обладающих с-вами 1 и 2. Число векторов базиса называется размерностью векторного пространства и обозначается dimV (dimension) Базис - система векторов, таки что 1) - линейно независимы, 2) + Пример. Арифметическое n-мерное лин.пр-во. ℝⁿ= V₁+V₂= <x₁,x₂,…x_n> +<y₁,y₂,…y_n> α*V=α < αx₂,…,αx_n> ℝⁿ – линейное пространство с Ō=<0,0…0> Базисом этого пространства является набор векторов 0>; Любой вектор v=<x₁,…,x_n> v=x₁e₁+x₂e₂+…+x_ne_{n dimℝ}ⁿ=n Часто n-мерные векторы как упорядоченные наборы n чисел Любой из векторов ⁿ можно получить в виде линейной комбинации базисных векторов, т.е.

 

13.Охарактеризовать действие скалярного произведения векторов в арифметическом n-мерном векторном пространстве

Скалярным произведением двух векторов V=<x₁,x₂,…x_n> и W=<y_1,y₂,…,y_n> называется число, равное сумме произведений компонент этих векторов, т.е. коэффициентов их выражения через базис. Обозначается VW=V*W=x₁y₁+x₂y₂+…+x_ny_n Из определения вытекают следующие свойства 1) VW=WV 2)(V₁+V₂)W = V₁W+ V₂W 3)если α – некоторое число, то α(WV) = (αW)V=(αV)W Если W*V=0, то говорят, что векторы W и V ортогональны и пишут V┴W Нормой (длиной) вектора V называется число |V|= Норма обладает след.св-вами |V| |V|=0, если V=Ō=<0,0,0,….,0> 3) Если α 4) Неравенство Коши-Буняковского |WV| 5) Неравенства треугольника (для любых V и W |-|W|| Линейное пространство векторов V, в котором определено скалярное произведение векторов, удовлетворяющ. перечисленным выше св-вам называют Евклидовым пространством.

14.Дать определение свободного вектора на плоскости(в пространстве).

Свободным вектором а=АВ с представителями АВ называют множество всех векторов равнонаправленных с данными, те классами эквивалентности для АВ. Свободный вектор – который потенциально может быть помещён в любую точку пространства.а=АВ=СD.(ПРОСТРАНСТВО)

Длинной и направлением свободного вектора а=АВ называют длинной направлением его представителя. Свободный вектор а=АВ, b=CD называют одинаково противоположено направленные или коллинеарными, если этим свойством обладают какие либо другие 2 их представителя. (плоскость)

15.Дать понятие ортонормированного базиса и ориентации базиса. Как определяются прямоугольные координаты вектора.

Базислм векторов на плоскости называют любую пару ˂а₁а₂˃ некоторых векторов. Базисом векторов в пространстве называют любую тройку _{˂а1а2а3˃.} Ортогональным базисом называют базис, состоящий из взаимно ортогональных единичных векторов. Классы одноимённых базисов называют ориентациями. На прямой на плоскости и в пространстве существуют точно две различные ориентации:базисы принадлежащие одной и той же ориентации, -одноименны, и базисы принадлежащие различным ориентациям, разноимённы.

17. описать геометрические применения скалярного, векторного и смешанного произведения векторов.

Использование скалярного произведения крайне широко, как в элементарных, так и в весьма абстрактных областях математики, физики и прикладных наук.

Широко известны следующие применения: Любые геометрические вычисления (как собственно в математике, так и в приложениях), связанные с длинами, углами, проецированием, ортогональностью. Например, теорема косинусов легко выводится с использованием скалярного произведения:

Угол между векторами:

18. Дать определение прямоугольной матрицы, равенства матриц, транспонированной матрицы. Как определяются и выполняются действия умножения матрицы на число,сложение, вычитание и умножение матриц? Матрицей (прямоугольной mхn матрицей, где m,n ) называется прямоугольная таблица, составленная из элементов a_{ij ,} расположенных в m строк и n столбцов. 1хn матрица (а₁,а₂,…,а_n)-строка размера n 1хm матрица -столбец размера m. Матрица обозначается A=A_mxn=(a_ij)_mxn= Матрицы А=(a_ij)_mxn и В=(b_ij)_pxqóm=p,n=q и a_ij=b_ij для любых ij Действие ТРСПН матрицы А состоит в расположении строк этой матрицы в столбцы с теми же номерами. В рез-те получается nxm матрица, обозначаемая А^Т_nxm (А_mxn)^T=(A^T)_nxm Пример =>A^T Умножение матрицы на число Произведение mxn матрицы А на число (скаляр) α называется новая mxn матрица из А умножение всех ее элементов на число α Сложение (вычитание) матриц Складывать и вычитать можно только матрицы одинаковых размеров. Пусть А=А_mxn и В=В_mxn. Тогда суммой(разностью), обозначаемой называется новая mxn матрица, составленная из сумм (разностей) элементов, стоящих на соответствующих местах. Пример. А= и В А+В = = А= и В А-В = = Умножение матриц Пусть А=(a_ij)_mxp и В =(b_ij). Операция умножения матрицы А на матрицу В определена, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй. Тогда произведением матриц А*В называется такая матрица С, каждый элемент с_ij которой равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В. c_ij=a_i1b_1j+a_i2b_2j+…+a_ikb_kj

19.Охарактеризовать множество квадратных матриц одного порядка как алгебру. Единичная матрица и её роль в алгебре матриц.

Множество квадратных матриц одного порядка n обозначается M(n). На этом множестве определяются все действия введённые для матриц. Алгебраическая система:˂M(n),+,F(письменная)= кружок внутри точка, точка˃ является одновременно линейным пространством по отношению K+и F(письменная без палочки в другую сторону)=кружочек внутри с точкой. Едини́чная ма́трица — квадратная матрица, элементы главной диагонали которой равны единице поля, а остальные равны нулю.

Квадратная матрицаEn = (eij) размера (порядка n), где eii = 1 для всякого и eij = 0 для всяких назвается единичной матрицей порядка n. Единичная матрица размера обычно обозначается En и имеет вид: Произведение любой матрицы и единичной матрицы подходящего размера равно самой матрице:AE = EA = A

Квадратная матрица в нулевой степени дает единичную матрицу того же размера:A(в степени)0 = E.При умножении матрицы на обратную ей тоже получается единичная матрица: Единичная матрица получается при умножении ортогональной матрицы на ей транспонированную:AA(в степени T) = E. Определитель единичной матрицы равен единице:

20. Дать определение обратимой матрицы. Описать метод Гауса-Жордана вычисления обратной матрицы с помощью элементарных преобразований.

Квадратная матрица A называется обратимой, если существует такая матрица X, чтоAX=XA=E.

Матрица X называется обратной к матрице A и обозначается A -1, т.е. A A -1 =A -1A=E.

Известно, что если матрица A невырождена (т.е ее определитель отличен от нуля), то у нее существует обратная матрица A -1.Верно соотношение: (A-1)T =(AT) -1.

Метод гауса.

(в тетрадке)

21.(в тетрадке)

22.сформулировать теорему об алгебраических дополнениях элементов строки определителя и объяснить её роль для его вычисления.

23.описать постановку задачи исследования и решения системы линейных линйных алгебраических уравнений с несколькими неизвестными. Описать различные формы записи системы линейных уровнений.(в тетрадке)

24.охарактеризовать способ исследования и решения системы линейных уравнений с помощью определителей. Вывести формулы крамера.(в тетрадке)

25.описать матричный способ решения системы линейных уравнений.(в тетрадке)

26.описать способы исследования и решения систем линейных уравнений с помощью элементарный преобразований(метод гауса жордана)

Алгоритм решения систем уравнений методом Жордана-Гаусса состоит из ряда однотипных шагов, на каждом из которых производятся действия в следующем порядке:

Проверяется, не является ли система несовместной. Если система содержит противоречивое уравнение, то она несовместна.

Проверяется возможность сокращения числа уравнений. Если в системе содержится тривиальное уравнение, его вычеркивают.

Если система уравнений является разрешенной, то записывают общее решение системы и если необходимо — частные решения.

Если система не является разрешенной, то в уравнении, не содержащем разрешенной неизвестной, выбирают разрешающий элемент и производят преобразование Жордана с этим элементом.

Далее заново переходят к пункту 1.

Пример

Решение:

Вычисления приведены в нижеследующей таблице:

Справа от таблицы изображены действия над уравнениями. Стрелками показано к какому уравнению прибавляется уравнение с разрешающим элементом, умноженное на подходящий множитель.

В первых трех строках таблицы помещены коэффициенты при неизвестных и правые части исходной системы. Результаты первого преобразования Жордана с разрешающим элементом равным единице приведены в строках 4, 5, 6. Результаты второго преобразования Жордана с разрешающим элементом равным (-1) приведены в строках 7, 8, 9. Так как третье уравнение является тривиальным, то его можно не учитывать. Равносильная система с разрешенными неизвестными имеет вид:

Теперь можем записать Общее решение:

 

Приравниваем свободные переменные нулю и получаем: В нашем случае выбран разрешающий элемент (-1) в первом уравнении при строка 7). Далее производим преобразование Жордана. Получаем новую разрешенную систему (строки 10,11) c новыми разрешенными неизвестными

Записываем второе общее решение:

Ответ .

27.Дать определение прямоугольной системы координат на плоскости и в пространстве. Как определяются координаты точки.

Прямоугольная, или Декартова система координат — наиболее простая и поэтому часто используемая система координат на плоскости и в пространстве. Прямоугольная система координат на плоскости образуется двумя взаимно перпендикулярными осями координат X'X и Y'Y. Оси координат пересекаются в точке O, которая называется началом координат, на каждой оси выбрано положительное направление. В правосторонней системе координат положительное направление осей выбирают так, чтобы при направлении оси Y'Y вверх, ось X'X смотрела направо.

Четыре угла (I, II, III, IV), образованные осями координат X'X и Y'Y, называются координатными углами или квадрантами (см. рис. 1).

Положение точки A на плоскости определяется двумя координатами x и y. Координата x равна длине отрезка OB, координата y — длине отрезка OC в выбранных единицах измерения. Отрезки OB и OC определяются линиями, проведёнными из точки A параллельно осям Y'Y и X'X соответственно. Координата x называется абсциссой точки A, координата y — ординатой точки A. Записывают так: Если точка A лежит в координатном углу I, то точка A имеет положительные абсциссу и ординату. Если точка A лежит в координатном углу II, то точка A имеет отрицательную абсциссу и положительную ординату. Если точка A лежит в координатном углу III, то точка A имеет отрицательные абсциссу и ординату. Если точка A лежит в координатном углу IV, то точка A имеет положительную абсциссу и отрицательную ординату.

прямоугольная система координат в пространстве образуется тремя взаимно перпендикулярными осями координат OX, OY и OZ. Оси координат пересекаются в точке O, которая называется началом координат, на каждой оси выбрано положительное направление, указанное стрелками, и единица измерения отрезков на осях. Единицы измерения обычно одинаковы для всех осей (что не является обязательным). OX — ось абсцисс, OY — ось ординат, OZ — ось аппликат.

Если большой палец правой руки принять за направление X, указательный за направление Y, а средний за направление Z, то образуется правая система координат. Аналогичными пальцами левой руки образуется левая система координат. Иначе говоря, положительное направление осей выбирают так, чтобы при повороте оси OX против часовой стрелки на 90° её положительное направление совпало с положительным направлением оси OY, если этот поворот наблюдать со стороны положительного направления оси OZ. Правую и левую системы координат невозможно совместить так, чтобы совпали соответствующие оси (см. рис. 2).

Положение точки A в пространстве определяется тремя координатами x, y и z. Координата x равна длине отрезка OB, координата y — длине отрезка OC, координата z — длине отрезка OD в выбранных единицах измерения. Отрезки OB, OC и OD определяются плоскостями, проведёнными из точки A параллельно плоскостям YOZ, XOZ и XOY соответственно. Координата x называется абсциссой точки A, координата y — ординатой точки A, координата z — аппликатой точки A. Записывают так:

28. Перечислить и охарактеризовать различные способы определения прямой линии на плоскости и соответствующие им виды уравнений прямой.(в тетрадке)

29описать способы вычисления угла между между двумя прямыми на плоскости с помощью нормальных векторов и с помощью угловых коэффицентов. Описать способ вычисления расстояния от точки до прямой на плоскости.(в тетрадке)

30.описать различные способы задания плоскости в пространстве и соответствующие им уравнения. Описать различные способы задания прямой в пространстве и соответствующие им уравнения.

31.в тетр.

32в тетр.

33.в тетр.

34. в тетр.

35.

36.37.38-в тетрадке.

39.характеристика монотонности функции с помощью производной. Определение интервалов монотонности функции.

Если функция возрастает или убывает на некотором промежутке, то она называется монотонной на этом промежутке.Заметим, что если f – монотонная функция на промежутке D (f (x)), то уравнение f (x) = const не может иметь более одного корня на этом промежутке. Свойства монотонных функций: Сумма нескольких возрастающих функций является возрастающей функцией.Произведение неотрицательных возрастающих функций есть возрастающая функция.Если функция f возрастает, то функции cf (c > 0) и f + c также возрастают, а функция cf (c < 0) убывает. Здесь c – некоторая константа.Если функция f возрастает и сохраняет знак, то функция 1/f убывает.Если функция f возрастает и неотрицательна, то fn где n ∈ N, также возрастает.Если функция f возрастает и n – нечетное число, то fn также возрастает.Композиция g (f (x)) возрастающих функций f и g также возрастает. Промежутки возрастания и убывания: Функция f(x) называется возрастающей на промежутке D, если для любых чисел x1 и x2 из промежутка D таких, что x1 < x2, выполняется неравенство f(x1) < f(x2).

Функция f(x) называется убывающей на промежутке D, если для любых чисел x1 и x2 из промежутка D таких, что x1 < x2, выполняется неравенство f(x1) > f(x2).

40.характеристика выпуклости функции с помощью производной 2го порядка. Определение интервалов выпуклости и точек перегиба графика функции.

41.Экстремумы функций и их нахождение с помощью производных. необходимый признак и достаточные признаки существования экстремума.

максимальное значение функции на промежутке – это означает, что на том промежутке все остальные значения функции, что расположены слева и справа от этой точки, будут меньше, а минимальное соответственно, что они будут больше. Такие точки ещё называют точками экстремуму.Алгоритм нахождения экстремумов не сложный:

Для начала надо взять производную от данной функции;

Потому прировнять эту производную к нулю;Найти значение переменной, при каких производная преобразуется в ноль;

Разбить этими значениями координатную прямую на промежутки (при этом ещё надо не забыть о точках разрыва, которые также надо наносить на прямую), все эти точки называются точками «подозрительными» на экстремум;И вычислить на каких из этих промежутков производная будет положительной, а на каких – отрицательной.Потом анализируем полученную информацию. И из точёк подозрительных на экстремум надо найти именно экстремумы. Для этого смотрим на наши промежутки на координатной прямой, если при прохождении через какую-то точку знак производной меняется из плюса на минус, то эта точка будет максимумом, а если из минуса на плюс, то соответственно – минимумом.

Есть и другой вариант, когда берут ещё и вторую производную. Тогда точка, в какой первая производная равна нулю, а вторая больше ноля, будет минимумом, а если в точке первая производная равна нолю, а вторая меньше ноля, то эта точка будет максимумом.

Необходимый признак существования экстремума: Для нахождения экстремумов функции z =f (x,y) сначала нужно найти стационарные точки этой функции, в которых частные производные функции z =f (x,y) равны нулю. Для этого нужно решить систему уравнений: Функция может иметь экстремум также в тех точках, где хотя бы одна из частных производных не существует.

Условие (1) является необходимым условием экстремума, но оно не является достаточным, т.е. в стационарной точке экстремума может и не быть.

Рассмотрим достаточное условие экстремума. Пусть точка M0 – стационарная точка функции z=f (x,y), которая имеет непрерывные частные производные второго порядка на некоторой окрестности точки M0, Если D>0, то экстремум в точке M0 есть, при этом M0 – точка минимума при A>0 и M0 – точка максимума при A<0. Если D<0, то экстремума в точке M0 нет.

При D=0 требуются дополнительные исследования функции в окрестности точки M0, мы не будем рассматривать этот случай.

Условный экстремум:

Функция z=f(x,y) имеет в точке Р0 (x0,y0) условный максимум, если существует такая окрестность точки Р0, что для всех точек Р (x,y) этой окрестности, отличных от точки Р0, удовлетворяющих уравнению связи φ(x,y)=0, выполняется неравенство f(x0,y0)>f(x,y).

Соответственно, функция z=f(x,y) имеет в точке Р0 (x0,y0) условный минимум, если существует такая окрестность точки Р0, что для всех точек Р (x,y) этой окрестности, отличных от точки Р0, удовлетворяющих уравнению связи φ(x,y)=0 выполняется неравенство f(x0,y0)<f(x,y).

Задача нахождения условного экстремума сводится к исследованию на обычный экстремум функции Логранжа.

Координаты экстремальной точки должны удовлетворять 3 уравнениям: Из этой системы определяются критические точки и соответствующие значения λ.

Достаточным условием экстремума является знакопостоянство d2L(x,y,λ) в критической точке.

42.общая схема исследования функции и построение её графика.

При исследовании функций и построении их графиковрекомендуется исследовать следующую схему:

1.найти область определения функции.

2.исследовать функцию на четность – нечетность.

3.найти вертикальные асимптоты.

4.исследовать поведение функции в бесконечности, найти горизонтальные или наклонные асимптоты.

5.найти эксремумы и интервалы монотонности функции.

6.найти интервалы выпуклости функции и точки перегиба.

7.найти точки пересечения с осями координат и,и возможно некоторые дополнительные точки, уточняющие график. Исследование функции проводится одновременно с построением её графика.

43.определение функции нескольких переменных как функции переменной точки. График и линии уровня функции двух переменных.

Переменная z называется функцией двух независимых переменных x и y, если некоторым парам значении x и y по какому – либо правилу или закону ставится в соответствие определенное значение z.Множество G пар значений x и y, которые могут принимать переменные x и y, называется областью определения функции, а множество всех значений, принимаемых z в области определения, - областью значений функции z. Переменные x и называются аргументами функции. Пара чисел x и y определяет положение точки M на плоскости xOy с координатами x и y. Поэтому функцию двух переменных можно рассматривать либо как функцию двух переменных можно рассматривать как функцию точки M, либо как скалярную функцию векторного аргумента.Каждой тройке (x; y; z) в пространстве Oxyz соответствует точка M(x; y; z). Совершенно аналогично случаю двух переменных можно дать определение функции трех переменных. Областью определения функции трех переменных будет все пространство или его часть.Аналогично можно дать определение функции четырех и более переменных.(стр 397)

44.Определение и геометрический смысл частных производных функции нескольких переменных. Дать определение свойства дифференцируемости функции нескольких переменных и определение полного дифференциала функции.(стр 404,)

45.определение производной функции двух переменных по произвольному направлению. Её выражение через частные производные. Вектор градиент функции двух переменных и его свойства.(стр408)

46.Сформулировать необходимое условие существования экстремума функции и объяснить его роль для поиска точек экстремума.(стр 410)

47.дать определение неопределённого интеграла. Сформулировать основные свойства неопределённого интеграла.(стр 253)

48.в чем состоит сущность метода интегрирования по частям и замены переменной? Описать основные способы их решения.

(стр 258,263)

49.охарактеризовать понятие определённого интеграла как предела интегральных сумм. Сформулировать простейшие свойства определённого интеграла и дать их геометрическую интерпритацию.(стр 284)

50.охарактеризовать свойства определённого интеграла как функции его верхнего предела. Сформулировать и доказать формулу ньютона-лейбница.(стр 292)

51.дать определение несобственного интеграла по бесконечному промежутку. Объяснить способы установления сходимости и вычисления несобственных интегралов.(стр 307)

52.описать способы вычисления площадей плоских фигур с помощью определённого интеграла.

1) Пусть функция неотрицательна и непрерывна на отрезке. Тогда исходя из геометрического смысла определенного интеграла площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой и прямыми (рис. 10.2) численно равна определенному интегралу:

2) Если функция неположительна и непрерывна на отрезке (рис. 11.2), то площадь S над кривой на отличается знаком от определенного интеграла: те

 

 

3) Теорема. Если на отрезке заданы непрерывные функции такие, что Тогда площадь фигуры, заключенной между кривыми и на отрезке , вычисляется по формуле: .

53.дать определение случайного события. Как определяются действия над событиями. Перечислить и доказать их свойства. основным элементов теории вероятности является понятие случайного события.

Случайное событие – это некоторое событие которое может наступить или не наступить в результате случайных эксперементов.(случайные эксперементы-это реализация некоторого комплекса условий в результате которой может наступить одно из этих исходов w, называемых элементарными исходами.)случайные события обозначают A,B,C…. Дадим определения всех действий, которые можно производить над событиями.
Определение 1. Если при всяком испытании, при котором происходит событие А, происходит и событие B, то событие А называется частным случаем события B.
Говорят также, что А влечет за собой B и пишут:

 

А М B или B Й A

Например, при бросании игральной кости событие А, состоящее в появлении двух очков, есть частный случай события B, состоящего в появлении четного числа очков.
Если А влечет за собой B, а B влечет за собой А, то эти события равносильны, так как они вместе наступают или вместе не наступают.
Определение 2. Событие (А и B), т. е. событие, состоящее в наступлении обоих событий А и B, называется произведением событий А и B и обозначается через

 

АB

Определение 3. Событие (А или B), т. е. событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из событий А и B, называется суммой событий А и B и обозначается через

 

А + B

Определение 4. Событие, состоящее в том, что событие А не происходит, называется противоположным событию А и обозначает- ся через .
Определение 5. Событие (А и ), состоящее в том, что A происходит, а B не происходит, называется разностью событий А и B и обозначается через

 

А - B

Впрочем, можно обойтись без этого обозначения, так как из определения следует, А - B = A .
Определения суммы и произведения событий распространяются и на большее число событий:

 

А + В +... + N = (А или B или ... или N)

есть событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из событий A, В,... N;

 

АВ... N = (А и B и ... и N)

есть событие, состоящее в совместном наступлении всех событий A, В,..., N.
Аналогично определяются сумма и произведение бесконечного числа событий A₁, A₂,..., A_n,....
Пример. При бросании игральной кости событие A означает выпадение четного числа очков, событие B означает выпадение не менее 3 очков (т. е. 3, 4, 5 или 6) и событие С означает выпадение одного очка. Тогда:
A + B = (A или B) состоит в появлении числа очков, большего или равного двум;
А + В + С = (А или B или C) есть достоверное событие;
AB = (A и B) означает выпадение «четверки» или «шестерки»;
ABC = (A и B и C) есть невозможное событие, невозможными являются также AC и BC;
состоит в выпадении нечетного числа очков;
означает появление не более двух очков;
означает появление любого числа очков, кроме одного очка;
A - B = A состоит в выпадении «двойки»;
B - A = B состоит в выпадении «тройки» или «пятерки» и т. д.
Сделаем предостережение: сумма и произведение есть действия с событиями, а не с числами, и поэтому, конечно, законы обычной алгебры для них могут не выполняться. Например, если A + B = C, то отсюда, вообще говоря, не следует, что A = C - B.
Действительно, пусть A — выпадение четного числа очков, B — выпадение не менее трех очков. Тогда C = A + B означает выпадение 2, 3, 4, 5 или 6 очков, а событие C - B = C состоит в выпадении «двойки» и отнюдь не равносильно событию A.