Общий вид системы
, i = 1, 2,..., m; j = 1, 2,..., n, - коэффициенты системы; 
- свободные члены; 
- переменные; 
Если все = 0, система называется однородной.
А) Пусть detA≠0, тогда для существует единственная обратная матрица A-1. Решение системы уравнений, записанной в матричной форме AX=B можно найти по следующей формуле X=A-1 · B
Пример 2.
Решить систему уравнений матричным методом:
имеем:
обратная матрица
Находим:
,
т.е. x=2; y=0; z=-1 - решение данной системы.
б)
В) Процесс решения системы линейных уравнений
(2)
по методу Гаусса состоит из 2х этапов:
§ Прямой ход
Система (2) приводится к треугольному виду
1. Предполагаем, что 
. Тогда первое уравнение системы (2) делим на коэффициент 
, в результате получаем уравнение
.
Затем из каждого из оставшихся уравнений вычитается первое, умноженное на соответствующий коэффициент 
. В результате система преобразуются к виду:
2. В предположении, что 
, делим второе уравнение на коэффициент 
и исключаем неизвестное 
из всех последующих уравнений и т.д.
3. Получаем систему уравнений с треугольной матрицей:
(3)
§ Обратный ход
Непосредственное определение неизвестных
1. Из 
го уравнения системы (3) определяем 
2. Из 
го - определяем 
и т.д.
Однородные системы линейных уравнений
Однородная система линейных уравнений AX = 0 всегда совместна. Она имеет нетривиальные (ненулевые) решения, если r = rank A < n.
Для однородных систем базисные переменные (коэффициенты при которых образуют базисный минор) выражаются через свободные переменные соотношениями вида:
Тогда n - r линейно независимыми вектор-решениями будут:
а любое другое решение является их линейной комбинацией. Вектор-решения 
образуют нормированную фундаментальную систему.
В линейном пространстве 
множество решений однородной системы линейных уравнений образует подпространство размерности n - r; - базис этого подпространства.
Матрица как запись коэффициентов системы линейных уравнений
Систему из m уравнений с n неизвестными
можно представить в матричном виде
и тогда всю систему можно записать так:
AX = B,
где A имеет смысл таблицы коэффициентов aij системы уравнений.
Если m = n и матрица A невырожденная, то решение этого уравнения состоит в нахождении обратной матрицы A − 1, поскольку умножив обе части уравнения на эту матрицу слева
A − 1 AX = A − 1 B
A − 1 A — превращается в E (единичную матрицу). И это даёт возможность получить столбец корней уравнений
X = A − 1 B.
Все правила, по которым проводятся операции над матрицами, выводятся из операций над системами уравнений.
