Определитель квадратной матрицы

Операции над матрицами

Умножение матрицы на число

Умножение матрицы A на число λ (обозначение: λ A) заключается в построении матрицы B, элементы которой получены путём умножения каждого элемента матрицы A на это число, то есть каждый элемент матрицы B равен

Свойства умножения матриц на число

1. 1*A = A;

2. (Λβ)A = Λ(βA)

3. (Λ+β)A = ΛA + βA

4. Λ(A+B) = ΛA + ΛB

Сложение матриц

Сложение матриц A + B есть операция нахождения матрицы C, все элементы которой равны попарной сумме всех соответствующих элементов матриц A и B, то есть каждый элемент матрицы C равен

Свойства сложения матриц

5.коммутативность;

6.ассоциативность;

7.сложение с нулевой матрицей;

8.существование противоположной матрицы;

Все свойства линейных операций повторяют аксиомы линейного пространства и поэтому справедлива теорема:

Множество всех матриц одинаковых размеров MxN образуют линейное пространство над полем P(полем всех действительных или комплексных чисел), поэтому каждая матрица является и вектором этого пространства.

Умножение матриц

Умножение матриц (обозначение: AB, реже со знаком умножения ) — есть операция вычисления матрицы C, элементы которой равны сумме произведений элементов в соответствующей строке первого множителя и столбце второго.

Количество столбцов в матрице A должно совпадать с количеством строк в матрице B. Если матрица A имеет размерность , B — , то размерность их произведения AB = C есть .

Свойства умножения матриц

1.ассоциативность;

2.произведение не коммутативно;

3.произведение коммутативно в случае умножения с единичной матрицей;

4.справедливость дистрибутивного закона;

5.(ΛA)B = Λ(AB) = A(ΛB);

Комплексное сопряжение

Если элементами матрицы A = (a_ij) являются комплексные числа, то комплексно сопряжённая (не путать с эрмитово сопряжённой! см. далее) матрица равна . Здесь — число, комплексно сопряжённое к a.

Транспонирование и эрмитово сопряжение

Транспонирование уже обсуждалось выше: если A = (a_ij), то A^T = (a_ji). Для комплексных матриц более употребительно эрмитово сопряжение: . С точки зрения операторного взгляда на матрицы, транспонированная и эрмитово сопряжённая матрица — это матрицы оператора, сопряжённого относительно скалярного или эрмитова произведения, соответственно.

Виды матриц

Введем понятие матриц: квадратных, диагональных, единичных и нулевых.

Определение матрицы квадратной: Квадратной матрицей n-го порядка называется матрица размера n×n.

В случае квадратной матрицы

вводятся понятие главной и побочной диагоналей. Главной диагональю матрицы называется диагональ, идущая из левого верхнего угла матрицы в правый нижний ее угол.

Побочной диагональю той же матрицы называется диагональ, идущая из левого нижнего угла в правый верхний угол.

Понятие диагональной матрицы: Диагональной называется квадратная матрица, у которой все элементы вне главной диагонали равны нулю.

Понятие единичной матрицы: Единичной (обозначается Е иногда I) называется диагональная матрица с единицами на главной диагонали.

Понятие нулевой матрицы: Нулевой называется матрица, все элементы которой равны нулю.

Две матрицы А и В называются равными (А=В), если они одинакового размера (т.е. имеют одинаковое количество строе и одинаковое количество столбцов и их соответствующие элементы равны). Так, если

то А=B, если a₁₁=b₁₁, a₁₂=b₁₂, a₂₁=b₂₁, a₂₂=b₂₂

Определитель квадратной матрицы

Каждой квадратной матрице A порядка n с действительными или комплексными элементами можно однозначно поставить в соответствие действительное или комплексное число D, которое называется определителем матрицы А. Общее выражение для определителя матрицы n-го порядка обычно дается в виде:

det[A] =

a₁₁	a₁₂	...	a_1n
a₂₁	a₂₂	...	a_2n
...	...	...	...
a_n₁	a_n₂	...	a_nn

= Σ(-1)^e a_1α₁a_2α₂... a_nαn (1)

В правой части стоит сумма произведений вида a₁_α₁a₂_α₂... a_nαn Каждое такое произведение по определению должно содержать элементы матрицы a_ij расположенные в различных строках и различных столбцах. Иначе говоря, содержащее по одному элементу из каждой строки и по одному из каждого столбца. Это значит, что среди всех первых индексов, как и среди всех вторых индексов не должно быть одинаковых.
Если расположить первые индексы в порядке их возрастания, как это сделано выше, то совокупность вторых индексов образует некоторую перестановку (α₁, α₂,..., α_n) множества чисел от 1 до n. Так как число всех перестановок из n чисел равно n! (n факториал), то можно образовать такое же количество; произведений a₁_α₁a₂_α₂... a_nαn из элементов данной матрицы(при нулевых элементах некоторые из них равняются нулю). Определитель равен сумме всех таких произведений, взятых со знаком (-1)^e где е - число инверсий перестановки вторых индексов (α₁, α₂,..., α_n). Вместо множителя (-1)^e можно писать знак sgn(α), который положительный для четного числа инверсий и отрицательный для нечетного числа инверсий в перестановке номеров вторых индексов (α₁, α₂,..., α_n).
Порядок определителя совпадает с порядком его матрицы. Элементы a_ij матрицы А называют также элементами определителя |А|, а произведения (-1)^ea₁_α₁a₂_α₂... a_nαn -членами определителя.

Из общего правила вычисления определителя легко получить частные формулы для вычисления определителей любого порядка. Так для определителя 2-го порядка получаем следующую формулу:

det[A] =

a₁₁	a₁₂
a₂₁	a₂₂

= a₁₁a₂₂ - a₁₂a₂₂ (2)

Аналогично для определителя 3-го порядка:

det[A] =

a₁₁	a₁₂	a₁₃
a₂₁	a₂₂	a₂₃
a₃₁	a₃₂	a₃₂

= a₁₁a₂₂a₃₃ +a₁₂a₂₃a₃₁ +a₁₃a₂₁a₃₂ -a₁₃a₂₂a₃₁ -a₁₁a₂₃a₃₂ -a₁₂a₂₁a₃₃ (3)

Как видно, индексы столбцов всех членов определителя третьего порядка определяются перестановками (1, 2, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2), (3, 2, 1), (1, 3, 2), (2, 1, 3), число инверсий которых равно соответственно 0, 2, 2, 3, 1, 1. Общее выражение определителя n-го порядка является удобным для исследования и доказательства его свойств, но для "ручного" вычисления определителей используются другие более практичные методы, основанные на свойствах определителей.

3. Обра́тная ма́трица — такая матрица A⁻¹, при умножении на которую исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E:

Квадратная матрица обратима тогда и только тогда, когда она невырожденная, то есть её определитель не равен нулю. Для неквадратных матриц и вырожденных матриц обратных матриц не существует. Однако возможно обобщить это понятие и ввести псевдообратные матрицы, похожие на обратные по многим свойствам.

Ма́тричный метод решения (метод решения через обратную матрицу) систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем состоит в следующем.

Пусть дана система линейных уравнений с n неизвестными (над произвольным полем):

Тогда её можно переписать в матричной форме:

AX = B, где A — основная матрица системы, B и X — столбцы свободных членов и решений системы соответственно:

Умножим это матричное уравнение слева на A ^{− 1} — матрицу, обратную к матрице A:

Так как A ^{− 1} A = E, получаем X = A ^{− 1} B. Правая часть этого уравнения даст столбец решений исходной системы. Условием применимости данного метода (как и вообще существования решения неоднородной системы линейных уравнений с числом уравнений, равным числу неизвестных) является невырожденность матрицы A. Необходимым и достаточным условием этого является неравенство нулю определителя матрицы A:

Для однородной системы линейных уравнений, то есть когда вектор B = 0, действительно обратное правило: система AX = 0 имеет нетривиальное (то есть ненулевое) решение только если det A = 0. Такая связь между решениями однородных и неоднородных систем линейных уравнений носит название альтернативы Фредгольма.