Расстояние от точки до плоскости

Сложение

Правило треугольника: следующий способ построения суммы произвольных векторов a и b. Надо от конца вектора a отложить вектор равный вектору b. Тогда вектор, начало которого совпадает с началом вектора a, а конец - с концом вектора b, будет суммой векторов a и b.

Правило параллелограмма: для векторов с общим началом их сумма изображается диагональю параллелограмма, построенного на этих векторах. Вычитание

Правило треугольника. Чтобы найти разность двух векторов, нужно: изобразить их исходящими из одной точки; дополнить чертеж отрезком так. чтобы получился треугольник; придать отрезку направление от вычитаемого к уменьшаемому; этот направленный отрезок и будет вектором разности.

Умножение вектора на число

Произведением вектора на скаляр (число) является вектор

5 Разложение по ортам

а=а_х*i+a_y*j+a_z*k – формула разложения вектора а по базисным векторам i.j.k

Скалярное произведение векторов(не нулевых)называется число равное произведению векторов на cos угла между ними

6. Векторное произведение. Вектор с называется векторным произведением векторов а и b, если:

1) | c | = | a||b | sinφ, где φ – угол между а и b.

2) c a, c b.

3) Тройка векторов abc является правой.

 

Длина вектора численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах и как на сторонах (это геометрический смысл векторного произведения).

Смешанное произведение 3-ех векторов – называется скалярное произведение векторного произведения а и b на с. Результат смешанного произведения есть число(скалярное)

Геометрический смысл: заключается в том что модуль смешан.произведения=объему параллелепипеда,построенного на векторах аbс

7. Общее уравнение прямой

Уравнение прямой, проходящей через две точки

 

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Уравнение прямой в отрезках.Прямая линия, пересекающая ось Ox в точке и ось Oy в точке :.

8 Уравнение плоскости в пространстве:

A(x – x₀) + B(y – y₀) + C(z – z₀) = 0. Уравн-е плоскости,проходящей ч/з данную точку,перпендик-но нормальному сектору этой пл-ти.

Уравнение плоскости, проходящей через три точки:

Взаимное расположение плоскостей в пространстве:

Для расположения двух плоскостей в пространстве возможны два случая:

1) Две плоскости имеют хотя бы одну общую точку, тогда по аксиоме пересечения плоскостей их пересечение - есть прямая; такие плоскости называются пересекающимися.

2) Две плоскости не имеют общих точек; такие плоскости называются параллельными.

Расстояние от точки до плоскости

Расстояние от произвольной точки М₀(х₀, у₀, z₀) до плоскости Ах+Ву+Сz+D=0 равно:

 

9 Каноническое уравнение плоскости в пространстве:

Аx+By+Cz+D=0, где D = -A x₀ -B y₀ -C z₀.. Параметрические уравнения прямой в пространстве:

Прямая в пространстве может быть задана:

1) как линия пересечения двух плоскостей,т.е. системой уравнений:

A₁ x + B₁ y + C₁ z + D₁ = 0, A₂ x + B₂ y + C₂ z + D₂ = 0;

2) двумя своими точками M₁(x₁, y₁, z₁) и M₂(x₂, y₂, z₂), тогда прямая, через них проходящая, задается уравнениями:

= ;

3) точкой M₁(x₁, y₁, z₁), ей принадлежащей, и вектором a (m, n, р), ей коллинеарным. Тогда прямая определяется уравнениями:

.

Уравнения (3.4) называются каноническими уравнениями прямой.

Вектор a называется направляющим вектором прямой.

Параметрические уравнения прямой получим, приравняв каждое из отношений (3.4) параметру t:

x = x₁ +mt, y = y₁ + nt, z = z₁ + рt.

Взаимное расположение прямых в пространстве:. Возможны четыре различных случая расположения двух прямых в пространстве:

– прямые скрещивающиеся, т.е. не лежат в одной плоскости;

– прямые пересекаются, т.е. лежат в одной плоскости и имеют одну общую точку;

– прямые параллельные, т.е. лежат в одной плоскости и не пересекаются;

– прямые совпадают.

10. Кривые 2го порядка

Эллипс

Парабола

y² = 2 px

11.Эллипсоид

 

Однополосный гиперболоид

Двуполостный гиперболоид.

 

Эллиптический параболоид.

Гиперболический параболоид

Конус второго порядка

 

12. Число называется пределом числовой последовательности , если последовательность является бесконечно малой, т. е. все её элементы, начиная с некоторого, по модулю меньше любого заранее взятого положительного числа.

В случае, если у числовой последовательности существует предел в виде вещественного числа , её называют сходящейся к этому числу. В противном случае, последовательность называют расходящейся. Если к тому же она неограниченна, то её предел полагают равным бесконечности.

Кроме того, если все элементы неограниченной последовательности, начиная с некоторого номера, имеют положительный знак, то говорят, что предел такой последовательности равен плюс бесконечности.

Если же элементы неограниченной последовательности, начиная с некоторого номера, имеют отрицательный знак, то говорят, что предел такой последовательности равен минус бесконечности.

Частичный предел последовательности — это предел одной из её подпоследовательностей.

Верхний предел последовательности — это наибольшая из её предельных точек.

Нижний предел последовательности — это наименьшая из её предельных точек.

Преде́л фу́нкции (предельное значение функции) в заданной точке, предельной для области определения функции, — такая величина, к которой стремится рассматриваемая функция при стремлении её аргумента к данной точке.

 

13. Первый замечательный предел:

 

Второй замечательный предел:

 

15. Неопределенности типа

Пусть заданы две функции f (x) и g (x), такие, что

В этом случае говорят, что функция имеет неопределенность типа в точке x = a. Чтобы найти предел при x = a когда функция содержит неопределенность , нужно разложить на множители числитель и/или знаменатель и затем сократить члены, стремящиеся к нулю.

Неопределенности типа

Пусть две функции f (x) и g (x) обладают свойством

 

где a является действительным числом, либо стремится к + ∞ или − ∞. Говорят, что в этом случае функция имеет в точке a неопределенность типа . Для вычисления предела в этой точке необходимо разделить числитель и знаменатель на x в наивысшей степени.

17. Производная фун-ии назыв-ся предел отношении приращение функции к приращению аргумента при стремящемся аргумента к 0,если этот предел сущ-т и конечен.

Геометрическ.смысл производной. Производная функции y = f (x) в т. х =tg a угла наклона касательной к графику функции в т. х

 

Производная от координаты по времени есть скорость. В этом состоит механический смысл производной.

v (t ₀) = x’ (t ₀), т.e. скорость – это производная координаты по времени. В этом и состоит механический смысл производной. Аналогично, ускорение – это производная скорости по времени: a = v’ (t).