| → | "следует", "выполняется" |
| ↔ | равносильность утверждения |
| : | "такой, что" |
Запись ∀x: |x|<2 → x2 < 4 означает: для каждого x такого, что |x|<2, выполняется неравенство x2 < 4.
Квантор
При записи математических выражений часто используются кванторы.
Квантором называется логический символ, который характеризует следующие за ним элементы в количественном отношении.
- ∀- квантор общности, используется вместо слов "для всех", "для любого".
- ∃- квантор существования, используется вместо слов "существует", "имеется". Используется также сочетание символов ∃!, которое читается как существует единственный.
Операции над множествами
Два множества А и В равны (А=В), если они состоят из одних и тех же элементов.
Например, если А={1,2,3,4}, B={3,1,4,2} то А=В.
Объединением (суммой) множеств А и В называется множество А ∪ В, элементы которого принадлежат хотя бы одному из этих множеств.
Например, если А={1,2,4}, B={3,4,5,6}, то А ∪ B = {1,2,3,4,5,6}
Пересечением (произведением) множеств А и В называется множество А ∩ В, элементы которого принадлежат как множеству А, так и множеству В.
Например, если А={1,2,4}, B={3,4,5,2}, то А ∩ В = {2,4}
Разностью множеств А и В называется множество АВ, элементы которого принадлежат множесву А, но не принадлежат множеству В.
Например, если А={1,2,3,4}, B={3,4,5}, то АВ = {1,2}
Симметричной разностью множеств А и В называется множество А Δ В, являющееся объединением разностей множеств АВ и ВА, то есть А Δ В = (АВ) ∪ (ВА).
Например, если А={1,2,3,4}, B={3,4,5,6}, то А Δ В = {1,2} ∪ {5,6} = {1,2,5,6}
Свойства операций над множествами
Свойства перестановочности
A ∪ B = B ∪ A
A ∩ B = B ∩ A
Сочетательное свойство
(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
Счетные и несчетные множества
Для того, чтобы сравнить два каких-либо множества А и В, между их элементами устанавливают соответствие.
Если это соответствие взаимооднозначное, то множества называются эквивалентными или равномощными, А 
В или В А.
Пример 1
Множество точек катета ВС и гипотенузы АС треугольника АВС являются равномощными.
2.
ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ. СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ФУНКЦИИ
Функцией называется закон, по которому числу х из заданного множества Х, поставлено в соответствие только одно число у, пишут 
, при этом x называют аргументом функции, y называют значением функции.
Существуют разные способы задания функций.
1. Аналитический способ.
Аналитический способ - это наиболее часто встречающийся способ задания функции.
Заключается он в том, что функция задается формулой, устанавливающей, какие операции нужно произвести над х, чтобы найти у. Например 
.
Рассмотрим первый пример - 
. Здесь значению x = 1 соответствует 
, значению x = 3 соответствует 
и т. д.
Функция может быть задана на разных частях множества X разными функциями.
Например:
Во всех ранее приведенных примерах аналитического способа задания, функция была задана явно. То есть, справа стояла переменная y, а справа формула от переменной х. Однако, при аналитическом способе задания, функция может быть задана и неявно.
Например 
. Здесь, если мы задаем переменной x значение, то, чтобы найти значение переменной у (значение функции), мы должны решить уравнение. Например, для первой заданной функции при х = 3, будем решать уравнение:
. То есть, значение функции при х = 3 равно -4/3.
При аналитическом способе задания, функция может быть задана параметрически - это, когда х и у выражены через некоторый параметр t. Например,
Здесь при t = 2, x = 2, y = 4. То есть, значение функции при х = 2 равно 4.
2. Графический способ.
При графическом способе вводится прямоугольная система координат и в этой системе координат изображается множество точек с координатами (x,y). При этом . Пример:
3. Словесный способ.
Функция задается с помощью словесной формулировки. Классический пример – функция Дирихле.
«Функция равна 1, если х – рациональное число; функция равна 0, если х – иррациональное число».
4. Табличный способ.
Табличный способ наиболее удобен, когда множество Х конечно. При этом способе составляется таблица, в которой каждому элементу из множества Х, ставится в соответствие число Y.
Пример:
Табличный способ задания функции очень удобен при обработке результатов исследований. Например, при выявлении зависимости между уровнем загрязнения окружающей среды и количеству людей, заболевших раком.
3.
Неопределенности типа 
Пусть заданы две функции f (x) и g (x), такие, что
В этом случае говорят, что функция 
имеет неопределенность типа в точке x = a. Чтобы найти предел при x = a когда функция содержит неопределенность , нужно разложить на множители числитель и/или знаменатель и затем сократить члены, стремящиеся к нулю.
Примечание: В данном разделе при вычислении пределов не используется правило Лопиталя.
Неопределенности типа 
Пусть две функции f (x) и g (x) обладают свойством
где a является действительным числом, либо стремится к + ∞ или − ∞. Говорят, что в этом случае функция имеет в точке a неопределенность типа . Для вычисления предела в этой точке необходимо разделить числитель и знаменатель на x в наивысшей степени.
Неопределенности типа 
| Пример 1 |
Вычислить предел  .
Решение.
Подставив напрямую значение x = 1, убеждаемся, что данная функция имеет неопределенность в
точке x = 1. Разложив числитель на множители, получаем
|
Неопределенности этих типов сводятся к рассмотренным выше неопределенностям типа и .
| Пример 2 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Вычислить предел  .
Решение.
Функция имеет неопределенность типа в точке y = −2. Разложим числитель и знаменатель на множители.
(Мы использовали здесь формулу разложения квадратного трехчлена на множители: ax 2 + bx + c = a (x − x 1)(x − x 2), где x 1 и x 2 - корни квадратного уравнения.) Аналогично,
Таким образом, предел равен
|
.
Решение.
Подстановка 
показывает, что функция имеет неопределенность типа 
.
Решение.
Перепишем знаменатель в виде
и разложим его как разность кубов:
В результате можно найти предел:
.
Решение.
Сделаем замену переменной: 
. Тогда 
. Получаем
Преобразуем полученное выражение, используя формулу приведения 
. В результате находим значение предела
.
Решение.
Если 
Таким образом, здесь мы имеем дело с неопределенностью типа 
. Умножим и разделим данную иррациональную функцию на сопряженное выражение.
Вычисляя предел каждого члена, получаем ответ:
.
Решение.
Для вычисления предела избавимся от иррациональностей в числителе и знаменателе, умножив их на соответствующие сопряженные выражения.
.
Решение.
Разделим числитель и знаменатель на x 30 (x в наивысшей степени). Получаем
.
Решение.
Используя формулы
преобразуем предел и найдем его значение:
.
Решение.
Пусть 
. Тогда 
при 
. Следовательно,
.
Решение.
Данная функция определена только при t ≥ 0. Умножим и разделим ее на сопряженное выражение 
. Получаем
Теперь и числитель, и знаменатель стремятся к ∞ при 
. Следовательно, разделим числитель и знаменатель на 
- то есть t в наивысшей степени знаменателя. Тогда
.
Решение.
Используя тригонометричское тождество 
, перепишем предел в следующем виде
В последнем выражении первый предел, очевидно, равен 1. Во втором пределе функция косинус ограничена в интервале от −1 до 1, а знаменатель стремится к ∞ при 
4. 5.
Производная параметрически заданной функции.
В зависимости от правила, устанавливающего зависимость между множествами значений величин x и y, различают несколько способов задания функции. Наиболее привычным является представление функции в явном виде 
. Однако, в некоторых случаях удобно описывать функциональную зависимость множеством пар значений (x; y), которые вычисляются для каждого значения параметра t из промежутка (a; b). К примеру, все пары значений 
при 
задают окружность с центром в начале координат радиуса 3.
Определение параметрически заданной функции.
Таким образом, если 
определены при 
и существует обратная функция 
для 
, то говорят о параметрическом задании функции 
.
При исследовании параметрически заданной функции иногда приходится находить ее производную по аргументу x. В этой статье мы выведем формулу производной параметрически заданной функции 
, также остановимся на производной второго и n-ого порядка.
Вывод формулы производной параметрически заданной функции.
Пусть определены и дифференцируемы при , причем 
и имеет обратную функцию .
Сначала переходим от параметрического задания к явному. При этом получаем сложную функцию 
, аргументом которой является x.
По правилу нахождения производной сложной функции имеем: 
. Так как и обратные функции, то по формуле производной обратной функции 
, поэтому 
.
Давайте рассмотрим несколько примеров.
Дальнейшее изложение предполагает умение пользоваться таблицей производных, правилами дифференцирования и формулой производной сложной функции.
Пример.
Найти производную параметрически заданной функции 
Решение.
В данном примере 
, поэтому 
. Используем выведенную формулу и сразу записываем ответ:
Ответ: 
.
ОБРАТИТЕ ВНИМАНИЕ, что производная функции по аргументу x также задается через параметр t, поэтому в ответе нужно указывать и выражение аргумента x через параметр t (строчка переписывается из условия), иначе потеряется связь между значениями производной параметрически заданной функции и аргументом, которому эти значения соответствуют.
Для нахождения производной второго порядка параметрически заданной функции, можно к найденной производной первого порядка вновь применить формулу:
Пример.
Найти производные первого и второго порядков функции, заданной параметрически 
Решение.
Имеем 
, поэтому
Следовательно, 
.
То есть, производная первого порядка имеет вид: 
.
Еще раз используем формулу, для нахождения производной второго порядка:
То есть, производная второго порядка параметрически заданной функции имеет вид
Можно было поступить немного иначе:
Следовательно,
Аналогично находятся производные высших порядков параметрически заданных функций.
6.
Во многих задачах функция y (x) задана невным образом. Например, для приведенных ниже функций
невозможно получить зависимость y (x) в явном виде.
Алгоритм вычисления производной y' (x) от неявной функции выглядит следующим образом:
- Сначала необходимо продифференцировать обе части уравнения по отношению к x, предполагая,
что y - это дифференцируемая функция x и используя правило вычисления производной от сложной функции;
- Решить полученное уравнение относительно производной y' (x).
| Пример 1 |
Продифференцировать функцию y (x), заданную уравнением  .
Решение.
Продифференцируем обе части уравнения по переменной x:
что приводит к результату
|
| Пример 2 |
Вычислить производную функции y (x), заданной уравнением  при условии y = 1.
Решение.
Дифференцируем обе части уравнения по x (левую часть дифференцируем как сложную функцию):
Если y = 1, то из исходного уравнения находим
|
Рассмотрим для иллюстрации несколько примеров.
Подставим в уравнение (1) значения x = −1 и y = 1. В результате получаем
Отсюда следует, что y' = 0 при y = 1.
Пример 3
Дано уравнение окружности x 2 + y 2 = r 2 с центром в начале координат и радиусом r.
Найти производную y' (x).
Решение.
Продифференцируем по x обе части уравнения:
В данном случае мы можем получить и явное выражение для производной. Например, для верхней полуокружности, зависимость y (x) имеет явный вид 
. Отсюда находим, что производная равна
| Пример 4 |
Найти уравнение касательной к кривой x 4 + y 4 = 2 в точке (1;1).
Решение.
Продифференцируем обе части уравнения кривой по x:
Тогда  . В точке (1;1) соответственно находим, что y' (1) = −1. Следовательно, уравнение касательной в данной точке имеет вид
|
7.
