Непрерывные СВ. (2)Плотность распределения вероятностей (дифференциальная функция), ее свойства.

(1) Случайная величина называется непрерывной, если для нее существует неотрицательная кусочно-непрерывная функция, удовлетворяющая для любых значений x равенству

(Функция называется кусочно-непрерывной на всей числовой оси, если она на любом сегменте или непрерывна, или имеет конечное число точек разрыва I рода.)

(2) Плотностью распределения вероятностей непрерывной СВ называют функцию f(x)-первую производную от функции распределения F(x):

f(x)=F`(x)

Свойства:

Плотность распределения - неотрицательная функция f(x)>=0

Несобственный интеграл от плотности равен 1 (основное свойство) =1

 

 

Билет 32.

Математическое ожидание непрерывной СВ, ее свойства

Математическое ожидание непрерывной случайной величины x определяется равенством

в предположении, что интеграл существует (сходится). Здесь сохраняется смысл математического ожидания как среднего значения случайной величины.

Все свойства математического ожидания, приведённые ранее для дискретных случайных величин, имеют место и для непрерывных случайных величин.

Отметим два важных свойства математического ожидания непрерывных случайных величин.

1. Если плотность распределения р (х) случайной величины x – чётная функция, то М x = 0.

2. Если ось симметрии графика плотности распределения р (х) случайной величины x проходит через точку х = n, то есть
р (–х + n) = р (–х + n), то М x = n.

 

Рассмотрим свойства математического ожидания. При этом ограничимся доказательством только первых двух свойств, которое проведем для дискретных случайных величин.

 

1°. Математическое ожидание постоянной С равно этой постоянной.

2°. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания, т.е.

3°. Математическое ожидание суммы нескольких случайных величин равно сумме математических ожиданий этих величин:

4°. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий этих величин:

 

 

Билет 33.

Дисперсия непрерывной СВ, ее свойства. Стандартное отклонение.

 

Дисперсия непрерывной случайной величины x определяется равенством

Дисперсия непрерывной случайной величины имеет те же свойства, что и дисперсия дискретной случайной величины. Величина называется среднеквадратическим отклонением.

Основные свойства дисперсии:

1. дисперсия любой случайной величины неотрицательна, Dx 0;

2. дисперсия константы равна нулю, Dc=0;

3. для произвольной константы D(cx) = c2D(x);

4. дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий: D(x ± h) = D(x) + D (h)

 

Билет 34.