Теорема о существовании корня непрерывной функции.

Если функция непрерывна на отрезке и принимает на его концах значения разных знаков, то на этом отрезке существует по крайней мере один корень уравнения.

Теорема (теорема о промежуточных значениях). Пусть функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и f(a) = A, f(b) = B. Тогда для любого числа C, заключённого между A и B, найдётся внутри этого отрезка такая точка C[a, b], что f(c) = C.

Теорема 3.8 (об ограниченности непрерывной функции): Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b]. Тогда f ограничена на [a,b], то есть существует такая постоянная K, что при всех .

Тема 3:

16. Производной функции f(x) в точке х₀ называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента при ∆ х → 0 ( если этот предел существует).МЕХАНИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ: т.е. скорость неравномерного движения это производная от пройденного пути по времени.

 

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ

Т.о., геометрически у '(x₀) представляет угловой коэффициент касательной к графику этой функции в точке x₀, т.е. при данном значении аргумента x, производная равна тангенсуугла, образованного касательной к графику функции f(x) в соответствующей точке М₀ (x; y) с положительным направлением оси Ox.

Экономический смысл производной: производительность труда есть производная объема произведенной продукции по времени.

18. Пусть f(x) имеет в любой точке моей области определенные частные производные Ә f / Ә x и

Ә f / Ә y. Эти частные производные являются функциями двух переменных и в свою очередь могут иметь частные производные (если они существуют), называются частными производными второго порядка функции f.

Если функции v(x) и u(x) дифференцируемы в точке x_o, то сумма (разность), произведение и частное этих функций(частное при условии u(x)≠0) также дифференцируемы в этой точке, причем справедливы следующие формулы:

(v+-u)` = v`+-u` (vu)` = v`u+vu` (v/u) = (v`u – vu`)/u²

19. Правило Лопиталя: Пусть функция f(x) и g(x) определены и дифференцируемы в некоторой окрестности точки а за исключение, быть может, самой точки а. Кроме того, пусть limf(x) = limg(x) = 0, причем g`(x) = 0 в указанной окрестности точки а. Тогда, если существует предел отношения lim f`(x)/g`(x) (конечной или бесконечной), то существует и предел lim f(x)/g(x), причем справедлива формула

lim f(x)/g(x) = lim f(x)`/g`(x)

Раскрытие разных видов неопределенностей:

Неопределенность вида ∞ /∞:в том случае, когда существует неопределенность этого вида, правило Лопиталя остается справедливым при замене условия lim f(x) = lim g(x) = 0 на условие limf(x) = lim g(x) = ∞.

Неопределенности вида 0* ∞ и ∞ - ∞ можно свести к неопределенностям вида 0\0 и ∞ \∞.

17. Если функция дифференцируема в точке x, то она непрерывна в этой точке.

Доказательство. Так как функция дифференцируема в точке x, то то ее приращение представимо в виде (1), из которого следует, что limD x® 0D y = 0, что означает непрерывность функции в данной точке.

Заметим, что из непрерывности в данной точке не следует дифференцируемость в этой точке. Это видно из рассмотренного выше примера 4.

Производная непрерывной функции не обязательно непрерывна. Если функция имеет непрерывную производную на некотором множестве X, то функция называется гладкой на этом множестве. Если производная допускает конечное число точек разрыва (причем первого рода), то такая функция называется кусочно гладкой.

20. Необходимые и достаточные признаки возрастания (убывания) функции.

1) Если дифференцированная ф-я возрастает на некотором промежутке, то производная этой функции неотрицательна. f`(x)> или = 0

2) Если дифференцированная ф-я убывает на некотором промежутке, то производная этой функции неположительного f`(x)< или =0.

1) Если производная дифференцированной функции положит. внутри некоторого промежутка, то ф-я возрастает на этом промежутке.

2) если производная дифференцированной функции отрицат. внутри некоторого промежутка, то ф-я убывает на этом промежутке.

21.Необходимое: Для того, чтобы ф-я y=f(x) имела экстремум т. х₀ необходимо, чтобы ее производная в этой точке равнялась нулю или не существовала f`(x₀)= 0

Точки, в которых производная функции обращается в ноль или не существует, называется критическими точками или критическими значениями аргумента х.

Если в какой-либо точке имеется экстремум, то эта точка является критической, а обратное утверждение неверно.

Достаточное: Если дифф. функция f(x) такова, что для некоторого значения х₀ ее аргумента х, производная f`(x) = 0 и меняет свой знак при переходе через это значение, то число f(x₀) является экстремумом функции f(x), причем

- функция f(x) имеет максимум при x=x₀, если производная меняется с + на – при переходе через т.х₀

-функция f(x) имеет минимум при х=х₀ , если производная меняется с – на +при переходе через т. x_0.

Если для дифференцированной ф-ии f(x) в некоторой т. x₀ ее первая производная f`(x) = 0, а вторая f``(x)отлична от 0, то в т. x₀ ф-я имеет экстремум, а именно:

- если f``(x) меньше 0, то ф-я имеет максимум

- если f``(x) больше 0, то ф-я имеет минимум.

22. 1)Ф-я y=f(x) называется выпуклой вниз(вогнутой) на промежутке Х, если для любых двух значений x₁,х₂ принадлежит Х из этого промежутка выполняется неравенство:

f(x_{1 +}х₂)/2< или = f(x₁)+ f(x₂)/2

2) Функция называется выпуклой вверх (вогнута вниз) на промежутке Х, если для любых x₁,х_2, принадлежащих Х, выполняется неравенство f(x₁+х₂)/2 > или =(f (x₁)+f (х₂))/2

Теорема: ф-я выпукла вниз(вверх) на промежутке Х тогда и только тогда, когда ее первая производная на этом промежутке монотонно возрастает. Если производная возрастает на промежутке, то возрастает угол наклона касательной к графику.

Достаточные условия выпуклости функции вниз(вверх):

Если вторая производная дважды дифференцированной функции положительна(отрицательна) внутри некоторого промежутка Х, то ф-я выпукла вниз(вверх) на этом промежутке.

Необходимые условия выпуклости: Если ф-я выпукла на X, то можно утверждать, что f``(x) >= 0 (f``(x)<=0)

23. Точкой перегиба графика непрерывной функции наз-ся точка, разделяющая интервалы, в которых функция выпукла вниз и вверх.

Из этого следует, что точки перегиба –точки экстремума первой производной.

Теорема о необходимых условиях перегиба: вторая производная f`` дважды дифференцированная функция в точке перегиба х равно нулю, т.е. f``(x)= 0

Достаточные условия перегиба функции: Если вторая производная f``(x) дважды дифференцированная функция при переходе через некоторую точку x₂ меняет свой знак, то x₂ есть т. перегиба ее графика.

Если критическая ф-я дифф. ф-ии не является точкой экстремума, то она явл. точкой перегиба.

Асимптоты графика функции:

Асимптоты графика ф-ии y = f(x) называется прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точки (х, f(x)) до этой прямой стремится к нулю. При неограниченном удалении точки графика от начала координат.

24. Дифференциалом функции y=f (x) в точке x₀ называется главная линейная относительно ∆ x часть приращения функции в этой точке: dy = f`(x₀) ∆x

Теорема об единственности дифференциала:

Данная функция может иметь только один дифференциал: df(x) = f`(x)*dx

25. Связь d функции с производной: Если функция имеет дифференциал, то она имеет также и производную

df(x) = f`(x) dx

Свойства дифференциалов:

Если v = f(x) и u = g(x) дифференц. в т. х, то из определения дифференц. следуют следующие свойства.

Дифференциал обладает свойствами, аналогичными свойствам производной:

d c = 0;

d(c u(x)) = c d u(x);

d(u(x) ± v(x)) = d u(x) ± d v(x);

d(u(x) v(x)) = v(x) d u(x) + u(x)d v(x);

d(u(x) / v(x)) = (v(x) d u(x) - u(x) d v(x)) / v2(x).

Эти формулы следуют из определения дифференциала и свойств производной.

 

Тема 4:

. Функция F(x) называется первообразной функцией для функции f(x) на множестве XН R, если в каждой точке этого множества F'(x) = f(x).

Совокупность всех первообразных функций для функции f(x), определенных на множестве X, называется неопределенным интегралом от функции f(x) на множестве X и обозначается f(x)dx.

Если F(x) - некоторая первообразная для f(x), то пишут

f(x)dx = F(x)+C.

Основные свойства неопределенного интеграла:

dF(x) = F(x)+C. Справедливость этого равенства следует из очевидной цепочки равенств

dF(x) = F'(x)dx = f(x)dx = F(x)+C.

d f(x)dx = f(x)dx. Данная формула следует из равенства

d f(x)dx = d(F(x)+C) = dF(x) = F'(x)dx = f(x)dx.

Если функции f1(x), f2(x) имеют первообразные, то функция f1(x)+f2(x) тоже имеет первообразную, причем

(f1(x)+f2 (x))dx = f1(x)dx+ f2(x)dx.

Если функция f(x) имеет первообразную и k– постоянная, то и функция kf(x) также имеет первообразную, причем при k№ 0 справедливо равенство

kf(x)dx = k f(x)dx.

Таблица определенных интегралов:

Замена переменной интегрирования является одним из эффективных методов сведения интеграла к табличному. Этот прием интегрирования называется методом подстановки.

Теорема 15 (метод подстановки). Пусть функция x = f (t) определена и дифференцируема на некотором множестве T, а X - множество значений этой функции, на котором определена f(x). Тогда, если функция f(x) имеет первообразную на X, то на T справедлива следующая формула f(x)dx = f(f (t))f' (t)dt. (13)

Доказательство. Пусть F(x) – первообразная для f(x) на X, то есть F' (x) = f(x). Используя правило дифференцирования сложной функции, получим

(F(f (t)))' = F'x(f(t))f '(t) = f(f(t))f '(t).

Таким образом,

f(f (t))f'(t)dt=F(f(t))+C.

f(x)dx = F(x)+C

Метод интегрирования по частям:

Метод интегрирования по частям позволяет свести исходный неопределенный интеграл к более простому виду либо к табличному интегралу. Этот метод наиболее часто применяется, если подынтегральная функция содержит логарифмические, показательные, обратные тригонометрические, тригонометрические функции, а также их комбинации.

Формула интегрирования по частям следующая.

То есть, подынтегральное выражение f(x)dx представляем в виде произведения функции u(x) на d(v(x)) - дифференциал функции v(x). Далее находим функцию v(x) (чаще всего методом непосредственного интегрирования) и d(u(x)) - дифференциал функции u(x). Подставляем найденные выражения в формулу интегрирования по частям и исходный неопределенный интеграл сводится к разности . Последний неопределенный интеграл может быть взят с использованием любого метода интегрирования, в том числе и метода интегрирования по частям.

33. Под определенным интегралом ^b_a∫ f(x)dx от заданной непрерывной функции на данном отрезке (a,b) понимается соответствующее приращение ее первообразной

^b_a∫ f(x)dx = f(b) – f(a) – формула Ньютона-Лейбница.

Связь определенного и неопределенного интегралов

^b_a∫f(x) dx = ∫f(x)dx |^b_a Формальная разница между определенным и неопределенным интегралом: Определенный интеграл – число, а неопределенный – семейство функций

.

34. Основные свойства определенного интеграла:

I. Общее св-во:

1)Величина опред. интеграла не зависит от значения переменной интегрирования

^b_a∫ f(x)dx = ^b_a∫f(t)dt

2)^а_a∫ f(x)dx = 0

3) При постановке пределов интегрирования опред. интеграл меняет знак на противоп.

^b_a∫f(x)dx = - ^a_b∫ f(x)dx