Математический анализ. Множества и функции
Понятие множества. Операции над множествами
Понятие множества является первичным, не определяемым через более простые.
Множество – это совокупность некоторых объектов. Эти объекты, называют элементами, или точками, этого множества.
Это может быть множество точек окружности, множество предприятий отрасли, множество студентов в аудитории и т.п. Примеры множеств:
А = {Иванов, Смирнов, Петров, Сидоров}
B = {k, m, n}
C = {5; -7; 0,9; 100; 8}
D - множество чисел от 5 до 10
E = {Иванов}
F - множество чисел от 7 до 100
G = {Соколов, Кузнецов}
N – множество натуральных чисел
и т.д.
Множества могут включать любое количество элементов – один (Е), другое конечное число (A, B, C, E, G), бесконечное число (D, F, N) либо ноль, т.е. вообще ни одного элемента. В последнем случае множество называют пустым и обозначают Æ.
Говорят, что элемент множества принадлежит этому множеству. Для обозначения принадлежности используется символ «Î» (если элемент не принадлежит множеству, это обозначают символом «Ï»). Например,
Иванов Î А; 5 Î С; 10Ï С.
Операции над множествами
Если одно множество состоит из части элементов другого или совпадает с ним, то первое из них называют подмножеством второго и записывают это с помощью символа «Ì». Например, Е – подмножество А, т.е. Е Ì А.
Два множества называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов.
Объединением двух множеств называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из данных множеств. Оно обозначается символом «È». Например, DÈF - множество чисел от 5 до 100.
Пересечением двух множеств называется множество, состоящее из всех элементов, одновременно принадлежащих каждому из данных множеств. Оно обозначается символом «Ç». Например, DÇF - множество чисел от 7 до 10; CÇD = {5; 8}; АÇЕ = {Иванов}; АÇG = Æ.
Разностью множеств называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих первому из них, которые не принадлежат второму. Она обозначается символом «\». Например, {Смирнов, Петров, Сидоров}; С\D = {-7; 0,9; 100}.
Дополнением множества, которое является подмножеством другого множества, называют множество, состоящее из всех элементов второго множества, не принадлежащих первому. Например, для Е Ì А дополнением Е до А будет множество {Смирнов, Петров, Сидоров} =А\Е.
Множества, элементами которых являются действительные[1] числа, называются числовыми. Например, C, D, F, N – числовые множества.
Из школьного курса алгебры известны числовые множества: R - действительных чисел, Q - рациональных, I - иррациональных, Z - целых, N — натуральных чисел. Очевидно, что NÌZÌQÌR, IÌR, R=QÈI.
Множество действительных чисел R изображается точками числовой прямой (или числовой оси), т.е. прямой, на которой выбрано начало отсчета, положительное направление и единица масштаба. Между множеством действительных чисел и точками этой прямой существует взаимно однозначное соответствие, т.е. каждому действительному числу соответствует определенная точка числовой прямой, и наоборот, каждой точке прямой — определенное действительное число (см. рис. 1.1). Поэтому часто вместо "число х" говорят "точка х".
Множество, элементы которого удовлетворяют неравенству a £ x £ b, называется отрезком (или сегментом) [а; b]; неравенству а < х < b - интервалом ]а; b[[2]; неравенствам а£х<b или а<х£Ь, называются полуинтервалами соответственно [а; b[ и ]а; b]. Наряду с этим рассматриваются бесконечные интервалы и полуинтервалы ]-¥; а[, ]b; +¥[,
]-¥, +¥[, ]-¥; а] и [b; +¥[. В дальнейшем все указанные множества объединbм термином промежуток.
Понятие окрестности точки
Абсолютная величина (или модуль) действительного числа х - это само число х, если х неотрицательно, и противоположное число -х, если х отрицательно:
Некоторые свойства абсолютных величин:
1) |х| ≥ 0 (по определению);
2) |х + y| £ |х| + |y|;
3) |х - y| ≥ |х| - |y|;
4) |хy| = |х||y|;
5) |х/y| = |х|/|y|.
Абсолютная величина разности двух чисел |х - а| означает расстояние между точками х и а числовой прямой как для случая х < а, так и для х > а (см. рис. 1.2). Поэтому, например, решениями неравенства |х - а| < e (где
e > 0) будут точки х интервала ]а - e, а + e[.
Окрестность точки. Всякий интервал, содержащий точку а, называется окрестностью точки а.
Интервал ]а - e, а + e[, т.е. множество точек х таких, что |х - а| < e (где e > 0) называется e-окрестностью точки а (см. рис. 1.3).
Функциональная зависимость
Постоянной величиной (константой) называется величина, сохраняющая одно и то же значение.
Переменной называется величина, которая может принимать различные числовые значения.
Функция – это соответствие (закон), согласно которому каждому элементу х множества X (х Î X) ставится в соответствие вполне определенный элемент у множества Y (у Î Y) (этот элемент y обязательно должен быть только один для любого х)..
При этом говорят, что на множестве X задана функция y = f(x).
Переменная х называется независимой переменной (или аргументом), у - зависимой переменной, а буква f обозначает закон соответствия.
Множество X называется областью определения (или существования) функции, а множество Y - областью значений функции.
Если множество X специально не оговорено, то под областью определения функции подразумевается область допустимых значений независимой переменной х, т.е. множество таких значений х, при которых функция у = f(х) вообще имеет смысл.
Например, область определения функции 
есть промежуток [5; +¥[, так как под знаком корня должно стоять неотрицательное выражение (х – 5 ≥ 0).
Способы задания функций. Существует несколько способов задания функций:
а) Аналитический способ, если функция задана формулой вида
y = f(x). Этот способ наиболее часто встречается на практике. Например, функция задана аналитически.
С помощью формулы функция может быть задана явно или неявно. Задание будет явным, если правая часть формулы не содержит зависимую переменную. Например, в формуле правая часть не содержит y, поэтому функция задана явно. Пример неявного задания функции – выражение x3 + y2 = 2. С помощью этого выражения неявно заданы две функции – 
для y > 0 и 
для y < 0.
б) Табличный способ состоит в том, что функция задается таблицей, содержащей значения аргумента х и соответствующие значения функции f(x). Например, прайс-лист, в котором каждому номеру товара соответствует его цена.
в) Графический способ состоит в изображении графика функции - множества точек (х, y), абсциссы которых есть значения аргумента х, а ординаты - соответствующие им значения y (см. рисунок 1.3).
Основные свойства функций
1. Четность и нечетность. Функция y = f(x) называется четной для любых значений х из области определения, если f(-x) = f(x), и нечетной, если f(-x) = -f(x). В противном случае функция называется функцией общего вида.
Например, функция у = х2 является четной, так как (-х)2 = х2; а функция у = х3 – нечетной, так как (-х)3 = -х3. Функция у = f(x) = х2 +х3 является функцией общего вида, так как f(-x) = (-х)2 +(-х)3 = х2 - х3. При этом f(-x) ¹ f(x) и f(-x) ¹ - f(x).
График четной функции симметричен относительно оси ординат (например, функции у = х2), а график нечетной функции симметричен относительно начала координат (например, график функции у = х3).
2. Монотонность. Функция y = f(x) называется возрастающей (убывающей) на некотором промежутке, еcли большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее (меньшее) значение функции.
Пусть х1, х2 Î X и х2 > х1. Тогда функция возрастает на промежутке X, если f(x2) > f (х1) и убывает, если f(x2) < f (х1).
В обоих случаях функции называются строго монотонными. Если два последних неравенства – нестрогие (т.е. f(x2) ≥ f (х1) и f(x2) £ f (х1)), то функции называют соответственно неубывающими и невозрастающими.
Например, функция у = х2 убывает для неположительных значений аргумента (т.е. на промежутке ]-¥; 0]) и возрастает для неотрицательных.
3. Ограниченность. Функция y = f(x) называется ограниченной на некотором промежутке X, если существует такое положительное число М, что модуль значения функции не превышает этого числа для любого аргумента из этого промежутка. (М > 0: |f(x)| £ M для любого х Î X)
В противном случае функция называется неограниченной.
Например, функция у = cos х ограничена на всей числовой оси, так как |cos х| £ 1. Функция у = х не ограничена на ]-¥; +¥[.
Если в определении рассматривать не модуль значения функции, а само значение, которое должно быть не меньше или не больше числа М, то можно говорить об ограниченности снизу или сверху.
4. Периодичность. Функция y = f(x) называется периодической с периодом Т ¹ 0, если для любых х из области определения f(х + Т) = f(x).
Например[3], функция у = sin х имеет период Т = 2p, так как
sin (х +2p) = sin х.
Обратная функция. Если для функции y = f(x) различным аргументам х1 ¹ х2 соответствуют различные значения функции y1 ¹ y2, то можно определить функцию x = j(y), которая каждому число y = f(x) ставит в соответствие число х. Такую функцию называют обратной для f и обозначают f-1.(не следует путать это обозначение с возведением в степень
(-1)).
Из этого определения следует, что для любой строго монотонной функции существует обратная функция.
Например, для функции у=ах обратной будет функция x=lоgaу (или в обычных обозначениях зависимой и независимой переменных у= lоgах).
Графики взаимно обратных функций симметричны относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов (относительно прямой
y = x) (см. рис. 1.3).
Сложная функция. Пусть функция y = f (u) есть функция от переменной u, определенной на множестве U c областью значений Y, а переменная u, в свою очередь, является функцией u = j (х) от переменной х, определенной на множестве X с областью значений U. Тогда заданная на множестве X функция y = f [j (х)] называется сложной функцией (или композицией функций, суперпозицией функций, функцией от функции).
Например, у = lg sin х — сложная функция, так как ее можно представить в виде у= lg u, где u = sin х.
