Множества. Элементы множеств. Конечные и бесконечные множества. Способы задания множеств. Характеристическое свойство множеств. Примеры множеств из курса математики начальной школы.
Множество -основное неопределяемое понятие в математике. Основоположником теории множеств является Кантор. Множеством называется совокупность некоторых элементов, объединенных каким-либо общим признаком. Элементами множества могут быть числа, фигуры, предметы, понятия и т.п. Множества обозначаются большими латинскими буквами, а элементы множества маленькими. Понятие множества является одним из основных понятий математики и поэтому не определяется через другие.
Объекты любой природы из которых состоит множество называются его элементами. Элементы множеств заключаются в фигурные скобки. Множество,не содержащее не одного элемента называется пустым множеством.
Множества бывают конечными и бесконечными. Если множество состоит из того,что можно посчитать,то оно конечное ( кол-во окон, кол-во учеников). Если множество состоит из того,что нельзя посчитать,то оно называется бесконечным. (кол-во натуральных чисел)
Способы задания множеств:
· Перечисление всех элементов множества. А={2,3,6,8} перечислением элементов можно задать только для конечных множеств.
· Указание характеристичского св-ва множеств. A = {x | P(x)}
Характеристическое св-во множеств - это такое св-во,которым обладает каждый элемент,принадлежащий множеству и не обладает не один элемент,который не принадлежит этому множеству. Пример: все числа оканчивающиеся на 2 и 0 четные.
В начальной школе дети знают такие множества:
· Натуральные числа N-числа,которые мы используем при счете предметов. |1;+ ∞)
· Целые числа Z- числа натуральные и противоположные им,а так же 0 (-∞;+∞)
· Множество дробей(рациональные числа Q-целые и дробные)
· Множества однозначных и многозначных чисел
3) Подмножества. Отношения между множествами. Диаграммы Эйлера–Венна. Равные множества. Понятие взаимно-однозначного соответствия между множествами. Примеры из курса математики начальной школы.
Множество В называется подмножеством множества А,если каждый элемент множества В является так же элементом множества А. В ⊂А(В включено в А; В является частью А)
В ⊆А А-надмножество множества В. Например А={2,4,8 } В={1,2,4,5,7,8} А⊂В
Пустое множество считается подмножеством любого множества А. Любое множество А является подмножеством самого себя.
Пересечение множеств. Если множества А и В имеют общиеэлементы,т.е. элементы,принадлежащие одновременно А и В,то говорят,что эти множества пересекаются. А ⋂В
Включение множеств. А={a,b,c,d,e} B={c,d,e}. Они пересекаются,и,кроме того, каждый элемент множества В является элементом множества А. в этом случае говорят,что множество В включается в множество А или что множество В является подмножеством множества А. В ⊂А
Объединение множеств. Объединением двух множеств А и В называется множество,состоящее из элементов,принадлежащих хотябы одному из множеств А и В. А ∪В
Равенство множеств. Множества А и В называются равными тогда и только тогда,когда множество А есть подмножество множества В и наоборот.
А=В ⇔(А ⊂В) ⋂ (В ⊂А)
Диаграмма Эйлера-Венна - наглядное средство для работы со множествами. На этих диаграммах изображаются все возможные варианты пересечения множеств. Количество пересечений (областей) n определяется по формуле:
n=2N,где N - количество множеств.
Таким образом, если в задаче используется два множества, то n=22=4, если три множества, то n=23=8, если четыре множества, то n=24=16. Поэтому диаграммы Эйлера-Венна используются в основном для двух или трех множеств.
Множества изображаются в виде кругов (если используется 2-3 множества) и эллипсов (если используется 4 множества), помещенных в прямоугольник (универсум).
Универсальное множество (универсум) U (в контексте задачи) - множество, содержащее все элементы рассматриваемой задачи: элементы всех множеств задачи и элементы, не входящие в них.
Пустое множество Ø (в контексте задачи) - множество, не содержащее ни одного элемента рассматриваемой задачи.
На диаграмме строят пересекающиеся множества, заключают их в универсум. Выделяют области, количество которых равно количеству пересечений. Диаграммы Эйлера-Венна также используются для визуального представления логических операций.
Равные множества – это множества, которые включают в себя одни и те же элементы, то есть являются эквивалентными по отношению друг к другу.
Множества XX и YY называются не равными (X≠ YX≠ Y), если множество XX содержит в себе элементы, которые не содержит в себе множество YY. Другими словами – множество XX имеет элементы, которые не принадлежат множеству YY.
Символ равенства множеств имеет следующие свойства:
· X=XX=X; — рефлексивность;
· если X=YX=Y, Y=XY=X — симметричность;
· если X=YX=Y, Y=ZY=Z, то X=ZX=Z — транзитивность.
Согласно такому определению равенства множеств следует, что все пустые множества равны между собой или что существует только одно пустое множество.
Если каждому элементу множества А можно поставить в соответствие один и только один элемент множества В и, наоборот, каждому элементу множества В можно поставить в соответствие один и только один элемент множества А, то такое соответствие между множествами А и В называется взаимно однозначным.
Предположим, что мы имеем два конечных множества, например корзину яблок и корзину груш. Желая установить, чего у нас больше — яблок или груш, мы можем (и это будет самое простое решение вопроса) сосчитать число плодов в каждой корзине. Получим два числа, — сравнение их и даст ответ на наш вопрос. Первый случай: против каждого яблока действительно окажется груша, и при этом не только все яблоки, но и все груши окажутся разложенными. В этом случае, очевидно, у нас столько же яблок, сколько и груш.Второй случай: против каждого яблока окажется по груше, но при этом еще останется несколько груш в корзине — в этом случае у нас больше груш, чем яблок.Наконец, возможен последний, третий случай: стараясь разложить все груши так, чтобы против каждого яблока лежала груша, мы не достигнем цели — нам не хватит груш. Тогда, очевидно, груш меньше, чем яблок.Как видите, мы смогли произвести количественную оценку двух множеств — корзины яблок и корзины груш, не сосчитывая точно, сколько имеется тех и других плодов, но установив, каких плодов больше, или убедившись, что их имеется одинаковое количество. Эту оценку мы произвели, установив, как говорят, взаимно-однозначное соответствие между одним множеством и другим или частью другого.
Операции над множествами. Пересечение и объединение множеств. Свойства операций пересечения и объединения множеств. Примеры пересечения и объединения множеств из курса математики начальной школы.
Над множествами, как и над многими другими математическими объектами, можно совершать различные операции, которые иногда называют теоретико-множественными операциями или сет-операциями. В результате операций из исходных множеств получаются новые.
Пересечение множеств. Если множества А и В имеют общиеэлементы,т.е. элементы,принадлежащие одновременно А и В,то говорят,что эти множества пересекаются. А ⋂В. А-множество равнобедренных треугольников;В-множество равносторонних треугольников.
Объединение множеств. Объединением двух множеств А и В называется множество,состоящее из элементов,принадлежащих хотябы одному из множеств А и В. А ∪В. Объединением множества рациональных чисел с множеством иррациональных чисел является множество действительных чисел.
Свойста операций пересечения и объединения:
См. рабочую тетрадь.
Примеры пересечения и объединения множеств из курса математики начальной школы.
Пересечение. Множество людей и множество спортсменов
Объединение. множество сиамских кошек и множество мейн-кунов. Это множество кошек
5) Операции над множествами. Разность и дополнение множеств. Свойства операций разности и дополнения множеств. Удаление части множества на примерах из курса математики начальной школы.
Разность двух множеств — теоретико-множественная операция, результатом которой является множество, в которое входят все элементы первого множества, не входящие во второе множество. Обычно разность множеств А и B обозначается как A\B. Пусть A={1,;2,;3,;4},;B={3,;4,;5,;6,;7} Тогда A\ B={1,;2}.
Дополнением множества В до множества А называется множество, содержащее все элементы множества А, которые не принадлежат множеству В.
Дополнением множества тупоугольных треугольников на плоскости до множества всех треугольников является множество остроугольных и прямоугольных треугольников.
Свойства операций разности и дополнения множеств. См. рабочую тетрадь.
Удаление части множества на примерах из курса математики начальной школы.
На ветке сидело 7 птиц. 3 улетело. Сколько птиц осталось на дереве?
Высказывания и операции над ними. Примеры высказываний из курса математики начальной школы.
Высказывание -повествовательное предложение, которое является или истинным или ложным. Оно является основным математическим понятием,поэтому не определяется точно.
Высказывания обозначаются большими латинскими буквами. Не считаются высказываниями вопросительные и восклицательные предложения,а так же предложения содержащие поздравления,сожаления,приказания и просьбы. Высказывания не всегда записываются словами. Одно и тоже высказывание может быть представлено в разном виде.
В высказываниях выделяются тема и рема. Тема-то,о чем говорится в высказывании. Рема- то,что сообщается о теме. Высказывания бывают простыми и сложными. Высказывания, представляющие собой одно утверждение называют простым или элементарным. «Москва-столица России». Высказывания,которые получаются из простых с помощью сентенциональных связок «и», «не», «или», «если,то», «Тогда и только тогда,когда» называются сложными или составными.
Операции, совершаемые над высказываниями
· Отрицание(инверсия). Отрицание высказывания А называется новое высказывание А, которое истинно,если высказывание А-ложное, и ложно, если высказывание А-истинное.
Не верно,что А
«на улице идет снег» «на улице не идет снег»
· Конъюнкция(логическое умножение). Конъюнкцией двух высказываний А и В называется новое высказывание А ∧В, которое истинно только если А и В истинны и ложно во всех остальных случаях.
«5>0 и оно натуральное число»;
· Дизъюнкция (логическое сложение). Дизъюнкцией двух высказываний А и В называется новое высказывание А ∨В,которое истинно, если хотя бы одно из высказываний А или В –истинно, и ложно, если они оба ложны
«Москва –столица России или столица Англии»
· Импликация(условное предложение). Импликацией двух высказываний А и В называется новое высказывание А →В, которое считается ложным, если А-истинно, а В-ложно, и истинным во всех других случаях. «Если выглянет солнце, то будет тепло»
· Эквиваленция(биусловное предложение). Эквиваленцией двух высказываний А и В, называется новое высказывание А <--> В
«вода замерзнет тогда и только тогда,когда температура воздуха будет ниже нуля»
7) Формулы и их виды. Приоритет выполнения логических операций. Таблицы истинности. Равносильные формулы.
С помощью логических операций из простейших высказываний можно строить различные сложные высказывания, которые записываются с помощью формул алгебры высказываний.
"Если Саратов находится на берегу Невы и все люди смертны, то А.С. Пушкин — великий русский математик" Конечно, оно звучит несколько странно, поскольку соединяет в себе столь разнородные понятия, которые обычно существуют раздельно друг от друга. Но нас, еще раз подчеркиваем, интересует не содержание этого высказывания, а его логическое значение. Оно может быть определено, исходя из логических значений исходных высказываний и той схемы, по которой из исходных высказываний построено сложное высказывание.
Логической переменной называется переменная, которая может обозначать любое высказывание.Будем обозначать логические переменные латинскими буквами. Каждая переменная может принимать только два значения: истина или ложь (0 или 1).
Логической формулой является:
1) любая логическая переменная или логическая константа
Приоритет выполнения логических операций:
· Отрицание
· Конъюнкция
· Дизъюнкция
· Импликация
· Эквиваленция
ü Если над формулой стоит знак отрицания, то скобки опускаются
ü Договорились не писать внешние скобки
Формулы алгебры высказываний полностью определяются логическими значениями входящих в нее элементарных высказываний. Все возможные логические значения формулы в зависимости от значения, входящих в нее элементарных высказываний могут быть описаны полностью с помощью таблиц истинности.
В первых столбцах Т.И. выписываются все возможные сочетания логических значений, которые могут принимать элементарные высказывания, входящие в формулу. В последующих столбцах выписывают логические значения, входящие в основную формулу, руководствуясь определениями логических операций. Если формула содержит n элементарных высказываний, то она принимает 2^n значений, т.е. таблица содержит 2^n строк. Первые n столбцов и последний столбец образуют таблицу истинности, остальные столбцы вспомогательные.
Две формулы алгебры логики А и В называются равносильными, если они принимают одинаковые логические значения на любом наборе значений входящих в формулы элементарных высказываний. Равносильные формулы называются еще эквивалентными, так как в процессе каждого набора значений для своих переменных они бывают одинакового значения истинности или значение ложности.
Равносильные формулы служат для выражения одних логических операций через другие, позволяют упрощать формулы или, точнее, заменять одни логические формулы другими, равносильными, но более простыми. В рассуждениях можно заменять сложные высказывания на более простые, равносильные им.
