Ћекции.ќрг


ѕоиск:




 атегории:

јстрономи€
Ѕиологи€
√еографи€
ƒругие €зыки
»нтернет
»нформатика
»стори€
 ультура
Ћитература
Ћогика
ћатематика
ћедицина
ћеханика
ќхрана труда
ѕедагогика
ѕолитика
ѕраво
ѕсихологи€
–елиги€
–иторика
—оциологи€
—порт
—троительство
“ехнологи€
“ранспорт
‘изика
‘илософи€
‘инансы
’ими€
Ёкологи€
Ёкономика
Ёлектроника

 

 

 

 


¬ысказывани€ и операции над ними. ѕримеры высказываний из курса математики начальной школы.




ћножества. Ёлементы множеств.  онечные и бесконечные множества. —пособы задани€ множеств. ’арактеристическое свойство множеств. ѕримеры множеств из курса математики начальной школы.

ћножество -основное неопредел€емое пон€тие в математике. ќсновоположником теории множеств €вл€етс€  антор. ћножеством называетс€ совокупность некоторых элементов, объединенных каким-либо общим признаком. Ёлементами множества могут быть числа, фигуры, предметы, пон€ти€ и т.п. ћножества обозначаютс€ большими латинскими буквами, а элементы множества маленькими. ѕон€тие множества €вл€етс€ одним из основных пон€тий математики и поэтому не определ€етс€ через другие.

ќбъекты любой природы из которых состоит множество называютс€ его элементами. Ёлементы множеств заключаютс€ в фигурные скобки. ћножество,не содержащее не одного элемента называетс€ пустым множеством.

ћножества бывают конечными и бесконечными. ≈сли множество состоит из того,что можно посчитать,то оно конечное ( кол-во окон, кол-во учеников). ≈сли множество состоит из того,что нельз€ посчитать,то оно называетс€ бесконечным. (кол-во натуральных чисел)

—пособы задани€ множеств:

Ј ѕеречисление всех элементов множества. ј={2,3,6,8} перечислением элементов можно задать только дл€ конечных множеств.

Ј ”казание характеристичского св-ва множеств. A = {x | P(x)}

’арактеристическое св-во множеств - это такое св-во,которым обладает каждый элемент,принадлежащий множеству и не обладает не один элемент,который не принадлежит этому множеству. ѕример: все числа оканчивающиес€ на 2 и 0 четные.

¬ начальной школе дети знают такие множества:

Ј Ќатуральные числа N-числа,которые мы используем при счете предметов. |1;+ ∞)

Ј ÷елые числа Z- числа натуральные и противоположные им,а так же 0 (-∞;+∞)

Ј ћножество дробей(рациональные числа Q-целые и дробные)

Ј ћножества однозначных и многозначных чисел

 

3) ѕодмножества. ќтношени€ между множествами. ƒиаграммы ЁйлераЦ¬енна. –авные множества. ѕон€тие взаимно-однозначного соответстви€ между множествами. ѕримеры из курса математики начальной школы.

ћножество ¬ называетс€ подмножеством множества ј,если каждый элемент множества ¬ €вл€етс€ так же элементом множества ј. ¬ ⊂ј(¬ включено в ј; ¬ €вл€етс€ частью ј)

¬ ⊆ј ј-надмножество множества ¬. Ќапример ј={2,4,8 } ¬={1,2,4,5,7,8} ј⊂¬

ѕустое множество считаетс€ подмножеством любого множества ј. Ћюбое множество ј €вл€етс€ подмножеством самого себ€.

ѕересечение множеств. ≈сли множества ј и ¬ имеют общиеэлементы,т.е. элементы,принадлежащие одновременно ј и ¬,то говор€т,что эти множества пересекаютс€. ј ⋂¬

¬ключение множеств. ј={a,b,c,d,e} B={c,d,e}. ќни пересекаютс€,и,кроме того, каждый элемент множества ¬ €вл€етс€ элементом множества ј. в этом случае говор€т,что множество ¬ включаетс€ в множество ј или что множество ¬ €вл€етс€ подмножеством множества ј. ¬ ⊂ј

ќбъединение множеств. ќбъединением двух множеств ј и ¬ называетс€ множество,состо€щее из элементов,принадлежащих хот€бы одному из множеств ј и ¬. ј ∪¬

–авенство множеств. ћножества ј и ¬ называютс€ равными тогда и только тогда,когда множество ј есть подмножество множества ¬ и наоборот.

ј=¬ ⇔(ј ⊂¬) ⋂ (¬ ⊂ј)

ƒиаграмма Ёйлера-¬енна - нагл€дное средство дл€ работы со множествами. Ќа этих диаграммах изображаютс€ все возможные варианты пересечени€ множеств.  оличество пересечений (областей) n определ€етс€ по формуле:

n=2N,где N - количество множеств.

“аким образом, если в задаче используетс€ два множества, то n=22=4, если три множества, то n=23=8, если четыре множества, то n=24=16. ѕоэтому диаграммы Ёйлера-¬енна используютс€ в основном дл€ двух или трех множеств.

ћножества изображаютс€ в виде кругов (если используетс€ 2-3 множества) и эллипсов (если используетс€ 4 множества), помещенных в пр€моугольник (универсум).

 

”ниверсальное множество (универсум) U (в контексте задачи) - множество, содержащее все элементы рассматриваемой задачи: элементы всех множеств задачи и элементы, не вход€щие в них.

ѕустое множество Ø (в контексте задачи) - множество, не содержащее ни одного элемента рассматриваемой задачи.

Ќа диаграмме стро€т пересекающиес€ множества, заключают их в универсум. ¬ыдел€ют области, количество которых равно количеству пересечений. ƒиаграммы Ёйлера-¬енна также используютс€ дл€ визуального представлени€ логических операций.

–авные множества Ц это множества, которые включают в себ€ одни и те же элементы, то есть €вл€ютс€ эквивалентными по отношению друг к другу.

ћножества XX и YY называютс€ не равными (X≠ YX≠ Y), если множество XX содержит в себе элементы, которые не содержит в себе множество YY. ƒругими словами Ц множество XX имеет элементы, которые не принадлежат множеству YY.

—имвол равенства множеств имеет следующие свойства:

Ј X=XX=X; Ч рефлексивность;

Ј если X=YX=Y, Y=XY=X Ч симметричность;

Ј если X=YX=Y, Y=ZY=Z, то X=ZX=Z Ч транзитивность.

—огласно такому определению равенства множеств следует, что все пустые множества равны между собой или что существует только одно пустое множество.

≈сли каждому элементу множества ј можно поставить в соответствие один и только один элемент множества ¬ и, наоборот, каждому элементу множества ¬ можно поставить в соответствие один и только один элемент множества ј, то такое соответствие между множествами ј и ¬ называетс€ взаимно однозначным.

ѕредположим, что мы имеем два конечных множества, например корзину €блок и корзину груш. ∆ела€ установить, чего у нас больше Ч €блок или груш, мы можем (и это будет самое простое решение вопроса) сосчитать число плодов в каждой корзине. ѕолучим два чи≠сла, Ч сравнение их и даст ответ на наш вопрос. ѕервый случай: против каждого €блока дей≠ствительно окажетс€ груша, и при этом не только все €блоки, но и все груши окажутс€ разложенными. ¬ этом случае, очевидно, у нас столько же €блок, сколько и груш.¬торой случай: против каждого €блока окажетс€ по груше, но при этом еще останетс€ несколько груш в корзине Ч в этом случае у нас больше груш, чем €блок.Ќаконец, возможен последний, третий случай: стара€сь разложить все груши так, чтобы против каждого €блока лежала груша, мы не достигнем цели Ч нам не хватит груш. “огда, очевидно, груш меньше, чем €блок. ак видите, мы смогли произвести количественную оценку двух множеств Ч корзины €блок и корзины груш, не сосчитыва€ точно, сколько имеетс€ тех и других плодов, но уста≠новив, каких плодов больше, или убедившись, что их имеетс€ одинаковое количество. Ёту оценку мы произвели, установив, как говор€т, взаимно-однозначное соответствие между одним множеством и другим или частью другого.

ќперации над множествами. ѕересечение и объединение множеств. —войства операций пересечени€ и объединени€ множеств. ѕримеры пересечени€ и объединени€ множеств из курса математики начальной школы.

Ќад множествами, как и над многими другими математическими объектами, можно совершать различные операции, которые иногда называют теоретико-множественными операци€ми или сет-операци€ми. ¬ результате операций из исходных множеств получаютс€ новые.

ѕересечение множеств. ≈сли множества ј и ¬ имеют общиеэлементы,т.е. элементы,принадлежащие одновременно ј и ¬,то говор€т,что эти множества пересекаютс€. ј ⋂¬. ј-множество равнобедренных треугольников;¬-множество равносторонних треугольников.

ќбъединение множеств. ќбъединением двух множеств ј и ¬ называетс€ множество,состо€щее из элементов,принадлежащих хот€бы одному из множеств ј и ¬. ј ∪¬. ќбъединением множества рациональных чисел с множеством иррациональных чисел €вл€етс€ множество действительных чисел.

—войста операций пересечени€ и объединени€:

—м. рабочую тетрадь.

ѕримеры пересечени€ и объединени€ множеств из курса математики начальной школы.

ѕересечение. ћножество людей и множество спортсменов

ќбъединение. множество сиамских кошек и множество мейн-кунов. Ёто множество кошек

5) ќперации над множествами. –азность и дополнение множеств. —войства операций разности и дополнени€ множеств. ”даление части множества на примерах из курса математики начальной школы.

 

–азность двух множеств Ч теоретико-множественна€ операци€, результатом которой €вл€етс€ множество, в которое вход€т все элементы первого множества, не вход€щие во второе множество. ќбычно разность множеств ј и B обозначаетс€ как A\B. ѕусть A={1,;2,;3,;4},;B={3,;4,;5,;6,;7} “огда A\ B={1,;2}.

ƒополнением множества ¬ до множества ј называетс€ множество, содержащее все элементы множества ј, которые не принадлежат множеству ¬.

ƒополнением множества тупоугольных треугольников на плоскости до множества всех треугольников €вл€етс€ множество остроугольных и пр€моугольных треугольников.

—войства операций разности и дополнени€ множеств. —м. рабочую тетрадь.

”даление части множества на примерах из курса математики начальной школы.

Ќа ветке сидело 7 птиц. 3 улетело. —колько птиц осталось на дереве?

¬ысказывани€ и операции над ними. ѕримеры высказываний из курса математики начальной школы.

¬ысказывание -повествовательное предложение, которое €вл€етс€ или истинным или ложным. ќно €вл€етс€ основным математическим пон€тием,поэтому не определ€етс€ точно.

¬ысказывани€ обозначаютс€ большими латинскими буквами. Ќе считаютс€ высказывани€ми вопросительные и восклицательные предложени€,а так же предложени€ содержащие поздравлени€,сожалени€,приказани€ и просьбы. ¬ысказывани€ не всегда записываютс€ словами. ќдно и тоже высказывание может быть представлено в разном виде.

¬ высказывани€х выдел€ютс€ тема и рема. “ема-то,о чем говоритс€ в высказывании. –ема- то,что сообщаетс€ о теме. ¬ысказывани€ бывают простыми и сложными. ¬ысказывани€, представл€ющие собой одно утверждение называют простым или элементарным. Ђћосква-столица –оссииї. ¬ысказывани€,которые получаютс€ из простых с помощью сентенциональных св€зок Ђиї, Ђнеї, Ђилиї, Ђесли,тої, Ђ“огда и только тогда,когдаї называютс€ сложными или составными.

ќперации, совершаемые над высказывани€ми

Ј ќтрицание(инверси€). ќтрицание высказывани€ ј называетс€ новое высказывание ј, которое истинно,если высказывание ј-ложное, и ложно, если высказывание ј-истинное.

Ќе верно,что ј

Ђна улице идет снегї Ђна улице не идет снегї

Ј  онъюнкци€(логическое умножение).  онъюнкцией двух высказываний ј и ¬ называетс€ новое высказывание ј ∧¬, которое истинно только если ј и ¬ истинны и ложно во всех остальных случа€х.

Ђ5>0 и оно натуральное числої;

Ј ƒизъюнкци€ (логическое сложение). ƒизъюнкцией двух высказываний ј и ¬ называетс€ новое высказывание ј ∨¬,которое истинно, если хот€ бы одно из высказываний ј или ¬ Цистинно, и ложно, если они оба ложны

Ђћосква Цстолица –оссии или столица јнглииї

Ј »мпликаци€(условное предложение). »мпликацией двух высказываний ј и ¬ называетс€ новое высказывание ј →¬, которое считаетс€ ложным, если ј-истинно, а ¬-ложно, и истинным во всех других случа€х. Ђ≈сли выгл€нет солнце, то будет теплої

Ј Ёквиваленци€(биусловное предложение). Ёквиваленцией двух высказываний ј и ¬, называетс€ новое высказывание ј <--> ¬

Ђвода замерзнет тогда и только тогда,когда температура воздуха будет ниже нул€ї

 

7) ‘ормулы и их виды. ѕриоритет выполнени€ логических операций. “аблицы истинности. –авносильные формулы.

— помощью логических операций из простейших высказываний можно строить различные сложные высказывани€, которые записываютс€ с помощью формул алгебры высказываний.

"≈сли —аратов находитс€ на берегу Ќевы и все люди смертны, то ј.—. ѕушкин Ч великий русский математик"  онечно, оно звучит несколько странно, поскольку соедин€ет в себе столь разнородные пон€ти€, которые обычно существуют раздельно друг от друга. Ќо нас, еще раз подчеркиваем, интересует не содержание этого высказывани€, а его логическое значение. ќно может быть определено, исход€ из логических значений исходных высказываний и той схемы, по которой из исходных высказываний построено сложное высказывание.

Ћогической переменной называетс€ переменна€, котора€ может обозначать любое высказывание.Ѕудем обозначать логические переменные латинскими буквами.  ажда€ переменна€ может принимать только два значени€: истина или ложь (0 или 1).

Ћогической формулой €вл€етс€:

1) люба€ логическа€ переменна€ или логическа€ константа

ѕриоритет выполнени€ логических операций:

Ј ќтрицание

Ј  онъюнкци€

Ј ƒизъюнкци€

Ј »мпликаци€

Ј Ёквиваленци€

 

ü ≈сли над формулой стоит знак отрицани€, то скобки опускаютс€

ü ƒоговорились не писать внешние скобки

‘ормулы алгебры высказываний полностью определ€ютс€ логическими значени€ми вход€щих в нее элементарных высказываний. ¬се возможные логические значени€ формулы в зависимости от значени€, вход€щих в нее элементарных высказываний могут быть описаны полностью с помощью таблиц истинности.

¬ первых столбцах “.». выписываютс€ все возможные сочетани€ логических значений, которые могут принимать элементарные высказывани€, вход€щие в формулу. ¬ последующих столбцах выписывают логические значени€, вход€щие в основную формулу, руководству€сь определени€ми логических операций. ≈сли формула содержит n элементарных высказываний, то она принимает 2^n значений, т.е. таблица содержит 2^n строк. ѕервые n столбцов и последний столбец образуют таблицу истинности, остальные столбцы вспомогательные.

ƒве формулы алгебры логики ј и ¬ называютс€ равносильными, если они принимают одинаковые логические значени€ на любом наборе значений вход€щих в формулы элементарных высказываний. –авносильные формулы называютс€ еще эквивалентными, так как в процессе каждого набора значений дл€ своих переменных они бывают одинакового значени€ истинности или значение ложности.

–авносильные формулы служат дл€ выражени€ одних логических операций через другие, позвол€ют упрощать формулы или, точнее, замен€ть одни логические формулы другими, равносильными, но более простыми. ¬ рассуждени€х можно замен€ть сложные высказывани€ на более простые, равносильные им.





ѕоделитьс€ с друзь€ми:


ƒата добавлени€: 2017-03-18; ћы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 6043 | Ќарушение авторских прав


ѕоиск на сайте:

Ћучшие изречени€:

≈сли вы думаете, что на что-то способны, вы правы; если думаете, что у вас ничего не получитс€ - вы тоже правы. © √енри ‘орд
==> читать все изречени€...

502 - | 520 -


© 2015-2023 lektsii.org -  онтакты - ѕоследнее добавление

√ен: 0.029 с.