Правила построения формул логики высказываний

Правило 1. Элементарное высказывание (буква) является формулой нулевого уровня. Если элементарное высказывание всегда верно, мы будем его обозначать буквой И (1), а если оно всегда неверно, - буквой Л (0). Тогда формулы первого уровня - это элементарные высказывания, к которым применена только одна логическая связка.

Правило 2. Пусть и - формулы ненулевого уровня. Тогда записи

, , , ,

также являются формулами. Если же одна из формул и , к которым применяется логическая связка, имеет нулевой уровень, то она в скобки не заключается.

Теперь, зная буквы - элементарные высказывания, мы никогда не ошибёмся, определяя, является ли формулой запись, содержащая эти буквы, скобки и символы связок, то есть правильно ли построено сложное высказывание. В процессе подобного опознавания мы выделяем части формулы, то есть более короткие формулы, из которых на каждом этапе строится более длинная формула с применением одной связки. Самыми простыми частями формулы являются, разумеется, элементарные высказывания. Значит, логический анализ формулы сводится к выделению всех её частей.

Пример 8. Пусть элементарными высказываниями являются А, В, С. Записи

и c формальной точки зрения не являются формулами, так как мы натыкаемся при их разборе на нарушение правил построения формул.

УПРАЖНЕНИЕ 1. Является ли формулой следующая запись:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

Воспользуемся рассмотренными средствами, чтобы поупражняться в переходе от обычных высказываний к формальной их записи.

Пример 9. В качестве исходного материала возьмём высказывания "ДУЕТ ВЕТЕР" и "ИДЕТ ДОЖДЬ". Тогда высказывание "НЕВЕРНО, ЧТО ВЕТЕР ДУЕТ ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА ИДЕТ ДОЖДЬ" является сложным по отношению к исходным.

Обозначим буквой P высказывание "ДУЕТ ВЕТЕР", а буквой Q высказывание "ИДЕТ ДОЖДЬ". Тогда из сложного высказывания мы видим, что вначале было построено высказывание "ВЕТЕР ДУЕТ ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА ИДЕТ ДОЖДЬ", а потом с его помощью путём применения связки НЕ ("НЕВЕРНО, ЧТО") - уже окончательное утверждение. Таким образом, нашему анализу соответствует формула:

УПРАЖНЕНИЕ 2. Выделяя более простые высказывания “ДИНАМО” ВЫИГРАЕТ, “СПАРТАК” ЗАЙМЕТ ВТОРОЕ МЕСТО и обозначая их логическими переменными А и В соответственно, записать с помощью формул сложные высказывания:

а) либо матч выиграет команда “ДИНАМО” и второе место займет команда “СПАРТАК”, либо “ДИНАМО” не выиграет, но второе место все же достанется “СПАРТАКУ”.

б) неверно, что либо матч выиграет “ДИНАМО” и второе место займет “СПАРТАК”, либо “ДИНАМО” не выиграет и второе месте не достанется “СПАРТАКУ”.

в) из того, что “ДИНАМО” проиграет не следует, что второе место не достанется “СПАРТАКУ”.

д) матч “ДИНАМО” не выиграет и “СПАРТАК” не займет второе место.

е) Если матч выиграет “ДИНАМО”, значит второе место займет “СПАРТАК”.

Вы заметили, как много скобок появляется при попытке записать обычные высказывания с помощью формул? Скобочный "частокол" затрудняет чтение формул. Вспомним, что в формуле школьной алгебры число скобок сокращается за счёт определённых приёмов. Например, деление чисел можно записывать, устраивая "многоэтажные" выражения, вводя в рассмотрение числитель и знаменатель дроби. Очень часто применяется метод старшинства операций: возведение в степень старше умножения, а умножение старше сложения в том смысле, что в бесскобочной записи а·b + c принято всегда первым выполнить умножение, а затем сложение. Лишь когда мы отклоняемся от установленного порядка выполнения операций, необходимо указать его, проставив скобки. Например, а·(b + c) сигнализирует о том, что сначала нужно выполнить младшую операцию (сложение), а потом старшую (умножение). Точно так же в логике высказываний были приняты соглашения о старшинстве логических связок: считается, что сильнее всех связывает высказывания связка "не", за ней идут "и", "или", "если...,то..." и, наконец, связка равносильности "... тогда и только тогда, когда...".