Формулы логики высказываний.

Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ ЛОГИКИ ВЫСКАЗЫВАНИЙ.

Логика высказываний. Операции над высказываниями. Формулы логики высказываний.

Высказывания и операции над ними.

Определение 1: Высказывание – повествовательное предложение, о котором можно точно сказать, истинное оно или ложное.

Пример 1: Высказываниями являются следующие предложения:

А₁= “ ”

А₂= “ ”

А₃= “Минск – столица Беларуси”

А₄= “Неман впадает в Черное море”

А₅= “2+3=5”

А₆= “Каждая дифференцируемая на функция ограничена на нем”.

Пример 2: Высказываниями не являются следующие предложения:

«Сегодня хорошая погода»

“ ”

“Студент матфака”

ОПЕРАЦИИ НАД ВЫСКАЗЫВАНИЯМИ

Название «логика высказываний» говорит само за себя: предметом изучения в теории являются высказывания. Допустим, что имеются первоначальные (элементарные) высказывания, о которых нам известно, истинны они или ложны.

? Какие новые высказывания можно с их помощью построить?

? Как следует определять их истинность?

Вот тут-то мы сразу и облегчим себе задачу, отвечая на поставленные вопросы.

Точно так же, как поступают в алгебре, рассуждая о числах, то есть вводят символы а, b, c,... и подразумевают под каждым из них любое число, поступим теперь и мы: введём символы А, В, С,..., P, Q, R,..., X, Y, Z, означающие любое элементарное высказывание. Теперь их можно трактовать как переменные, принимающие только два значения: "истинно" и "ложно"; их мы тоже обозначим кратко: И и Л.

Исходя из разговорной практики, мы знаем, что, имея высказывания А и В, можно ещё построить высказывания:

не А (неверно, что А)

А и В

А или В

если А, то В (из А следует В)

А только и только тогда, когда В (А эквивалентно В, А тождественно В)

Эти высказывания, в отличие от элементарных, естественно назвать сложными, поскольку они уже наделены структурой. Однако они так же, как и простые, могут принимать только два возможных значения: И либо Л.

 

Средства, которые мы применили, называются логическими связками, поскольку сложные высказывания представляют собой некоторые логические рассуждения, связывающие элементарные высказывания друг с другом. Почему бы и логические связки не обозначить для краткости специальными символами? И в логике высказываний были введены подобные обозначения и определения:

 

Определение 2: Отрицанием высказывания называется высказывание “не ”, которое обозначается (или ) и является истинным тогда и только тогда, когда ложно.

Такая таблица называется таблицей истинности связки. Она отражает все ситуации влияния значений элементарной переменной на значение сложного высказывания.

Определение 3: Конъюнкцией двух высказываний и называется высказывание « и », которое обозначается и является истинным тогда и только тогда, когда оба высказывания истинны.

Пример 3: 1) «6 делится на 3» и «10 больше 5» - И

2) «6 делится на 3» и «7 больше 10» - Л

3) «Число 10 четное и делится на пять» - И

Определение 4: Дизъюнкцией двух высказываний и называется высказывание « или », которое обозначается и является ложным тогда и только тогда, когда оба высказывания ложны.

Пример 4: 1) «Число 3 корень или корень » - И

2) «Неман впадает в Черное или Азовское море» - Л

Определение 5: Импликацией двух высказываний и называется высказывание «если , то », которое обозначается и является ложным тогда и только тогда, когда истинно, а ложно.

Пример 5: 1) «» - И

2) «» - И

3) «» - Л

Определение 6: Эквивалентностью двух высказываний и называется высказывание « тогда и только тогда когда », которое обозначается и является истинным тогда и только тогда, когда и одновременно истинны или одновременно ложны.

Операция	Название операции	Краткое прочтение полученного высказывания	Полное прочтение полученного высказывания
A	отрицание	не А.	неверно, что А.
A Ù B	конъюнкция	A и B.	верно, что A, и верно, что B.
A Ú B	дизъюнкция	A или B.	верно, что A, или верно, что B.
A Þ B	импликацияA называется условием, а B - следствием	если A, то B. A влечёт B.	если верно, что A, то верно, что B.
A Û B	эквивалентность	A тогда и только тогда, когда B. A эквивалентно B.	верно, что A, тогда и только тогда, когда верно, что B.

Пример 6: «164 делится на 2 тогда и только тогда, когда последняя цифра четная» - И

 

Формулы логики высказываний.

Присоединяя построенные высказывания к тем, которые уже имелись, мы и к ним можем применить повторно логические связки, получая ещё более сложные рассуждения, например:

Пример 7:

Заметим, что без скобок, означающих порядок применения связок, нам было бы трудно по символьной записи восстановить, какова же была цепь рассуждений. Следовательно, скобки являются необходимыми для записи сложных высказываний. Они объясняют нам процесс построения произвольного сложного высказывания из более простых. Такие записи получили название формул логики высказываний.

Чтобы процесс формализации был законченным, следует указать точные