Опосередковані дедуктивні умовиводи 1 страница

До складу опосередкованих дедуктивних умовиводів можуть входити різні за відношенням судження: тільки категоричні (простий категоричний силогізм), тільки розділові (суто розділовий умовивід), тільки умовні (суто умовний умовивід) та різні комбінації цих суджень, які загалом становлять відповідні різновиди розділових та умовних умовиводів.
Простий категоричний силогізм
Простий категоричний силогізм — опосередкований дедуктивний умовивід, що складається з двох засновків (посилок) і висновку, які є категоричними судженнями.
Так, умовивід «Всі паралелограми — чотирикутники, а ромби — паралелограми; отже, ромби — чотирикутники» — типовий приклад категоричного силогізму, бо цей умовивід дедуктивний, оскільки в ньому з більш загальних положень одержують менш загальні, а засновки і висновок цього умовиводу є категоричними судженнями.
Аксіома силогізму. Хоч силогізм має чимало виявів, модифікацій, та в його основі лежить загальне правило, яке називають аксіомою силогізму. Є кілька формулювань цієї аксіоми:
1) те, що належить роду, належить також виду та індивіду;
2) ознака ознаки речі є ознакою самої речі;
3) все, що стверджується (або заперечується) стосовно певної множини предметів, стверджується (або заперечується) стосовно будь-якого предмета, який належить до цієї множини.
Будова простого категоричного силогізму
Оскільки до складу простого категоричного силогізму входять три простих судження, то звідси випливає висновок, що цей силогізм складається з шістьох термінів. Проте при ближчому ознайомленні з ним виявляється, що до його складу входять лише три терміни, кожен з яких двічі повторюється. У цьому можна пересвідчитися, звернувшись до наведеного вище прикладу.
Неважко помітити, що в засновках є всі три терміни, які фігурують у силогізмі, а один термін навіть двічі повторюється (у нашому прикладі — «паралелограм»).
Термін, який повторюється в засновках і пов'язує їх між собою, називають середнім, два інших терміни — крайніми.
Ширший за обсягом крайній термін називають більшим (він виконує у висновку роль предиката), а вужчий за обсягом крайній термін — меншим (він виконує у висновку роль суб'єкта).
Засновок, до складу якого входить більший термін, називають більшим, а засновок, до складу якого входить менший термін — меншим.
Беручи до уваги саме таку будову простого категоричного силогізму та роль у ньому середнього терміна, його визначають і так:
— «Простий категоричний силогізм є умовивід про відношення двох термінів на підставі їх відношення до третього терміна»
— «Силогізм — це такий умовивід..., в якому встановлюється зв'язок між крайніми термінами у висновку на підставі їх відношення до середнього терміна в засновках»
Ознайомившись зі структурою силогізму, зокрема запам'ятавши, що висновок у ньому робиться з крайніх термінів, можна піддатись ілюзії, ніби вже осягнуто всі секрети побудови силогізму. Вона підсилюється тим, що для побудови правильного міркування у формі простого категоричного силогізму часто достатньо знати його структуру, місце і роль кожного терміна. Так, маючи засновки «Всі метали — електропровідні, а ртуть — метал» і знаючи, який із цих термінів є середнім, а які — крайніми, можна зробити висновок: «Отже, ртуть — електропровідна». Суб'єкт висновку беруть з меншого засновку, а предикат — з більшого. Висновок є стверджувальним судженням, бо обидва засновки є стверджувальними.
Проте трапляються випадки (і нерідко!), які свідчать про те, що секрети силогізму не вичерпуються знанням його будови. Так, силогізм «Всі люди дихають киснем, а земноводні не люди, отже, вони не дихають киснем» побудовано з урахуванням місця та ролі термінів. Безглуздість змісту цього висновку очевидна, а тому, враховуючи, що обидва засновки силогізму істинні, неважко здогадатися про логічну недосконалість наведеного умовиводу. Щоб не припускатися подібних помилок, необхідно знати й уміти застосовувати численні правила силогізмів: стосовно термінів, правила засновків та фігур силогізму.
Правила термінів
1. Термін, який є нерозподіленим у засновку, не може бути розподіленим у висновку.
Саме це правило порушене у наведеному вище прикладі. Більший термін «ті, хто дихає киснем» був нерозподіленим у засновку (як предикат стверджувального судження), а у висновку став розподіленим (як предикат заперечного судження). Цей силогізм неправильний, бо неналежність земноводних до людей не є достатньою підставою для твердження, ніби земноводні не належать до тих, хто дихає киснем, оскільки «ті, хто дихає киснем» є поняттям родовим стосовно поняття «людина».
Помилки цього типу називають «недозволеним розширенням більшого терміна», оскільки в засновку він мислився не в повному обсязі, а у висновку — в повному. При порушенні правила силогізму щодо крайнього терміна трапляється й помилка «недозволеного розширення меншого терміна».
Хибність цього силогізму можна довести і шляхом графічного зображення співвідношення обсягів його термінів. Для цього досить вказати на дві можливості такого зображення, наведені на схемі 21.
Поняття «земноводні», крім вказаних на схемі випадків, можна розглядати ще й так: як перехресне стосовно «тих, хто дихає киснем»; як таке, обсяг якого разом з обсягом поняття «людина» повністю вичерпує обсяг поняття «ті, хто дихає киснем»; як таке, в якому мисляться не тільки всі, хто дихає киснем, крім людей, але й ті, хто не дихає киснем (принаймні деякі з них) тощо.

2. Середній термін неодмінно має бути розподіленим принаймні в одному із засновків.

Якщо він нерозподілений, однозначно визначити відношення між крайніми термінами (тобто між, суб'єктом і предикатом висновку) неможливо. Так, у силогізмі «Всі адвокати — юристи, і прокурори — юристи; отже, прокурори є адвокатами» порушено правило щодо розподіленості середнього терміна. Середній термін повинен бути поняттям видовим щодо більшого терміна і родовим стосовно меншого терміна. У наглому ж прикладі поняття «юрист» (середній термін) є родовим стосовно більшого терміна. Про неправильність цього силогізму свідчить і графічне зображення відношення обсягів його термінів. На схемі 22 вказано лише два із багатьох можливих випадків.
3. Кожен силогізм повинен мати три, і тільки три, терміни.
Порушення цього правила веде до логічної помилки, яка називається «почетверінням термінів». Ця помилка є одним із виявів порушення закону тотожності. Однією з обставин, яка сприяє припущенню подібних помилок, є багатозначність деяких слів, зокрема явище омонімії. Прикладом такої помилки може бути силогізм: «Метали — хімічні елементи. Бронза — метал. Отже, бронза — хімічний елемент». Тут під поняттям «метал» у першому засновку розуміють хімічні елементи, а в другому — сплави певних хімічних елементів. Іншими словами, роль середнього терміна тут виконує не одне і те ж поняття. Наведений приклад силогізму, в якому порушується правило щодо кількості в ньому термінів, можна зобразити за допомогою кругової схеми 23.

Та навіть знаючи будову силогізму і правила термінів, не завжди можна відрізнити правильні силогізми від неправильних. Так, силогізм «Жоден громадянин України не бажає ядерної війни. Ця людина не є громадянином України. Отже, вона бажає ядерної війни» відповідає всім наведеним до цього вимогам: висновок тут утворено з крайніх термінів, причому менший з них є суб'єктом висновку, а більший — предикатом; до складу цього силогізму входять лише три терміни; середній і крайні терміни у засновках тут розподілені. І все-таки цей силогізм —неправильний. Щоб з'ясувати причини його неправильності, треба ознайомитися зі змістом ще однієї групи правил силогізму.
Правила щодо засновків силогізму
1. З двох заперечних засновків1 не можна зробити ніякого висновку.
Прикладом порушення цього правила може бути наведений вище силогізм. Графічно відношення між обсягами термінів у ньому можна зобразити так (схема 24):

Неважко переконатися в тому, що середній термін «громадяни України», не пов'язаний з крайніми, не може зв'язати їх між собою, що свідчить про неможливість однозначного висновку з названих засновків.
Ілюструючи випадки порушення цього правила, можна звертатися до силогізмів, які включають два змістовних заперечних судження, а також до відповідних модусів (модус — буквене позначення суджень силогізму, яке зберігає їх кількісну та якісну характеристики). Це правило порушується в таких модусах: ЕЕА, ЕЕІ, ЕЕЕ, ЕЕО, ЕОА, ЕОІ, ЕОЕ, ЕОО, ОЕА, ОЕІ, ОЕЕ, ОЕО, ООА, ООІ, ООЕ, ООО. Хибність цих модусів полягає насамперед у тому, що до їх складу входять два заперечних судження-засновки (останні позначають першими двома буквами).
2. З двох часткових засновків не можна зробити ніякого висновку.
Так, із засновків «Деякі люди — меланхоліки» і «Деякі люди — інженери» не випливає жодного висновку.
Ілюструючи порушення цього правила, можна вдатися до таких неправильних модусів: ПА, III, НЕ, ПО, ІОА, ЮІ, ЮЕ, ЮО, ОІА, Oil, ОІЕ, ОЮ, ООА, ООІ, ООЕ, ООО'.
3. Якщо один із засновків заперечний, то й висновок (якщо він взагалі можливий2) теж є заперечним.
Наприклад: «Всі квадрати мають прямі кути, а цей чотирикутник не має прямих кутів; отже, він не належить до квадратів».
Це правило порушується в таких неправильних модусах: АЕА, АЕІ, АО А, АОІ, IE А, ІЕІ, ЕАА, ЕАІ, ЕІА, ЕІІ, ОАА, ОАІ, ОІА, Oil, ІОА, ЮІ3.
4. Якщо один із засновків частковий, то й висновок (якщо він взагалі можливий) теж є частковим.
Наприклад: «Всі українці — слов'яни, а деякі українці — громадяни Канади; отже, деякі громадяни Канади — слов'яни».
Це правило порушується в таких неправильних модусах: АІА, АІЕ, АОЕ, ІАА, ІАЕ, ІЕЕ, ЕІЕ, ОАЕ, АОА, ІЕА, ЕІА, ОАА, ОЕА, ОЕЕ, ЕОА, ЕОЕ1.
5. Якщо обидва засновки стверджувальні, то й висновок (якщо він взагалі можливий) теж є стверджувальним.
Це правило порушується в таких неправильних модусах: ААО, ААЕ, АІО, ІАО, АІЕ, ІАЕ, НЕ, ПО5.
2Тобто якщо в ньому не порушуються інші правила, насамперед — правила силогізму щодо термінів.
3В-останніх чотирьох модусах порушено і попереднє правило.
4В останніх чотирьох модусах порушено і перше правило засновків, а в модусах з дев'ятого по дванадцятий включно — і третє правило.
5В останніх чотирьох модусах порушуються й інші правила: в п'ятому й шостому — четверте, а в сьомому й восьмому — друге.
Опосередковані дедуктивні умовиводи
Оскільки до складу кожного силогізму входять три судження, кожне з яких є визначеним за кількістю та якістю і позначається відповідною буквою (А, /, Е, О), можливі 64 різні поєднання цих суджень-букв, тобто 64 модуси.
Порахувавши кількість перелічених неправильних модусів, у яких порушуються правила щодо засновків, одержимо 72. Річ у тім, що деякі з них повторюються, оскільки порушують не одне, а два і три правила щодо засновків. Узявши це до уваги, нарахуємо 52 неправильних модуси (16+12+12+8+4). Отже, 12 модусів (64-52) не порушують правил щодо засновків. Проте при ближчому ознайомленні виявиться, що ще один з модусів є неправильним, оскільки суперечить правилам термінів (йдеться про модус ІЕО). Решта 11 модусів є правильними — AAA, ААІ, АЕЕ, All, AOO, ЕАЕ, ЕЮ, ЕАО, ОАО, ІАІ, АЕО.
Фігури простого категоричного силогізму та їх різновиди
Залежно від місця розташування середнього терміна розрізняють чотири фігури силогізму.
Першою1 називають таку фігуру силогізму, в якій середній термін займає місце суб'єкта в більшому засновку і місце предиката — в меншому. (Він позначається буквою М, більший термін — Р, а менший — S.). Схема першої фігури:

М Р

S M

--------------------------------------------------------

S - P

Другою називають таку фігуру силогізму, в якій середній термін займає місце предиката і в більшому, і в меншому засновках. Схема другої фігури:

P M

S M

----------------------------------------------------

S - P
Третьою називають таку фігуру силогізму, в якій середній термін займає місце суб'єкта і в більшому, і в меншому засновках.
Схема третьої фігури:

M P

M S

---------------------------------------------------------

S - P

Четвертою називають таку фігуру силогізму, в якій середній термін займає місце предиката в більшому засновку і суб'єкта — в меншому1.
Схема четвертої фігури:

P M

M S

--------------------------------------------------

S - P
Правила фігур силогізму. Кожна фігура силогізму має свої спеціальні правила, які можна обґрунтувати, посилаючись на правила термінів.
Правила першої фігури:
1) менший засновок має бути стверджувальним;
2) більший засновок має бути загальним.
Необхідність першого правила першої фігури пояснюється тим, що, будучи заперечним, менший засновок робить заперечним і висновок, в результаті чого його предикат стає розподіленим. У засновку ж цей термін був нерозподіленим як предикат стверджувального судження. А це суперечить правилу стосовно крайнього терміна силогізму. Заперечним же більший засновок бути не може (за умови, що менший засновок є заперечним), оскільки це суперечить правилу засновків, згідно з яким із двох заперечних засновків не можна зробити ніякого висновку.
Обґрунтовуючи друге правило першої фігури, зазначимо, що суб'єкт більшого засновку повинен бути розподіленим, оскільки він виконує роль середнього терміна. Тому більший засновок не може бути частковим. -Щоб сказане було переконливим, треба згадати, по-перше, правило щодо середнього терміна силогізму (середній термін має бути розподіленим принаймні в одному із засновків) і, по-друге, перше правило першої фігури силогізму, наслідком дії якого є нерозподі-леність предиката меншого засновку як предиката стверджувального судження. Правила другої фігури:
1) один із засновків має бути заперечним;
2) більший засновок має бути загальним.
Перше правило другої фігури є наслідком вимоги правила щодо середнього терміна, згідно з яким середній термін повинен бути розподіленим принаймні в одному із засновків.
У силогізмі другої фігури середній термін, як зазначалося, займає місце предиката в обох засновках, а отже, може бути розподіленим лише за умови, що засновки в цьому силогізмі будуть заперечними. Оскільки ж із двох заперечних суджень не можна зробити ніякого висновку, то залишається такий вихід: один із засновків силогізму, побудованого за схемою другої фігури, неодмінно повинен бути заперечним.
Друге правило другої фігури силогізму є наслідком правила крайнього терміна.
У силогізмі другої фігури суб'єкт більшого засновку займає місце предиката висновку. Тому якщо більший засновок є частковим судженням, то його суб'єкт буде нерозподіленим. У висновку ж цей термін стане розподіленим як предикат заперечного судження (заперечний характер висновку зумовлюється наявністю заперечного засновку), що суперечить правилу крайнього терміна.
Правила третьої фігури:
1) менший засновок має бути стверджувальним;
2) висновок має бути частковим.
Якщо в силогізмі, побудованому за схемою третьої фігури, менший засновок буде заперечним, то й висновок буде заперечним. При цьому більший термін, який у більшому засновку був нерозподіленим (як предикат стверджувального судження), стане розподіленим у висновку (як предикат заперечного судження), що суперечить правилу стосовно крайнього терміна.
Обґрунтувати необхідність наведеного правила можна й по-іншому: несумісність чи неповна сумісність одного поняття (предиката меншого засновку) з другим (поняттям, що виконує роль середнього терміна) не свідчить про несумісність цього поняття з родовим стосовно другого. Так, несумісність обсягів понять «ті, хто дихає зябрами» і «людина» не свідчить про несумісність обсягів понять «ті, хто дихає зябрами» і «хребетні». Тому силогізм «Всі люди хребетні. Жодна людина не дихає зябрами. Отже, жоден з тих, хто дихає зябрами, не є хребетним» — неправильний. Формально-логічною причиною неправильності цього силогізму є те, що менший засновок у ньому — заперечне судження.
Висновок за третьою фігурою силогізму — завжди часткове судження, оскільки суб'єктом висновку тут є термін, який у меншому засновку (стверджувальному судженні) виконує роль предиката. Предикат стверджувального судження є нерозподіленим, а тому, ставши суб'єктом висновку, він зберігає свою нерозподіленість, про що свідчить відповідне кванторне слово «деякі».
Наприклад:
Всі поети — митці.
Деякі поети — наші сучасники.
Отже1, деякі наші сучасники — митці.
Правила четвертої фігури:
1) якщо більший засновок стверджувальний, то менший має бути.загальним;
2) якщо один із засновків заперечний, то більший засновок має бути загальним;
3) якщо менший засновок стверджувальний, то висновок є частковим.
Усі ці правила при бажанні можна обґрунтувати як теоретично, так і з допомогою графічних схем.
Необхідність першого правила четвертої фігури можна обґрунтувати так: припустимо, що більший засновок у силогізмі, побудованому за схемою четвертої фігури, стверджувальний, а менший — незагаль-ний (частковий). Тоді середній термін у ньому буде нерозподіленим в обох засновках (у більшому — як предикат стверджувального судження, а в меншому — як суб'єкт часткового), що суперечить правилу стосовно розподіленості середнього терміна. З хибності припущення випливає істинність першого правила стосовно четвертої фігури, оскільки ці думки (формулювання названого правила і припущення) є суперечними.
Обґрунтовуючи необхідність другого правила четвертої фігури силогізму, припустимо, що один засновок у ньому заперечний, а більший засновок — незагальний (частковий). У цьому випадку суб'єкт більшого засновку буде нерозподіленим (як суб'єкт часткового судження), а, потрапивши до висновку, він стане розподіленим (як предикат заперечного судження), що суперечить правилу стосовно крайнього терміна. До речі, заперечний характер висновку зумовлюється тією обставиною, що один із засновків силогізму був заперечним.
Із хибності вказаного припущення випливає висновок про необхідність другого правила четвертої фігури силогізму.
Третє правило четвертої фігури силогізму обґрунтовується так: якщо менший засновок стверджувальний, то менший термін є нерозподіленим (як предикат стверджувального судження). Потрапивши до висновку, він займе місце суб'єкта і має залишатися нерозподіленим. А таким він може бути лише в частковому судженні.
Різновиди фігур силогізму (модуси). Простий категоричний силогізм має 64 різновиди. Правда, лише за тієї умови, коли основою поділу є тільки кількісна і якісна специфіка складових силогізму — його засновків і висновків. Якщо ж за основу поділу взяти як згадані ознаки, так і місце середнього терміна, то одержимо 256 модифікацій силогізму. Скажімо, модус AAA по-різному виявляється в різних фігурах:
I фігура
Всі М є Р. Всі S є М, Всі S є Р.
II фігура1
Всі Р є М. Всі S еМ.
Всі S є Р.
III фігура
Всі М є Р. Всі М є S.
Всі S є Р.
IV фігура
Всі Р є М. Всі М є S.
Всі S є Р.
І це стосується кожного із 64 модусів. Тому, помноживши 64 на 4, ми одержимо 256 модусів, які різняться як за кількісною та якісною характеристиками засновків і висновків, так і за місцем у них середнього терміна.
Оскільки 53 модуси суперечать загальним правилам силогізму (52 — правилам засновків, а один — ІЕО — правилам термінів, незалежно від місця розташування середнього терміна в цьому силогізмі), то, помноживши 53 на 4, одержимо 212 неправильних модусів. Необхідно перевірити, чи не суперечать правилам відповідних фігур решта 44 модуси, які не суперечать загальним правилам силогізму. Іншими словами, одинадцять правильних модусів (AAA, ААІ, АЕЕ, All, АОО, ЕАЕ, ЕЮ, ЕАО, ОАО, АБО, ІАІ) треба перевірити на відповідність правилам кожної фігури.
Оскільки в цьому питанні багато плутанини, доведеться зупинитися на ньому детально. З'ясуємо, які з перелічених модусів, що не суперечать загальним правилам силогізму, не узгоджуються з правилами фігур (а відповідно — і правилами термінів).
Перша фігура. Модуси АЕЕ, АБО, АОО суперечать правилу, згідно з яким менший засновок повинен бути стверджувальним, і правилу крайнього терміна.
Модуси ОАО, ІАІ теж неправильні, бо більший засновок у них є частковим, що суперечить відповідному правилу першої фігури та спричиняє нерозподіленість середнього терміна і в більшому засновку (в меншому засновку в цих модусах середній термін є нерозподіленим як предикат стверджувальних суджень).
Модуси ААІ та ЕАО традиційно не включають до правильних за першою фігурою. Проте вони не суперечать вимогам логіки. Це можна продемонструвати на таких схемах:
1) VM є Р. 2) V М не є Р.
V S є М. V S є М.
V S є Р. V S не є Р.
Отже, З S є Р. Отже, З S не є Р.
На перший погляд здається, ніби модус ААІ суперечить першій схемі. Та нагадаймо залежність судження типу І від судження типу А за «логічним квадратом» (тобто за умови, що в них ідеться про одне і те саме, в один і той же час, в одному й тому ж відношенні): якщо судження А істинне, то й підпорядковане йому судження / є істинним. Звідси випливає, що висновок першого силогізму «V S є Р» можна замінити на «З S є Р». Звичайно, при цьому відбудеться певна втрата інформації, яка потенційно містилася в засновках і не потрапила до висновку. Проте немає ніяких підстав стверджувати, ніби одержана у висновку інформація («деякі S є Р») не випливає з необхідністю з відповідних засновків.
Це ж стосується й другої схеми: із судження, яке має форму «V S не є Р», з необхідністю випливає висновок — «З S не є Р». Висновки за названими модусами раціонально розпочинати словами: «Принаймні, деякі...».
Отже, перша фігура має шість правильних модусів: AAA, ЕАЕ, All, ЕЮ, ААІ та ЕАО.
Друга фігура. Модуси AAA, ААІ, All, IAI суперечать правилу, згідно з яким один із засновків повинен бути заперечним, і правилу середнього терміна, що, будучи предикатом стверджувальних суджень, буде нерозподіленим в обох засновках.
Модус ОАО — неправильний, оскільки в ньому порушено правило фігури, згідно з яким більший засновок повинен бути загальним (у частковому більшому засновку суб'єкт є нерозподіленим, і, переходячи до висновку на місце предиката заперечного судження, він стає розподіленим. А це суперечить правилу щодо крайнього терміна).
Модуси ЕАО та АЕО не суперечать вимогам другої фігури подібно до ситуації з модусами ААІ та ЕАО стосовно вимог першої фігури. І точно так само в них наявна втрата інформації при заміні загальнозаперечних висновків на частковозаперечні. Отже, друга фігура має такі правильні модуси: ЕАЕ, АОО, АЕЕ, ЕЮ та ЕАО, АЕО.
Третя фігура. Модуси АЕЕ, АЕО, АОО суперечать правилу, згідно з яким менший засновок має бути стверджувальним (інакше більший крайній термін, будучи нерозподіленим у засновку, займе місце предиката заперечного висновку і стане розподіленим, що суперечить правилу крайнього терміна). Неправильність модусів AAA та ЕАЕ пояснюється тим, що висновок за третьою фігурою завжди є частковим, оскільки суб'єктом висновку стає предикат стверджувального судження, яким завжди є менший засновок, згідно з відомим правилом третьої фігури. Останні шість модусів (ОАО, AM, All, IAI, EAO, ЕЮ) не суперечать правилам третьої фігури, тобто є правильними.
Четверта фігура. Модуси AAA, EAE суперечать правилу, згідно з яким, якщо менший засновок є стверджувальним, то висновок має бути частковим (бо суб'єктом висновку стане предикат стверджувального судження — меншого засновку).
Модуси All, AOO суперечать правилу, яке твердить: якщо більший засновок є стверджувальним, то менший має бути загальним (інакше середній термін буде нерозподіленим не лише в більшому засновку, а й у меншому). Модус ОАО суперечить правилу, згідно з яким, якщо один засновок є заперечним, то більший засновок повинен бути загальним. В іншому разі суб'єкт цього засновку буде нерозподіленим, а, зайнявши у висновку місце предиката заперечного судження, стане розподіленим. А це суперечить правилу щодо крайнього терміна. Модус АЕО в принципі не суперечить правилам четвертої фігури, але його не включають до правильних модусів четвертої фігури. Розглянемо схему силогізму, побудованого за цією формою:
V Р є М.
V М не є S.
V S не є Р.
Як видно з цієї схеми, модус АЕО (точніше, АЕЕ) не суперечить жодному правилу засновків; у ньому є три терміни; середній термін у меншому засновку розподілений; обидва крайні терміни розподілені; більший засновок — стверджувальний, тому менший є загальним; один із засновків — заперечний, тому більший засновок є загальним. Іншими словами, цей модус є правильним.
Щоправда, нас цікавить модус не АЕЕ, з. АЕО, проте вони відрізняються лише висновком. А згідно з правилами «логічного квадрата» з істинності судження Е (загальнозаперечне судження) випливає істинність підпорядкованого йому судження типу О, в якому йдеться про те саме, в один і той же час, в одному й тому ж відношенні. Тому з правильності модусу АЕЕ, побудованого за схемою четвертої фігури, випливає висновок про правильність модусу АЕО, побудованого за цією ж схемою.
Вважається, ніби до правильних модусів четвертої фігури належать лише ААІ, ЕАО, ІАІ, ЕЮ, АЕЕ. Але названі аргументи свідчать про те, що до цих модусів належить і АЕО.
Таким чином, правильних модусів є не 19, а 24і. Щоправда, п'ять з них називають ослабленими на тій підставі, що висновками в них є часткові судження, хоча з їх засновків випливають загальні висновки.
Іноді не розрізняють модуси простого категоричного силогізму, взяті безвідносно до місця розташування в цих силогізмах середнього терміна, і модуси як різновиди фігур силогізму. Так, модуси, що не суперечать загальним правилам силогізму (ЕАЕ, ЕЮ, ААІ, All, АЕЕ, ЕАО), взяті безвідносно до того, модифікаціями яких фігур вони є, не можна називати спеціальними іменами. Модус ЕАЕ першої фігури називають Celarent, а другої — Cesar є; модус ЕЮ першої фігури називають Ferio, другої — Festino, третьої — Ferison, четвертої — Fresison; модус All першої фігури називають Darii, третьої — Datisi; модус ААІ третьої фігури називають Darapti, четвертої — Bramantip; модус АЕЕ другої фігури називають Camestres, четвертої — Сате-nes; модус ЕАО третьої фігури називають Felapton, четвертої — Fesapo.
Скорочений силогізм (ентимема)
За словами Л. Фейербаха, дотепна манера писати, між іншим, полягає в тому, що висловлюється не все, оскільки передбачається наявність розуму і в читача. Звичайно, висловлюють «не все» й з інших міркувань, зокрема із софістичною метою, щоб легше було переконати опонента в істинності хибних думок чи хибності істинних.
Ентимема — скорочений силогізм, у якому одне із трьох суджень, що входять до його складу, не висловлюється, хоч і мається на увазі.
Оскільки в скорочених силогізмах важко виявити помилки, то доводиться їх (силогізми) відновлювати. Необхідною умовою відновлення силогізму є виявлення пропущеного судження. Відновлюючи скорочений силогізм, треба насамперед з'ясувати, що в ньому пропущено: один із засновків чи висновок.
Щоб розв'язати це завдання, треба враховувати характер логічного взаємовідношення наявних в ентиме-мах суджень, який часто виявляється у специфіці їх синтаксичного зв'язку. В ентимемі з пропущеним засновком одне судження виступає як логічна підстава, а друге — як його наслідок. Судження-підстава і є засновком, а судження-наслідок — висновком. Такий вид ентимеми (скороченого силогізму) виражається складнопідрядним, причинним реченням. Зовнішніми ознаками, які вказують, чим є те чи інше судження — засновком чи висновком, — виступають відповідні сполучники. Так, слова «отже»1, «тому», «таким чином» передують висновку, а засновок знаходиться після слів «бо», «оскільки», «тому що».
Якщо ж сполучних слів у скороченому силогізмі немає, доводиться звертатися до інших засобів, зокрема до перетворення наявних у цих силогізмах су-джень-речень на запитання. Ці запитання, як правило, починаються зі слова «чому?». Те з них, яке має відповідь у другому реченні, виражає висновок силогізму, а друге — засновок. Наприклад: «Сім» — просте число. А відомо, що всі прості числа діляться лише на одиницю і самі на себе». Перетворивши перше речення на запитання «Чому «сім» є простим числом?», сформулюємо відповідь: «Тому що прості числа діляться лише на одиницю і самі на себе». А речення «"Сім" — просте число» не може бути відповіддю на запитання «Чому всі прості числа діляться лише на одиницю і самі на себе?». Тому воно (перше речення) не може виражати засновок.
Якщо ж судження в ентимемі не залежні одне від одного і виражені складносурядним реченням, то в ній пропущено висновок.
З'ясувавши, яка частина силогізму пропущена, можна приступати До його відновлення. Найпростіше відновити силогізм, у якому пропущено висновок. Відомо, що висновок роблять із крайніх термінів. Причому менший термін стає суб'єктом висновку, а більший — предикатом. Так, висновком скороченого силогізму «Всі студенти нашої групи відвідують заняття, а Петренко — студент нашої групи» буде судження «Отже, Петренко відвідує заняття», оскільки «Петренко» — це менший термін, а «ті, хто відвідує заняття» — більший. За необхідності можна було б довести, що цей силогізм відповідає всім загальним і спеціальним правилам категоричного силогізму.
Дещо складніше відновити силогізм, у якому пропущено один із засновків. Знаючи, що суб'єкт висновку беруть з меншого засновку, а предикат висновку — з більшого, можна визначити, який засновок відсутній у тій чи іншій ентимемі. Скажімо, в ентимемі «Будь-яке поняття має зміст; отже, й поняття «абсолютно чорне тіло» має зміст» відсутній менший засновок. Висновком тут є судження «Отже, й поняття «абсолютно чорне тіло» має зміст, оскільки цьому судженню передує слово "отже"». До того ж тут простежується залежність цього судження від попереднього, яке на цій підставі може вважатися засновком, причому — більшим, бо предикат висновку «ті, що мають зміст» взятий саме з цього засновку. Суб'єктом відсутнього в цій ентимемі меншого засновку є поняття «абсолютно чорне тіло», оскільки воно займає місце суб'єкта висновку, а його беруть з меншого засновку. Предикатом меншого (тобто відсутнього в цій ентимемі) засновку виступає поняття, яке відсутнє у висновку і наявне в більшому засновку, тобто те, що виконує роль середнього терміна. Отже, відновлений силогізм набуває такого вигляду:
Будь-яке поняття має зміст.
«Абсолютно чорне тіло» — поняття.
Отже, й воно («абсолютно чорне тіло») має зміст.
Трапляються й вельми непрості ентимеми, відновленню яких передує уточнення змісту й обсягу термінів, наявних в ентимемі. Це, в першу чергу, стосується енти-мем, узятих з художніх текстів. Розглянемо та спробуємо відновити одну з них: «Чины людьми даются, а люди могут обмануться» (А. Грибоедов, «Горе от ума»)1.
На перший погляд здається, ніби до складу цього міркування входять такі терміни: «чины», «даваемое людьми (то, что дается людьми)», «люди» та «могущие обмануться (те, кто может обмануться)». Оскільки ж перелічених термінів тут чотири, напрошується такий висновок: або це міркування не є силогізмом (а якщо і є, то неправильним), або ми неправильно визначили терміни.
Якщо збагнути дух, а не букву слів О. Грибоедова і надати їм відповідної інтерпретації, то в результаті такого підходу одержимо міркування, в якому є тільки три терміни (реконструйоване міркування при цьому втратить художню виразність, але виграє в логічній визначеності). Ось це міркування (ентимема): «Давание» (присвоение) чинов осуществляется людьми, а осуществляемое людьми может быть ошибочным (результатом того, что они — люди — «обманулись»).
Відносна незалежність наведених суджень, синтаксична будова відповідного речення (це речення — складносурядне, як видно з оригіналу) свідчать, що в цій ентимемі пропущено висновок, а отже, наявні обидва засновки.
Відновити цей скорочений силогізм (ентимему) раціональніше у формі першої фігури, для цього варто поміняти місцями засновки. Тоді названа ентимема набуде такого вигляду:
«Осуществляемое людьми может быть ошибочным. Присвоение чинов осуществляется людьми».
Переконавшись у наявності середнього терміна («осуществляемое людьми»), можна зробити відповідний висновок. При цьому суб'єктом висновку стане менший термін, крайній термін меншого засновку («присвоение чинов»), а предикатом — більший термін, крайній термін більшого засновку — «то, что может быть ошибочным». У результаті таких дій ми одержимо повний силогізм:
«Осуществляемое людьми может быть ошибочным. Присвоение чинов осуществляется людьми.
Следовательно, присвоение чинов может быть ошибочным».
Цей силогізм суперечить як правилу середнього терміна, так і одному з правил першої фігури. Логічна недосконалість цього силогізму наочно виявляється і в його графічному зображенні (схема 25).

Уже три вказаних можливості зображення відношення обсягів термінів «присвоение чинов» і «могущее быть ошибочным» свідчать про неправильність цього силогізму. А таких можливостей є понад три. Та слід узяти до уваги, що в наведеному силогізмі немає категоричного наполягання на тому, що «присвоениечинов всегда ошибочно или ошибочно в данном случае». В ньому йдеться лише про те, що «присвоение чинов может быть ошибочным». А при графічному зображенні термінів силогізму трапляються випадки, коли обсяг терміна «присвоение чинов» збігається тією чи іншою мірою з обсягом терміна «могущее быть ошибочным». Це й зрозуміло. Дотепні вирази, як правило, далекі від категоричності: «Що, він має високий чин? Так чини ж людьми даються, а люди... самі знаєте...». До речі, засновки наведеного силогізму можна було не міняти місцями. Тоді відновлений силогізм набув би форми не першої, а четвертої фігури. Це відповідно вплинуло б на структуру силогізму, хоча зміст висловлювання автора загалом зберігся б.
Складні силогізми
Складний силогізм (полісилогізм) — силогізм, який утворюється з двох чи кількох простих так, що висновок попереднього силогізму (просилогізму) стає засновком наступного силогізму (епісилогізму).
Приклад полісилогізму:
Всі паралелограми — чотирикутники. Всі прямокутники — паралелограми.
Отже, всі прямокутники — чотирикутники.
1Нерозподіленість терміна «Могущее быть ошибочным» пояснюється не змістовно, а формально-логічно: це предикат стверджувального судження.
Всі квадрати — прямокутники. Отже, всі квадрати — чотирикутники.
Перші три судження у своєму взаємозв'язку становлять просилогізм. Використавши висновок просилогізму як засновок, додавши до нього ще один засновок («Всі квадрати — прямокутники») і одержавши висновок, ми тим самим побудували наступний простий силогізм — епісилогізм. Разом ці два прості силогізми становлять собою складний силогізм (полісилогізм).
В одних випадках вдаються до простих силогізмів, в інших — до складних. Це залежить від мети автора міркування. Спростовуючи твердження, ніби Кант — матеріаліст, оскільки визнає об'єктивність матеріального світу, можна використати простий силогізм:
Всі агностики — ідеалісти, а Кант — агностик.
Отже, він ідеаліст.
Коли ж ставлять перед собою іншу мету, скажімо, довести, що Кант визнавав творчий характер свідомості, то можуть вдатися до складного силогізму:
Всі агностики — ідеалісти, а Кант — агностик.
Всі ідеалісти визнають творчий характер свідомості. Кант — ідеаліст1.
Отже, Кант визнавав творчий характер свідомості.
Неважко уявити ситуацію, за якої автору цього міркування довелося б продовжити силогізм, наприклад за спроби довести, що Кант негативно ставився до матеріалістичного розуміння свідомості як відбиття дійсності.
Розрізняють два види полісилогізмів: прогресивний і регресивний. •
Прогресивний (поступальний) полісилогізм — полісилогізм, в якому висновок просилогізму стає більшим засновком епіси-логізму (при цьому міркування відбувається від більш загального до менш загального).
Прикладом прогресивного полісилогізму є наведене нами міркування про геометричні фігури.
Регресивний (зворотний) полісилогізм — полісилогізм, у якому висновок просилогізму стає меншим засновком епісилогізму, а думки рухаються від менш загального до більш загального.
Прикладом регресивного полісилогізму є наведене нами міркування про погляди Канта. Правда, щоб визнати, що в цьому (як і в інших подібних) міркуванні думки рухаються від менш загального до більш загального, треба брати до уваги не висновки (проміжні й кінцевий), а ступінь загальності тих положень, які використовуються як додаткові засновки.
Складноскорочені силогізми
Складні силогізми, як правило, застосовують теж у скороченій формі. Складноскорочених силогізмів є два види: сорит і епіхейрема.
Сорит (нагромаджений, купа) — складноскорочений силогізм, у якому не висловлюють, а тільки мають на увазі більші або менші засновки і всі висновки, крім останнього.
Розрізняють два види соритів: гокленієвський (прогресивний) і арістотелівський (регресивний).
Гокленієвський сорит — прогресивний полісилогізм, у якому пропущено всі більші засновки, крім першого, та всі висновки, крім останнього.
Традиційний приклад:
Тварина є субстанція. Чотириноге є тварина. Кінь є чотириноге. Буцефал є кінь. Буцефал є субстанція.
У гокленієвському сориті в першому засновку є термін, який відіграє роль предиката у висновку, а в останньому засновку — термін, який займає місце суб'єкта у висновку.
Якщо відновити цей складноскорочений силогізм, то ми одержимо цілу низку простих силогізмів, поєднаних в один полісилогізм:
1- Тварина є субстанція.
Чотириноге є тварина. Чотириноге є субстанція.
2. (Чотириноге є субстанція).
Кінь є чотириноге.
Кінь є субстанція.
3. (Кінь є субстанція).
Буцефал є кінь.
Буцефал є субстанція.
Арістотелівський сорит — регресивний полісилогізм, у якому пропущено всі менші засновки, крім першого, і всі висновки, крім останнього.
Традиційний приклад:
Буцефал є кінь. Кінь є чотириноге. Чотириноге є тварина. Тварина є субстанція. Буцефал є субстанція.
В арістотелівському сориті суб'єкт висновку беруть з першого засновку, а його предикат — з останнього.
Відновивши цю різновидність складноскороченого силогізму (арістотелівський сорит), одержимо такі складові полісилогізму:
1. Кінь є чотириноге.
Буцефал є кінь.
Буцефал є чотириноге.
2. Чотириноге є тварина.
(Буцефал є чотириноге).
Буцефал є тварина.
3. Тварина є субстанція.
(Буцефал є тварина).
Буцефал є субстанція.
Епіхейрема — складноскорочений силогізм, до складу якого входять два засновки, принаймні один з яких є ентимемою.
Наприклад:
Захист прав людини — благородна справа, оскільки він сприяє утвердженню демократії.
Відстоювання гласності є захистом прав людини, бо воно сприяє утвердженню демократії. Отже, відстоювання гласності — благородна справа.
Перший засновок цієї епіхейреми після її відновлення (розгортання в повний силогізм) набуде такого вигляду:
Все, що сприяє утвердженню демократії, є благородною справою.
Захист прав людини сприяє утвердженню демократії.
Отже, захист прав людини — благородна справа.
Другий засновок названої епіхейреми розгортається в такий повний силогізм:
Все, що сприяє утвердженню демократії, є захистом прав людини.
Відстоювання гласності сприяє утвердженню демократії.
Отже, відстоювання гласності є захистом прав людини.
Зв'язавши засновки-ентимеми, одержимо такий висновок: «Отже, відстоювання гласності — благородна справа». Правда, для того щоб такий висновок випливав з необхідністю, треба до більшого засновку додати слово «будь-який» — «Будь-який захист прав людини...», оскільки більший засновок, згідно з правилом першої фігури, повинен бути загальним.
Щоб переконатися в тому, що епіхейрема може складатися не лише з ентимем, а й, скажімо, з однієї ентимеми і звичайного простого судження-засновку, звернемося до попереднього прикладу, залишивши від другої ентимеми лише одне судження (висновок). Виявиться, що і в такому разі ми одержимо той самий висновок:
(Будь-який) захист прав людини — благородна справа, оскільки він сприяє утвердженню демократії. Відстоювання гласності є захистом прав людини.
Отже, відстоювання гласності — благородна справа.
Як бачимо, висновок в епіхейремі робиться з двох простих суджень, які у засновках-ентимемах виконують роль висновків:
Будь-який захист прав людини — благородна справа. Відстоювання гласності є захистом прав людини.
Отже, відстоювання гласності — благородна справа.
Решта ж суджень (і наявних, і пропущених) безпосередньо не включена в процес міркування. Виникає запитання: для чого вони? Яку роль вони відіграють? Можливо, вони зайві і лише обтяжують процес міркування? На нашу думку, вони потрібні лише для того, щоб надати достовірності тим судженням, які безпосередньо задіяні в цих міркуваннях. З іншого боку, кожний повний простий категоричний силогізм можна розглядати як епіхейрему, з котрої вилучили ті судження, що надавали достовірності судженням-зас-новкам. Вилучені судження можна розглядати як своєрідне «риштовання», необхідне на певний час у ході побудови міркувань із суджень, що потребують обґрунтування.
Якщо взяти до уваги все сказане, то епіхейрема, з одного боку, є скороченою формою умовиводу, а з іншого — чимось протилежним, «невиправдано» ускладненою формою простого категоричного силогізму.
Інші види опосередкованих дедуктивних умовиводів
Крім простих категоричних силогізмів, які складаються тільки з категоричних суджень, є й інші види опосередкованих дедуктивних умовиводів, до складу яких входять такі види суджень, як розділові та умовні.
Розділові умовиводи
Розділовий умовивід — опосередкований дедуктивний умовивід, до складу якого входять розділові судження, а перший засновок завжди є розділовим.
Залежно від того, якими судженнями (розділовими, категоричними чи умовними) є другий засновок і висновок розділових умовиводів, останні поділяють на суто розділові, розділово-категоричні та розділово-умовні.
Суто розділовий умовивід — умовивід, до складу якого входять тільки розділові судження.
Наприклад:
Всі паралелограми належать або до прямокутних,
або до непрямокутних.
Прямокутні паралелограми є або квадратами, або
неквадратами.
Отже, паралелограми належать або до прямокутних (квадратів чи неквадратів), або до непрямокутних.
Розділово-категоричний умовивід — розділовий умовивід, у якому другий засновок є категоричним, а висновок — категоричним або розділовим.
Приклади:
1. Кути бувають або гострими, або прямими, або тупими.
Цей кут прямий.
Отже, він не є ні гострим, ні тупим.
2. Кути бувають або гострими, або прямими, або тупими.
Цей кут не є ні гострим, ні тупим.
Отже, він є прямим.
Розділово-категоричний умовивід (як це видно з прикладів) має два модуси: стверджувально-заперечний (ponendo tollens) і заперечно-стверджувальний (tollendo ponens). Прикладом першого є умовивід 1, а прикладом другого — умовивід 2.
Схема модусів розділово-категоричного умовиводу:
Модус заперечення шля- Модус ствердження шляхом ствердження (modus хом заперечення (modus
Ponendo tollens): tollendo ponens):
А є або В, або С, або D А є або В, або С, або D
_ А є D А не є ні В, ні С
Отже, Л не є ні В, ні С Отже, А є D
Формула стверджувально-заперечного модусу:
S є або Р, або Р, або Р2 АуВуС
S є Р. А
Отже, S не є ні Р;, ні Р2' ВлС
Формула заперечно-стверджувального модусу:
S є або Р, або Рг або Р2 АуВуС
S не є ні Рг ні Р2 д"Ас~
Отже, S є Р А
Істинність висновку в розділово-категоричному умовиводі залежить, по-перше, від того, чи є перший засновок строго розділовим судженням, по-друге, чи вичерпують члени умовного (диз'юнктивного) судження всі можливості, про які в ньому йдеться.
Прикладом порушення першої вимоги щодо розділово-категоричних умовиводів може бути таке міркування:
Одержанню доброго урожаю картоплі сприяли травневі дощі або значна кількість органічних добрив.
Одержанню доброго урожаю картоплі сприяла значна кількість органічних добрив.
Отже, одержанню доброго урожаю картоплі не сприяли травневі дощі.
Перший засновок цього умовиводу не є строго розділовим судженням, тому наведене міркування неправильне.
Прикладом порушення другої вимоги щодо розділово-категоричних умовиводів може бути таке міркування:
Ця людина має або флегматичний, або сангвінічний, або холеричний темперамент. Стало відомо, що вона не флегматик і не сангвінік.
Отже, вона холерик.
Цей умовивід неправильний, оскільки члени першого (умовного) засновку не вичерпують усіх можливостей. Адже відомо, що, крім названих видів темпераменту, є ще меланхолічний. Правда, в цьому міркуванні припущено не логічної, а фактичної помилки. Нею в курсі логіки можна було б знехтувати, якби його складовою не. бул'а тема «Доведення і спростування», що виходить за межі формальної логіки, зокрема при формулюванні правила, згідно з яким аргументи повинні бути істинними. У нашому прикладі перший засновок є хибним. До того ж тут порушено правило поділу, згідно з яким права і ліва частини поділу повинні бути співмірними.
Оскільки з допомогою заперечно-стверджувального модусу встановлюється, що становить собою предмет, який нас цікавить, то з цієї причини названий модус має загалом більшу пізнавальну цінність, ніж стверджувально-заперечний, завдяки якому з'ясовується тільки те, які ознаки відсутні у відповідному предметі.
Розділово-умовний умовивід — розділовий умовивід, у якому один із засновків (перший) є розділовим судженням, а інші засновки (їх кількість дорівнює кількості членів розділового судження-засновку, тобто кількості диз'юнктів) — умовні судження.
Цей умовивід має два модуси: простий і складний. Формула простого модусу:
А є або С, або D. Якщо А є С, то А є К. Якщо А є D, то А є К.
Отже, А є К.
Приклад:
Будь-який ромб є або прямокутним, або непрямо-
кутним.
Якщо дана геометрична фігура — прямокутний ромб,
то її діагоналі взаємно перпендикулярні.
Якщо дана геометрична фігура — непрямокутний ромб,
то її діагоналі теж взаємно перпендикулярні.
Отже, діагоналі даної геометричної фігури взаємно перпендикулярні.
Формула складного модусу:
А є або С, або D. Якщо А є С, то А є К. Якщо А є D, то А є М.
Отже, А є або it", або М.
Приклад:
Для того щоб підготуватися до вступних іспитів, я повинен або самостійно працювати по 15—18 годин на добу, або найняти репетитора. Якщо я буду самостійно працювати по 15—18 годин на добу, то ризикую захворіти.
Якщо ж я найму репетитора, то витрачу всі свої грошові заощадження.
Отже, для того щоб підготуватися до вступних іспитів, я змушений або ризикувати своїм здоров'ям, або витратити всі свої грошові заощадження.
Умовні умовиводи
Умовний умовивід — опосередкований дедуктивний умовивід, до складу якого входять умовні судження; перший засновок у ньому завжди є умовним.
Залежно від того, якими судженнями (умовними, категоричними чи розділовими) є другий засновок і висновок, умовні судження поділяють на суто умовні, умовно-категоричні та умовно-розділові.
Суто умовний умовивід — умовний умовивід, в якому обидва засновки і висновок є умовними судженнями.
Формула умовного умовиводу:
Якщо А є С, то В є D. Якщо В є D, то К є М.
Отже, якщо А є С, то К є М.
Приклад:
Якщо виробництво товарів у державі є неефективним, то до її скарбниці не надходять податки. Якщо до скарбниці держави не надходять податки, то держава не має змоги виплачувати пенсії.
Отже, якщо виробництво товарів у державі є неефективним, то держава не має змоги виплачувати пенсії.
Залежність між судженнями в умовному умовиводі передається таким положенням: наслідок наслідку є наслідком підстави. Це положення називають аксіомою, умовного умовиводу.
Умовно-категоричний умовивід — умовний умовивід, у якому другий засновок і висновок є категоричними судженнями.
Існують два види умовно-категоричних умовиводів: у першому один із засновків є невиділяючим умовним судженням, а в другому — виділяючим судженням.
Перший вид умовно-категоричних умовиводів має два модуси: стверджувальний (modus ponens) і заперечний (modus tollens).
Схеми умовно-категоричного умовиводу першого виду
Стверджувальний модус Заперечний модус
1. Якщо А є С, то В є D. 1. Якщо А є С, то В є В.
А є С В не є В.
Отже, В є В. Отже, А не є С.
2. Якщо А є С, то В не є В. 2. Якщо А є С, то В не є В.
А є С BeD.
Отже, В не є В. Отже, А не є С.
3. Якщо А не є С, то В є В. 3. Якщо А не є С, то В є В.
А не є С. В не є В.
Отже, В є В. Отже, А є С.
4. Якщо А не є С, то В не є В. 4. Якщо А не є С, то В не є В.
А не є С. В є В.
Отже, В не є В. Отже, А є С
Позначивши прості судження, що входять до складу умовно-категоричного умовиводу, відповідними буквами і використавши логічні зв'язки (імплікацію і заперечення), одержимо такі його схеми:
Стверджувальний модус Заперечний модус
1.А->В;А 3. А-»В;А. 1. А-В;В 3. А-+В; В.
В ' В А ' А
2. Ач>В~; А 4. А->В; А 2. А->В; В. 4. Ач>~В; В
В"; В ' А А
У стверджувальному модусі умовно-категоричного умовиводу менший засновок стверджує підставу умовного судження, а висновок стверджує його наслідок. Тобто хід міркування тут відбувається за схемою: від істинності підстави до істинності наслідку.
У заперечному модусі умовно-категоричного умовиводу в меншому засновку заперечується наслідок, а тому у висновку заперечується підстава, тобто хід міркування тут відбувається за схемою: від хибності наслідку до хибності підстави.
Логічною основою умовно-категоричного умовиводу є закон достатньої підстави, який конкретизується в цьому умовиводі у формі такої аксіоми: ствердження підстави визначає ствердження наслідку, а заперечення наслідку визначає заперечення підстави.
В інакшому взаємозв'язку перебувають судження в умовно-категоричному умовиводі з виділяючим умовним засновком. У виділяючому умовному судженні те, про що йдеться в підставі, є необхідним і достатнім для існування того, про що йдеться в наслідку, і навпаки. Саме тому умовно-категоричні умовиводи з виділяючим умовним засновком мають не два, а чотири модуси. Цей умовивід дає такі достовірні висновки:
1) від ствердження підстави до ствердження наслідку;
2) від заперечення наслідку до заперечення підстави;
3) від заперечення підстави до заперечення наслідку;
4) від ствердження наслідку до ствердження під стави.
Наведемо приклади всіх наведених модусів умовно-категоричного умовиводу з виділяючим умовним засновком.
1. Від ствердження підстави до ствердження наслідку:
Число X ділиться на 3, якщо і тільки якщо сума
його цифр ділиться на 3.
Сума цифр числа X ділиться на 3.
Отже, число X ділиться на 3.
2. Від заперечення наслідку до заперечення підстави:
Число X ділиться на 3, якщо і тільки якщо сума його цифр ділиться на 3. Число X не ділиться на 3.
Отже, сума його цифр не ділиться на 3.
3. Від заперечення підстави до заперечення наслідку:
Число X ділиться на 3, якщо і тільки якщо сума
його цифр ділиться на 3.
Сума цифр числа X не ділиться на 3.
Отже, число X не ділиться на 3.
4. Від ствердження наслідку до ствердження підстави:
Число X ділиться на 3, якщо і тільки якщо сума його цифр ділиться на 3. Число X ділиться на 3. Отже, сума цифр цього числа ділиться на 3.
Умовно-розділовий (лематичний1) умовивід — умовний умовивід, до складу якого входять крім умовних ще й розділові (одне чи два) судження.
Залежно від кількості альтернатив у розділовому засновку лематичні умовиводи поділяють на дилеми (дві альтернативи), трилеми (три альтернативи) і по-лілеми (в яких є понад три альтернативи).
Найпоширенішою серед лем є дилема.
За якістю судження, що виконує роль висновку, дилеми поділяють на конструктивні та деструктивні, за структурою висновку (його складністю) — на прості і складні.
Конструктивна дилема — дилема, до висновку якої входять наслідки умовних засновків.
Деструктивна дилема —дилема, висновок якої складається із заперечення підстав умовних суджень-засновків.
Проста дилема —дилема, висновком якої є наслідок умовного судження-засновку або заперечення підстави умовного судження-засновку.
Складна дилема — дилема, висновком якої є або диз'юнкція наслідків умовних суджень-засновків, або диз'юнкція заперечення підстав умовних суджень-засновків.
Схема простої конструктивної дилеми:
Якщо А, то С. А-С; В->С; АуВ
Якщо В, то С. г
Або А, або В. Ь
Отже, С [(A->C)A(BC)A(AVB)]C.
Наприклад:
Якщо ґрунт систематично удобрюють, то він дає високий урожай.
Якщо ґрунт обробляють за новими технологіями, то він дає високий урожай.
Від грецького слова «lemma», що означає «припущення».
Ґрунт або систематично удобрюють, або обробляють за новими технологіями. Отже, він (ґрунт) дає високий урожай.
Схема складної конструктивної дилеми:
Якщо А, то В. А->В; С->Р; АуС
Якщо С, то D. R n
Або А, або С -
Отже, або В, або D. [(A4>B)A(C->D)A(AVC)]=(BVD).
Приклад:
Якщо літо дощове, то помідори чорніють. Якщо літо посушливе, то помідори засихають. Літо у нас буває або дощовим, або посушливим.
Отже, помідори або чорніють, або засихають.
Схема простої деструктивної дилеми:
Якщо А, то В. А->В; A-XJ; ВуС.
Якщо А, то С. j-
Або не-Д, або не-С _ _ _
Отже, не-А. [(A->B)A(A->C)A(BVP)]=A.
Приклад:
Якщо це слово — іменник, то воно означає назву предмета.
Якщо це слово — іменник, то воно відповідає на питання «хто?» або «що?».
Це слово не означає ні назви предмета, ні відповідає на питання «хто?» або «що?».
Отже, це слово не є іменником.
Схема складної деструктивної дилеми:
Якщо А, то В. А>В; C->D; BvD.
Якщо С, то D. 7 '
Або не-Д, або не-Д. — _ _
Отже, або не-А, або не-С. [(A-B)A(C4>D)A(BVDMAVC)].
Приклад:
Якщо він має художні здібності, то стане митцем. Якщо він має наукові здібності, то стане вченим. Або він не стане митцем, або він не стане вченим.
Отже, або він не має художніх здібностей, або він не має наукових здібностей.