ОСАРЛАНҒАН ТЕҢДӘЛДІКТІ ӨЛШЕМДЕРДІҢ АЙЫРМАСЫ АРҚЫЛЫ ДӘЛДІКТІ БАҒАЛАУ

Геодезияда біртектес көптеген шамаларды өлшеп және тексеріс үшін бір шаманы тек қана екі рет өлшеу көптеп кездеседі. п—2 өлшем санында әрбір өлшенген шаманың дәлдігін қанағаттандырарлықтай бағалау мүмкін емес. п=2 болған жағдайда Студенттің үлестіру заңы арқылы сенімді интервалды анықтау мүмкін емес.

Барлық біртектес шамалардың қосарланған өлшемдерінің айырмасы арқылы өлшемдер дәлдігін анықтауға бола ма деген сұрақ туындайды.

Қандай да бір Х₁ Х₂,..., Х_n біртектес шамалары эрқайсысы екі реттен өлшенген делік және өлшемдер нәтижелері мыналар болсын: Біріншісі үшін

Екіншісі үшін

Қатарларды пайдалана отырып косарланған өлшемдердің айырмасын анықтауға болады

 

 

және бұл айырмаларды дәлдікті бағалау үшін қолдануға болады.

Практикада әдетте екі жағдай кездеседі: барлық және өлшемдері теңдәлдікті болады және екінші жағдайда, жұптағы өлшемдер теңдәлдікті де, ал жұптар өзара теңдәлдікті емес. Бірінші жағдайды қарастырайық.

Барлық және шамалары теңдәлдікті болсын. Егерде өлшеу жұмыстары қателіксіз жүргізілген болса, теңдіктің оң жағындағы айырмасы нөлге тең болатыны белгілі. Сәйкесінше, әрбір айырма - сол айырманың шынайы қателігі болады және d айырмасының орташа квадраттық қателігі md үшін мынаны жазуға болады:

m =M(d²) (49)

Және осы сияқты

(50)

мұндағы n - барлық айырмалар саны.

Бір өлшемнің орташа квадраттық қателігін деп белгілеп, ереже бойынша теңдәлдікті бөлшектердің алгебралық қосындысының орташа квадраттық қателігі үшін мынаны жазамыз:

 

(51)

Сәйкесінше,

бұдан

(52)

Х_i шамаларының неғұрылым сенімді мәні ретінде әрбір екі рет өлшенген сол шамалардың сәйкесінше және өлшем нәтижелерінің арифметикалық ортасы ретінде есептейді, яғни,

болғандықтан, өлшенген шамалардың орташа квадраттық қателігі үшін формула негізінде мынаны жазамыз:

Егерде бір шаманың теңдәлдікті екі өлшем нәтижелері бар болса, олардың жүйелік қателіктері бір біріне жақын болады және мұндай нәтижелердің айырмаларының жүйелік әсерлері белгілі бір мөлшерде азая береді деуге болады. Сондықтан да қосарланған өлшемдер нәтижелерінің di айырмасының жүйелік қателіктерін қалдық жүйелік қателіктер деп атайды.

Қосарланған өлшемдердің n санының жеткілікті көп мөлшері болған кезде d_i айырмаларындағы қалдық жүйелік қателіктің орташа шамасын D_op кездейсоқ қателіктер негіздемесінде осы айырмалардың арифметикалық ортасы ретінде табады, яғни

 

(54)

∆_ор шамасын қосарланған өлшемдерді өңдеу кезінде й. айырмасынан азайтады да, £, шамаларын табады

(55)

Жекелеген сандардың олардың арифметикалық ортасынан ауытқу қасиетінен алатынымыз

[ε]=0 (56)

(54) теңдігі негізінде мынаған көз жеткізуге болады:

d, шамалары өлшемдерден алынғандыктан, ε, ауытқушылығын d: айырмаларының орташасынан ауытқуы ретінде карастыруға болады және Бессель формуласы бойынша былай жазуымызға болады:

(57)

 

Бір өлшемнің орташа квадраттық қателігі тл үшін бұдан мынаны аламыз

(58)

2 • • [е ] қосындысы мына формуламен тексеріледі:

(59)

IV БӨЛІМ

ЕҢ КІШІ КВАДРАТТАР ӘДІСІНІҢ НЕГІЗДЕРІ

Өлшемдер қателігінің теориясы бір шаманы көп рет өлшеудің немесе біртектес шамаларды өлшеудің, сондай-ақ теңдәлдікті емес өлшемдердің математикалық өңдеуінің ережелерін береді. Бұл ережелер бойынша қажетті шамалар өлшенген жағдайда өңдеудің есептері толығымен шешілген болар еді (мысалы, үшбұрышты шешу үшін бір қабырғасы мен екі бұрышын өлшеу жеткілікті).

Алайда, геодезиялық практикада, жеткілікті өлшемдермен қатар қажетті математикалық қатынастармен байланысты артық өлшемдерді де жүргізеді.

Артық өлшемдер анықталатын шамалардың анағүрылым дәлірек анықтауға және өлшенген шамалар арасындағы математикалық байланыстар негізінде элдеқайда сенімді баға беруге көмектеседі.

Сондай-ақ, алынған үйлеспеушіліктер өлшемнің сенімді тексерісіне әсер етеді және дөрекі өлшемдерді қысқартып тастауды қанағаттандырады. Математикалық өңдеуде байланыстарды міндетті түрде есепке алу керек.

Өлшенген шамаларды математикалық байланыстарды ескере отырып іздестіру теңестіру деп аталады.

Геодезиялық практикада көбінесе өлшенген шамалардың арасында белгілі бір байланыс бар екені және негізгі тапсырма сол байланысты анықтау болып табылатын жағдайлар көптеп кездеседі. -

Бұл есепті шешу үшін шынайы мәндері Х₁Х₂, Хn болатын п шамалары өлшенген делік. Өлшем нәтижелері х₁ х₂,..., х_n, сәйкесінше салмақтары Р₁ Р₂,

...,Р_n„

Есеп шарты бойынша өлшенген шамалар өзара байланысты

Бұл жүйеде өзара тәуелсіз теңдіктер ғана көрсетіледі. Олардың саны артық өлшемдер сандарына тең, мысалы, үшбұрышта 3 бұрышы ғана өлшенген, сәйкесінше «шартты» деп аталатын бір ғана теңдеу шығады

⁰

Бұдан шығатыны шартты теңдеу саны артық теңдеулер санына тең болатыны шығады, сәйкесінше:

r<п

мұндағы r - артық өлшемдер

n- барлық өлшемдер саны саны v - өзгерген шамаларға түзетпелер.

Теңестіруді жасаудың себебі мен шарты болып артық өлшемдердің бар болуы табылады. Өлшенген шамаларға түзетпелерді теңестіру және есептеудің негізгі принципі мына шарттардың орындалуы болып табылады

(60)

Бұл шарт ең кіші квадраттар принципі деп аталады да оның артықшылықтары мыналар болып табылады:

1) екінші дәрежесінің шартта тіп болуы үлкен түзетпелерді

шектейді

2) теңдәлдікті емес өлшемдерде болғандағы р_i салмақтары түзетпелерді дәлірек мәнге дейін кішірейтеді және керісінше. Көрсетілген екі қасиет те адамның бойы мен салмағын өлшеудегі регрессиялық модельде қолдануда келісіледі.

Немесе осы принципті негіздеу үшін үшбұрыштың бұрыштарын теңестіру мысалын қарастырайқ.

Барлық бұрыштар өлшенген және үйлеспеушілік мынаған тең болсын v=3\ Теңдәлдікті өлшемдерде өлшемдердің салмақтары өзара тең, сәйкесінше былай жазуға болады = тіп

 

5-сурет

Барлық бұрыштарға мынадай түзетпе еңгізіледі Vj=l'

[1²+1²+1²]=3

Ал енді бұл үйлеспеушілікті бір ғана бұрышқа бөлсек, онда мынау шығады

[3²+0²+0²]=9

Немесе бір бұрышка 2' және екіншісіне 1 Онда [2²+1²+0²]=5

Бұл ең кіші квадраттар принципінің артықшылығын дәлелдейді. Геодезиялық желілерді теңестірудің көптеген әсертері бар

1) Гаусстың екі топтық әдісі

2) Гаусстың жуықтау әдісі

3) Крюгер әдісі

4) Бельц әдісі және т.б.

Үлкен емес жүрістер жүйесін теңестіруде қолданылатын карапайым әдістер мыналар

1) Орташа салмақ әдісі (байлаулар әдісі)

2) В.Попов әдісі (қызыл сандар әдісі)

ПРОФЕССОР В.В.ПОПОВТЫҢ ПОЛИГОНДАР ӘДІСІ (ҚЫЗЫЛ САНДАР ӘДІСІ)

Профессор В.В.Поповтың әдісі еркін және еркін емес полигондар елілерін теңестіру үшін қолданылады.

Нивелирлеу үшін бұл әсер өте ыңғайлы болып келеді, яғни ол ең кіші задраттар әдісі беретін нәтижені береді. Теодолиттік жүрістер полигоны үшін бұл әдіс аса қолданыла бермейді, себебі бұл әдісте бұрыштар мен координаталар өсімшелерін жеке теңестіру жүргізіледі.

Профессор Поповтың әдісінің әртүрлі полигондарды теңестірудегі мысалдар арқылы маңыздылығын көрсетейік.

Нивелирлік желіні теңестіру А. Еркін желі. Үш полигоннан тұратын желіні қарастырайық. Желінің схемалық сызбасында теңестіруге, дәлдікті бағалауға және байлау нүктелерінің координаталар өсімшелерін анықтауға қажетті барлық мәліметтер көрсетілген. Ол әрбір звено бойынша өлшенген өсімшелер, звенолар ұзындығы мен әрбір звенодағы станциялар саны, бастапқы марқаның белгісі берілген.

Ең алдымен әрбір полигон бойынша сағат тілі бойымен полигонды айнала жүрген жүрістердегі биіктік өсімшелерінің үйлеспеушіліктерін есептеп, олардың абсолюттік мәні бойынша ең үлкен рүқсат етілген мәндерін анықтайды. Бұл есептеулердің нәтижелерін сол сызбада жазады.

Үйлеспеушіліктердің рұқсат етілген мәннен аспайтынына көз жеткізгеннен соң желіні теңестіруге кіріседі. Осы мақсатта желінің жаңа схемалық сызбасын салады да, сол сызбада звеноларға түзетпелерді еңгізеді (6-сурет).

 

6-сурет

 

7-сурет

Бұл сызбада әрбір полигонның ортасында кішкене тор салып, үстіне рим цифрымен полигон номерін жазады да, тордың ішіне үйлеспеушіліктерді жазады. Бұдан кейін әрбір полигонның сыртына оның әрбір звеносына кішкене тор салып, оның ішіне түзетпелерді жазады. Осылайша, желінің сыртқы звеноларында бір тордан, ал ішкі звеноларында екі тордан болады.

Полигонның әрбір звеносы үшін к_і; ку қызыл сандарын есептейді (і- полигонның номері, j оған жанасып жатқан полигон номері). Қызыл сан деп звенодағы станция санының барлық полигондағы станциялар санына қатынасын айтады (немесе звено ұзындығының полигон диаметріне катынасы).

Осы анықтамаға сәйкес

Әрбір полигон үшін қызыл сандардың қосындысы бірге тең болуы керек (мысалы, бірінші полигонда (6 суретке қараңыз) 0,46+0,23+0,31=1).

Осылайша алынған сандарды полигоннан тыс оның сәйкесінше звеноларының жанына қызыл тұспен жазып қояды. Содан кейін үйлеспеушіліктерді сәйкесінше полигондардың қызыл сандарына пропорционал етіп үлестіреді. Бұл үлестіруді тікелей сызбада жасайды, бұл кезде кезекті жуықтау әдісін қолданады (7 сурет).

Бірінші полигонның (I) үйлеспеушілігін оның қызыл сандарына көбейте отырып, қосындылары үлестірілген үйлеспеушілікке тең болуы тиіс (-25-12-17=-54) шыққан көбейтінділерді осы полигонның сәйкесінше торларына жазады.

II полигонға көшеді. Мұнда үйлеспеушілік мәні I поигоннан алынған түзетпелер мәніне өзгереді (+38-12=+26). Есептелген түзетпенің астын сызып қояды. Жаңа үйлеспеушілікті осы полигонның қызыл сандарына (0,26;0,46:0,28) пропорционал етіп бөледі де, қосындылары үлестірілген үйлеспеушілікке тең болуы тиіс бөлінділерді (+7,+12,+7) полигонның сыртындағы торларға сәйкесінше кызыл сандарының астына жазады. Үлестірілген үйлеспеушіліктің астын сызады.

III полигонда жаңа үйлеспеушілік болады, олар I және II полигондардың бастапқы үйлеспеушіліктері мен түзетпелерінің қосындысына тең (+36- 17+7=+26). Ескерілген түзетпелердің астын сызады. Алынған үйлеспеушілікті бастапқы екі полигондағыдай үлестіреді де, астын сызып қояды.

Барлық полигондарда үйлеспеушіліктерді үлестіріп болғаннан кейін қайтадан I полигонға келеміз. Мұнда барлық іргелес жатқан полигондардан шыққан жаңа үйлеспеушілік пайда болады. Бұл үйлеспеушілік те алғашқыда үлестірілген сияқты үлестіріледі.

Осылайша үлестірудің бірінші сатысы бітеді, сонан соң екінші саты, үшінші саты жүргізіле береді. Ең соңында үйлеспеушілік нөлге тең болу керек.

Үлестіру кезінде бір мәнді қайталай қолданып қоймас үшін қолданылған мәнді бірден астын сызып қою керек екенін ұмытау керек.

Барлық үйлеспеушіліктер үлестіріліп боолғаннан кейін барлық барлық звенолардағы кестелердің ішіндегі сандардың қосындысын есептейді (Sj және ^sij)-

Бұл қосындылардың дүрыстығын мына формулалармен тексереді.

 

Мұндағы [s], - і-інші полигонның сыртқы кестелеріндегі барлық сандар қосындыларының қосындысы (полигон үшін 1:30'0,46=-13,8; -30-0,23=-6,9; - 30-0,31=-9,3).

Бұл тексеріс кезінде айырмашылық соңғы қосынды таңбасының 1,5 бірлігінен аспауы керек.

Сонан соң звено бағыттарының полигонды айналу бағытымен сәйкес келетін жерін ескере отырып әрбір полигонның звеноларына түзетпелер еңгізеді. Егер қарастырылып отырған звено бойынша і-інші полигонының іргелес жатқаны болмаса, онда звено үшін түзетпе v_iосы звеноның сырткы торындағы сандарының s_; кері таңбалы мәніне тең болады; егер де іргелес полигон бар болса, онда звеноға түзетпе v_i осы звеноның сыртқы және ішкі- кестелерінң сандарының қосындыларының айырмасына (s_i – s_ij) тең.

Басқаша айтқанда, звеноларға түзетпе еңгізу үшін полигонның сыртқы қосындыларын полигонның ішіне карама карсы таңбамен кіргізіп оларды сол звеноларға ішкі қосындылар нөлге тең дей отырып қосады. Бұл ережені формула түрінде былай көрсетуге болады.

 

8-сурет

Барлық полигондарда (қосымшаларда да) еркін жүрісті теңестіруде көрсетілген полигондарды айнала жүру ережелерін сақтай отырып үйлеспеушіліктерді есептейді(8 сурет).

F_Һ = [Һ]-{Н_К-Н_H) (65)

мұндағы [һ] - жүріс бойынша биіктік өсімшелерінің қосындысы; Н_к және Н_н бастапқы және соңғы пунктердің биіктігі.

Үйлеспеушіліктердің рұксат етілген мәннен аспайтынына көз жеткізген соң желіні еркін жүрісті деп санап, ондағы фиктивті звенолардың ұзындығын нөлге тең дей отырып желіні теңестіруге кіріседі. Осыған сәйкес фиктивті х звеноларда қызыл сандар болмайды және сәйкесінше түзетпелер мен кестелер болмайды.

ӨЛШЕМДЕР НӘТИЖЕЛЕРІНІҢ ДӘЛДІКТЕРІН ҚАТЕЛІКТЕР БОЙЫНША БАҒАЛАУ

Бұрышты өлшегендегі дәлдікті бағалау үшін T15 теодолитімен 8 рет өлшем жүргізілген (12-кестеге караңыз). Дәл сол бұрыш жоғары дәлдікті теодолитпен өлшеніп, 124°18'02"= 124°18,03' нәтижесі алынған. Осы нәтижені а бұрышының нақты мәні деп есептеп, зерттеліп отырған теодолиттің көмегімен алынған нәтижелердің орташа квадраттық қателігі мен шектік қателіктерін есептеу керек.

12-кесте Өлшем № Өлшем нәтижелері, l қателіктер 2   124°17,8' -23' 0,05   18,4 +37     18,5 +47     18,a -03     17,9 -13     17,7 -33     18,1 +07     18,0 -03         0,54

 

 

Дәл осы есепті дәл сол бұрыш басқа 30" дәлдікті теодолитпен өлшеген және мына нәтижелер алынған жағдайда есептеп шығару керек: 124°18,2'; 17,7'; 18,0'; 18,5'; 18,4'; 17,7'; 17,8'; 18,1' (екінші және келесі нәтижелерде градус мәні қала береді).

a. Сегіз ушбұрыштың бұрыштары өлшенген және мынадай үйлеспеушіліктер алынған: +0,2'; +0,4'; -1,7'; +0,8'; -0,6'; +1,4'; -0,3'; -0,1'; -0,2'; 0,0'.

Үйлеспеушіліктер үшбұрыштар бұрыштырының қосындысының кездейсок қателігі есебінен болды деп есептей отырып, оның орташа квадраттық және шектік қателігін есептеу керек.

а есебінің шығарылу жолын қарастырып, b есебін шығару керек. Бұл есептерді шешкен кезде кестеден sine?- мәндерін логарифмдік сызғыштан алғандағыдан қарағанда көбірек таңбасымен алу керектігін ескеру қажет. Мысалы, сызғыш бойынша алынған мән sina=0,1743, ал кестелер бойынша бұл sina=0,17451. А мәндерін соңғы разряд бірліктерінде жазу керек, яғни біздің мысалда ол мынаған тең: А=-0,00021.

Логарифмдік сызғыштан 8 /10° аралықтарында 10 алынған нәтиже мән бойынша a бұрышы үшін sina мәнінің орташа квадраттық қателігі мен шектік қателігін анықтау керек.

Шешуі. Бұл есепті шешу үшін берілген аралықтан a бұрышының 10 интервалын аламыз. Олар үшін алдымен логарифмдік сызғыш бойынша, сосын тригонометриялық функциялардың натурал мәндері кестесі бойынша sina мәндерін табамыз. Кестеден алынған мәндерді логарифмдік сызғыштан алынған мәннен бір таңбаға артығырақ аламыз. Кестеден алынған мәндерді дәл мән ретінде алып, алынған аралықта логарифмдік сызғыш бойынша алынған sina мәнінің орташа квадраттық және шектік қателіктерін анықтаймыз. Алынған қателіктерді сызғыш бойынша алынған соңғы ондық белгіге дейін жазамыз. Есептің шешуін 13-кестеге жазамыз.

13-кесте № п/п а мәндері Sin a мәндері Д=/-а 4-ші ондық белгісінде 2 Сызғыш бойынша 1 Кесте бойынша, а   8°07' 0,1411 0,14119 -0,9 0,8         -0,3 О,1         +0,8 0,6         -1,1 1,2         +0,5 0,2   9° 14'     -1,6 2,6         -1.1 1,2         +0,9 0,8         +0,6 0,4

 

+0,1

0,0

 

ӨЛШЕНГЕН ШАМАЛАР ФУНКЦИЯЛАРЫНЫҢ ДӘЛДІГІН БАҒАЛАУ

Дәлдікті бағалау дегеніміз - орташа квадраттық қателік шамасын анықтау деген сөз. Алдыңғы уақытта ыңғайлы болу үшін «орташа квадраттық қателік» деген сөзді қыскаша түрде ОКҚ деп белгілеп алайық.

Бұл сүракты қарасытырып болғаннан кейін төмендегілерді жетілдіру керек.

Қарастырылып отырған сүраққа байланысты есептерді мына кезектілікпен шешу керек. Алдымен өлшенген шамалар мен тұрақты мэліметтер кіретін ізделінді функция өрнегін эріп түрінде жазып алу керек. Сонан соң осы типті оқулықтан осындай түрдегі функция мен ОКҚ үшін формуланы тауып алды. ОКҚ табылған формуласын осы есепке сай белгілеулермен жазу керек. Егерде формулада жеке туындылар бар болса, онда оларды жеке түрде эріптік түрде белгілеп алып, сонан соң ОКҚ формуласына еңгізеді. Осыдан кейін әріптерді сандармен алмастырып, есептеуді жүргізеді.

Бұл есептерде сызықтық функциялар катысады, сондықтан да оларды шешкен кезде жеке туындыларды есептеудің қажеттілігі болмайды. Осы параграфтың келесі есептерінде функцияның дәлдігін анықтау керек болады.

Геометриялық нивелирлеудің бір станциясынан түрып рейканың қара жақтарынан алынған өсімеше мәндерінің ОКҚ анықтау керек, егер рейка бойынша есептің ОКҚ m 1 мм болса.

Шешуі. Өсімшелер мына формуламен есептеледі

Һ=П]-П₂

мұндағы Пі және п₂ - сәйкесінше артқы және алдыңғы рейкалар бойынша алынған есептер.

Бұл формулада өсімше һ n_i және n₂ есептерінің функциясы болып табылады. Бұл функция теңдәлдікті аргументтерге ие u=±xi±x₂±...±x_n±c функциясына үқсас болғандықтан, ОКҚ бұл функция үшін мына формуламен анықталады: m_h=m₀ .

Нәтижесінде мынаны аламыз

m_h=l =1,4 мм.

Нивелирлеудің станциясындағы рейканың қара және қызыл жақтары бойынша алынған мәндер арқылы алынған өсімшелердің орташасының ОКҚ анықтау керек.

Бұрыштың ОКҚ есептеу керек. Бұрыш толық әсерпен өлшенген және шкала бойынша есеп алу қателіктері ғана жіберілген. Шкала бойынша есеп алу қателігі 0,1 (есеп алу жүйесі - біржақты).

 

 

 

Алынған түзетпелерді сәйкесінше звенолардың жанына жақшаға жазады (7-суретті қараңыз). Желінің ішкі звеноларында түзетпелерді звеноның екі жағына да жазады (осы звеноның сәйкесінше іргелес жатқан полигондарына).

Әрбір полигонда түзетпелердің косындысы полигон үйлеспеушілігің кері таңбасымен алынған мәніне тең болуы керек [мысалы, I полигон үшін: +14+18+22=-(-54)]

11-кесте Нүктелердің Звенолар Звеноларға Түзетілген Биіктіктер номерлері бойынша өлшенген өсімшелер түзетпелер өсімшелер   М.4       126,387   -9,768 +14 -9,754   Pen.13       116,633   +15,327 +18 +15,345   Pen.12       116,633   -4,081 +1 -4,080   Pen. 11       127,898   -1,496 -15 -1,511   М.4       126,387   -18 + 18

 

Өлшенген биіктік өсімшелеріне түзетпелерді еңгізе отырып олардың түзетілген (теңестірілген) мәндерін алып, байлау нүктелерінің белгілерін алады (11-кесте).

Звенолардағы түзетпелер бойынша 1 км қашықтықтық нивелирлік жүріс жолының орташа квадраттық қателігін анықтауға болады. Формула бойынша

 

(64)

 

Мұндағы р_i = , L _i, —звено ұзындығы, r - полигондар саны.

Дәлдікті бағалау полигондар саны r өте аз болмаған жағдайда ғана сенімді болады.

Егер де бір звеноның ішінде орналасқан нүктелердің биіктіктерін есептеп шығару керек болса, осы звеңо ішінде жалғыз жүрісті теңестіру ережесі бойынша теңестіру жұмысын жүргізеді.

Б. Еркін емес жүріс. Еркін емес жүрісті бастапкы пунктерді қосатын еркін жүрістерді теңестіру әсерімен теңестіреді. Нәтижесінде қосымша полигондар алады. Қосымша полигондарды бастапқы пунктерден бір санға кем етіп теңестіру үшін алады. Фиктивті звеноларды бар звеноларды қиып өтпейтіндей етіп және қосымша полигондар неғұрылым аз звеноларға ие болатында етіп орнатады.

M_f = 8,5".