Ателік түрлері
1. Дөрекі қателіктер - бақылаушының қателіктеріне, құралдың дұрыс еместігі немесе ауа райының күрт өзгеруіне байланысты пайда болатын қателіктер. Бұларды қайта өлшемдер алу арқылы жояды.
2. Жүйелік қателіктер бірдей мәнді шамаларды өлшеген кезде пайда болады және бір таңбалы болады.
3. Кездейсоқ қателіктер - бұл әрбір өлшем жүргізген сайын мөлшері мен әсер етуі белгісіз болып қала беретін қателіктер. Кездейсоқ қателіктің мәні мен таңбасын алдын ала анықтау мүмкін емес. Кездейсоқ қателіктердің пайда болу көздері жүйелік қателіктердікінен қарағанда көп болады.
Жүйелік қателіктерге мысалдар
1. Түзу ұзындығын өлшеген кезде створлық болмағандықтан қателіктер
2. Компарирлеуде жіберілетін қателіктер
3. Штрихтарды салудағы қателіктер
4. Температураға байланысты қателіктер, және т.б.
Кездейсоқ қателіктерге мысал ретінде мыналарды келтіруге болады:
1. Бұрыштарды өлшеудегі қателіктер
2. Визирлеудегі қателік
3. Лимбте штрих салуда жіберілетін қателіктер
4. Есептеулер жүргізгенде дөңгелектеу әсерінен болатын қателіктер.
ЛШЕМДЕР ДӘЛДІГІНІҢ КРИТЕРИЙЛЕРІ
Қандай да бір шаманың жекелеген өлшемінің дәлдігін анықтау үшін бұл шаманы өлшеуде жіберілуі мүмкін шынайы мәннен ауытқушылықтарды алдын ала қарастыру керек.
Бұл ауытқушылықтарды екі шамада көрсетуге болады: өлшенген мәннің математикалық күтімнен және шынайы мәннен ауытқушылығы.
Бірінші ауытқушылық - кездейсоқ қателіктердің және екіншісі - жүйелік қателіктердің әсерінен болады.
Бірдей шарттарда орындалған өлшем нәтижелері қалыпты үлестіру заңына бағынатыны белгілі. Математикалық күтімге келетін болсақ, шарттың өзгермеген жағдайында ол да өзгеріссіз қалады, яғни тұрақты болып қалады. Сондықтан да оның шынайы мәннен ауытқуы да тұрақты болып қалып отырады және бұл ауытқушылықтар жүйелік қателіктер есебінен болып отырады.
Сондықтан да жүйелік қателіктердің әсерін азайту үшін өлшемдер жүргізу кезіндегі шарттарды өзгерту керек: әртүрлі құралдармен өлшеу, әртүрлі жағдайларда өлшеу, әртүрлі бақылаушының өлшеуі, т.с.с.
Математикалық күтімнің шынайы мәннен ауытқу заңдылығын анықтау үшін және осы ауытқушылықтың өлшем дәлдігіне әсерін азайту үшін осы ауытқушылықтардың пайда болуына себепкер болған факторлардың қасиеттерін білу керек.
ӨЛШЕМНІҢ ОРТАША КВАТРАТТЫҚ ҚАТЕЛІГІ
Мәндер енгізейік:
Ө - X өлшенетін шаманың шынайы мәнінен бір өлшенген шаманың ауытқуын сипаттайтын кездейсоқ шама.
Xі - өлшемдер нәтижелері.
δ - өлшем нәтижесінің математикалық күтімнен ауытқушылығын сипаттайтын кездейсоқ шама.
А- математикалық күтімнің шынайы мәннен ауытқушылығын сипаттайтын кездейсоқ шама.
онда Ө = δ + Δ
негізгі дәлдік формуласы ретінде геодезияда орташа квадраттық қателік саналады
mδ - кездейсоқ қетліктер mΔ - жүйелік қателіктер
mΔ шамасының жуық мәнін мына формуламен алуға болады:
тд= (Бессель формуласы) (14)
мұндағы: хі - өлшемдердің жекелеген мәндері
Егер де шынайы мән белгілі болса, онда Гаусс формуласымен есептеледі:
(15)
ОРТАША ЖӘНЕ ЫҚТИМАЛ ҚАТЕЛІКТЕР
ЖӘНЕ ОЛАРДЫҢ ОРТАША КВАДРАТТЫҚ ҚАТЕЛІКПЕН
БАЙЛАНЫСТАРЫ
Өлшемдер шамасына кездейсоқ қателіктер әсерін сипаттайтын 
шамасынан бөлек кейде алдын ала бағалау үшін орташа қателік пен ықтимал қателікті де қолданады.
v=0,80 m - орташа қателік
r=0,67 m - ықтимал қателік
Кейде бұл қателіктерді былай есептейді:
(16)
мұндағы: Δ- кездейсоқ қателіктер
n- өлшемдер саны
Ықтимал қателікті былай алуға болады: кездейсоқ қателіктерді абсолюттік шамасының 
өсуі бойынша орналастырсақ, онда осы катардың орта тұсында орналасқан шама ықтимал қателікке жақын шама болып табылады.
Бұл сипаттар арасындағы қатынастар теориялық болып қана қала береді. Бұл теңдіктерді бақылау дәрежесі өлшемдер санына тәуелді және шынайы үлестірудің қалыптымен сәйкес келуінің бір белгісі болып табылады. Осылайша классикалық мысал ретінде мына сандардың реттілігін қарастыруға болады: 1,2,3,4,5, мұндағы барлық сипаттары өзара тең болады.
АБСОЛЮТТІК ЖӘНЕ САЛЫСТЫРМАЛЫ ҚАТЕЛІКТЕР
Абсолюттік қателік деп орташа квадраттық қателікті 
, орташа v, ықтимал r және шынайы Δ қателіктерді айтады.
Салыстырмалы қателік деп абсолюттік қателік шамасының өлшенген шаманың алынған мәніне қатынасын айтады, оны алымы бірге тең бөлшек ретінде көрсетеді.
х - қандай да бір шаманың алынған мәні болсын.
Онда
-орташа квадраттық салыстырмалы қателік
- орташа салыстырмалы қателік
- ықтимал салыстырмалы қателік
шынайы салыстырмалы қателік
Сызықтық өлшемдердің дәлдігін бағалау салыстырмалы қателік бойынша, ал бұрыштық және биіктік өлшем дәлдіктерін бағалау абсолюттік қателік бойынша жүргізіледі.
Мысал 
Сәйкесінше екінші сызық дәлірек өлшенген
Β1=40°10', mβ1=±30" β2=50°10', mβ2=±40" Абсолюттік мәні бойынша бірінші бұрыш дәлірек өлшенген. Өлшенген бұрыш мәні өлшем дәлдігіне әсер етпейді.
Орташа квадраттық қателіктің өзінің дәлдігі мына формуламен есептеледі:
(17)
ӨЛШЕМДЕР ҚАТАРЫН ЗЕРТТЕУ
Қандай да болмасын шарттарды орындалған өлшемдер дәлдігі мен олардың заңдылықтарын, үлестіру заңдылықтарын анықтау үшін өлшемдер қатарын зертеу жүргізіледі.
Зерттелетін қатар бір ғана шаманың бірнеше рет өлшенген мәні болуы немесе біртекті бірнеше шаманың бірдей шарттарда алынған өлшем нәтижелері де болуы мүмкін, мысалы теодолит жүрісінің, нивелирлік жүрістің жүрістер арасының мәндері.
Өлшемдер қатарын зерттеудің негізгі мәселесі дөрекі өлшемдерді қысқартып тастау, бір өлшемнің дәлдігі мен жүйелік қателіктердің сипаттамаларын анықтау, қалыпты заңмен үйлесу заңдылықтарын анықтау болып табылады
Егер өлшенген шамалардың шынайы мәндері белгілі болса, онда шынайы қателіктер қатарын зерттеу жүргізіледі.
Дөрекі өлшемдерді анықтау үшін бір өлшемнің орташа квадраттық қателігін m анықтайды
мұндағы mΔ- кездейсоқ қателіктер
mδ- жүйелік қателіктер
1. 
i. шынайы қателіктер қатарынан орташа 
мәнін есептеп шығарады
ауытқушылық q= 
және де q= 
мұндағы X - өлшемдер нәтижелері, ал 
X - шынайы мән деп алып, мынаны аламыз
2.Орташа квадраттық қателіктің жуық мәнін есептейді
3. «шектік ауытқуды» аламыз, яғни
qшек=3m
Дөрекі өлшемдерді қысқартып тастағаннан кейін зерттеуді жалғастырады.
Шынайы қателікті анықтау үшін әртүрлі жағдайларда жасалынған неғұрылым саны жағынан көп өлшемдер нәтижелері керек. Ары карай бұларды олардың жасалған кешеніне байланысты топтап бөліп, 
. - орташа квадраттық қателіктерін анықтайды.
мұндағы k - топтар саны.
Зерттеуге мысал ретінде жобалық өлшемдерді шартты түрде шынайы мәндері деп және өлшенген мәндері мен жобалық мәндерінің айырмасын шынайы қателік деп алатын қандай да бөлшекті даярлауды айтуға болады.
Бұл өлшемді көп рет өлшеп, орташа өлшемді алуға болады. Сонан соң жоғарыда көрсетілген формулалар бойынша зерттеу жүргізіледі.
2 –кесте
| Жүріс № | Жүріс ұзындығы L, км | Келтірілген
үйлеспеушілік
 ,мм
| Жүріс № | Жүріс ұзындығы L, км | Келтірілген
үилеспеушілік
 ,мм
|
| 22,3 | +10,36 | 62,3 | +19,01 | ||
| 33,8 | +3,10 | 33,2 | +0,17 | ||
| 14,0 | -2,14 | 6,5 | -8,66 | ||
| 42,8 | 0,00 | 29,3 | +19,40 | ||
| 29,7 | -5,11 | 20,6 | -14,75 | ||
| 35,6 | +11,56 | 30,6 | -8,50 | ||
| 9,8 | -7,03 | 28,6 | +19,44 | ||
| 43,9 | -9,50 | 42,0 | -8,95 | ||
| 19,1 | +0,23 | 46,6 | -6,88 | ||
| 10,5 | +19,91 | 70,0 | +1,91 | ||
| 20,0 | +10,74 | 13,6 | +10,57 | ||
| 22,1 | -11,70 | 36,9 | +6,42 | ||
| 21,7 | +1,07 | 29,8 | +4,94 | ||
| 46,6 | -8,20 | 38,3 | -10,18 | ||
| 14,6 | -0,79 | 61,0 | +8,45 | ||
| 34,2 | + 1,02 | 34,0 | -1,03 | ||
| 25,8 | + 10,83 | 18,3 | -4,91 | ||
| 16,4 | -5,29 | 31,7 | -14,39 | ||
| 29,8 | +3,84 | 40,6 | +10,06 | ||
| 27,9 | +2,46 | 23,5 | -0,21 | ||
| 20,9 | +5,67 | 23,9 | -5,32 | ||
| 21,3 | -2,60 | 32,8 | -5,24 | ||
| 14,0 | -4,80 | 13,1 | +9,67 | ||
| 22,9 | -14,85 | 21,3 | -4,76 | ||
| 21,1 | + 10,85 | 36,5 | +7,78 | ||
| 15,8 | -13,84 | 35,8 | +4,01 | ||
| 36,7 | +19,28 | 17,6 | -7,86 | ||
| 29,3 | -18,80 | 28,7 | +0,56 | ||
| 48,2 | +14,10 | 19,8 | +8,31 | ||
| 57,0 | -15,60 | 26,4 | -3,89 | ||
| 41,1 | +2,33 | 17,2 | -4,33 | ||
| 29,5 | -3,68 | 29,3 | +9,61 | ||
| 53,9 | +4,50 | 53,3 | -1,51 | ||
| 50,7 | +3,37 | 31,3 | +1,61 | ||
| 56,4 | -3,59 | 20,0 | -3,80 | ||
| 12,6 | +9,54 | 15,0 | -1,03 | ||
| 17,6 | +9,28 | 37,3 | -5,89 | ||
| 25,9 | +7,57 | 30,4 | -4,36 | ||
| 24,2 | -6,89 | 41,3 | -1,09 | ||
| 33,8 | -6,87 | 42,4 | +14,28 | ||
| 22,5 | -4,42 | 23,7 | -6,78 | ||
| 22,8 | 0,0 | 20,0 | +11,41 | ||
| 15,9 | -19,04 | 48,8 | +11,44 | ||
| 31,0 | -12,02 | 24,9 | -15,23 | ||
| 15,7 | -4,29 | 53,3 | -4,38 |
| 33.8 | +3.10 | 33.2 | +0.17 | |||
| 20,2 | -214 | 6.5 | -8.66 | |||
| 14.0 | 0.00 | 29.3 | +19.40 | |||
| 42.8 | -5.11 | 20.6 | -14.75 | |||
| 35.6 | +11.56 | 30.6 | -8.50 | |||
| 9.8 | -7.03 | 28.6 | +19.44 | |||
| 43.9 | -9.50 | 42.0 | -8.95 | |||
| 19.1 | +0.23 | 46.6 | -6.88 | |||
| 10.5 | +19.91 | 70.0 | +1.91 | |||
| 21.3 | -9,74 | 37,9 | +5,36 | |||
| 20.2 | +8,02 | 41,1 | -3,59 | |||
| 18.7 | +0,69 | 32,9 | +11,85 | |||
| 44.7 | +6,13 | 32,5 | -6,32 | |||
| 21.0 | -11,13 | 31,5 | +5,88 | |||
| 15.6 | -12,91 | 20,7 | +15,60 | |||
| 21.8 | -5,57 | 24,0 | +2,24 | |||
мұндағы k - топтар саны.
Мысал. IV класты нивелирлеудің жүрістерінің 106 үйлеспеушілігі берілген. Үйлеспеушіліктер қатарының қалыпты үлестіруге зерттеуін жүргізу керек. 2-кесте.
Зерттеулер:
1. Екінші класты полигондарға жатуына байланысты барлық үйлеспеушіліктер алты топқа бөлінді (I топ - 1 ден 23 ке дейін, II топ - 24 тен 42 ке дейін, III топ - с 43 тен 64 ке дейін, IV топ - 65 тен 81 ге дейін, V топ - 82 ден 95 ке дейін, VI топ - 96 дан 106 ға дейін). Келесі зерттеулер үшін барлығы үшінші кестеде көрсетілген мәндер шығатындай есептеліп шығарылды.
2. 2,3-кестелер бойынша мыналар есептелген: жалпы орташа квадраттық қателік, орташа және ықтимал қателіктер, коэффициенттер мен олардың қатынастары, эксцесс, ассиметрия көрсеткіші. Есептеулер нәтижелері 4-кестеде көрсетілген.
Сондай-ақ ms есептейміз де, оның сенімділігін бағалаймыз.
мм
3-кесте.
| Ton |  мм
| 
|  мм
| 
| 
| n | 
| 
| ||||||||||
| I | +24 | -9567 | +1,0 | 1,00 | ||||||||||||||
| II | -8 | -3710 | -0,4 | 0,16 | ||||||||||||||
| III | -13 | +6325 | -0,6 | 0,36 | ||||||||||||||
| IV | +4 | +818 | +0,2 | 0,04 | ||||||||||||||
| V | -7 | +122 | -0,5 | 0,25 | ||||||||||||||
| VI | -2 | +3126 | -0,1 | 0,01 | ||||||||||||||
| Топқа бөлмей | -2 | -2886 | 1,82 | |||||||||||||||
4-кесте
| Toп | Жалпы орташа квадраттыққателік мм | Орташа қатнлік
 мм
| Ықтимал ұателік r мм | Қатынас коэффициенттері | Эксцесс және оның дәлдігі | Ассиметрия көрсеткіші мен оның дәлдігі | |||
| 
| E | 
| 
| 
| ||||
| I | 7,7 | 6,0 | 5,3 | 1,28 | 1,45 | +0,12 | 1,02 | 0,82 | 0,92 |
| II | 10,5 | 8,9 | 7,6 | 1,18 | 1,38 | -0,89 | 1,12 | 0,03 | 0,19 |
| III | 11,3 | 9,7 | 8,7 | 1,17 | 1,30 | -1,10 | 1,05 | 0,037 | 0,20 |
| IV | 5,6 | 4,7 | 4,3 | 1,19 | 1,30 | -2,98 | 1,19 | 0,008 | 0,034 |
| V | 9,0 | 7,9 | 6,8 | 1,14 | 1,32 | -1,23 | 1,31 | 0,0001 | 0,013 |
| VI | 8,9 | 7,6 | 5,9 | 1,17 | 1,51 | -0,99 | 1,48 | 0,17 | 0,61 |
| Топқа бөлмей | 9,1 | 7,5 | 6,3 | 1,21 | 1,44 | -0,55 | 0,48 | 0,0012 | 0,17 |
 шарттары барлық топтарда отындалған.
|
| . |
3- кестеге түсініктемелер енгізейік.
Мұндағы [ ]-үйлеспеушіліктердің таңбаларын ескере отырып алғандағы олардың қосындысы, осылайша бірінші топ үшін 
= +24 
абсолюттік мәндері бойынша үйлеспеушіліктердің қосындысы 
- топтар бойынша орташа мәндері.
4- кестеге түсініктеме
Е - мына формула арқылы есептелініп алынған эксцесс:
E= 
мұндағы E= 
- k-қатардың орталық моменті. осылайша І-топ үшін 
=7,7, | 
=16,9
16.9
Е =----- --3 = 0.28-3 = -2.72
(7,7) \Е\ < 3тЕ
ӨЛШЕМДЕР ҚАТЕЛІКТЕРІН ҮЛЕСТІРУ ЗАҢЫНЫҢ
ПАРАМЕТРЛЕРІ
Өлшемдер қателіктерін үлестіру қалыпты үлестіруге, яғни Гаусс заңына бағынатыны белгілі.
Егер де қателіктер қатары ыктимал шарттардың алуантүрлілігімен алынған болса, онда былай санауға болады:
м(ө)=0.
0 ден m ге дейін қателіктер саны 68%; 0 ден 2m -ге дейін 95%; 0 ден Зm -шамамен 100% болады.
Абсолюттік шамасы Зm мөлшерден асып кеткен жағдайда қателікті дөрекі қателік деп есептейді.
Көрсетілген қатынас қалыты үлестіру үшін жеткілікті болып табылады.
ӨЛШЕНГЕН ШАМАЛАР ФУНКЦИЯЛАРЫНЫҢ ОРТАША КВАДРАТТЫҚ ҚАТЕЛІКТЕРІ
Геодезияда ізделінді шамаларды көп жағдайда өлшенген шаманың функциясы ретінде табады. Функцияның қателігі ондағы аргументке және сол функцияның түріне тәуелді екені белгілі.
Өлшенген аргументтердің шынайы қателіктері көп жағдайда белгісіз күйінде қала береді, ал функцияның шынайы қателігі функцияның теориялық мәні белгілі болған жағдайда акықталады, мысалы: үшбұрыштың өлшенген бұрыштарының қосындысы, тұйык полигондағы биіктіктер өсімшесі. Бұл жағдайда қателікті өлшенген аргументтер бойынша алынған функция мәні мен оның теориялық мәнінің айырмасы ретінде көрсетуге болады. Геодезияда бұл айырманы үйлеспеушілік дейді.
Аргументтердің белгілі орташа квадраттық қателіктері бойынша функциялардың орташа квадраттық қателіктерін анықтау сүрақтарын қарасытрайық. Бұл есепті шешкен кезде екі жағдай кездесуі мүмкін: Корреляциланған және Корреляцияланбаған аргументтер.
Жұптық статистиканың корреляция коэффициенттері байланысы нөлге тең емес болған жағдайдағы екі немесе бірнеше кездейсоқ шамаларды Корреляциланған дейді, керісінше жағдайда Корреляциланбаған дейді. Мысалы, кездейсоқ х, у, z шамалары rxy=rxz=ryz=0 болғанда Корреляциланған, ал 
болғанда Корреляциланбаған болады.
КОРРЕЛЯЦИЛАНҒАН АРГУМЕНТТІ ФУНКЦИЯНЫҢ ОРТАША КВАДРАТТЫҚ ҚАТЕЛІГІ
| Эксцестің орташа квадраттық қателігі мына формуламен анықталады: |
|
Мынадай функция берлілген делік
F=f(x,y,z,...,u),
Мұндағы x, y, z,.... u - бақылаудан алынған корреляциланған аргументтер
және сәйкесінше олардың орташа квадраттық қателіктері mx, my, mz,.., mu.
X,Y,Z,... U - аргументтердің шынайы мәндері делік. Функцияның орташа квадраттық қателігін анықтау керек.
Өх, Өу Ө:, - аргументтердің шынайы қателіктері.
Өх=х-Х
өу=у-Ү
z:=z-Z
Өu=и-и J (18)
Онда функцияның шынайы қателігі мынаған тең
F=f(x,y,z,...,u)-f(X.Y.Z....,U).
Сәйкесінше
ӨF = (x, у, z,..., и) - f(x - Өх,у-Өу,z- Өz.,...,и- Өи).
Өлшемдер қателіктері өлшенген шаманың өзімен салыстырғанда кіші шама болғандықтан, Тэйлор қатары формуласы арқылы мынаны аламыз: ӨF = f(x,y,z,...,u) - f(x-Өх,у-Өу, z - 
,...,и -Өи) =
= f(x,e,z,...,u)- f(x,y,z,...,u) + 
+ 
Мұндағы R - үлестірудің қалдық мүшесі, ол Тэйлор қатарының барлық
сызықтық емес мүшелерінің қосындысына тең.
Геодезияда практикада кездесетін көп жағдайда Тэйлор қатарының қалдық мүшесі R ретінде мынаны жазуға болады:
Ең соңында
Бұл формуланы практикада қолдану үшін корреляция коэффициенттері арнайы зерттеулер бойынша анықталуы керек.
КОРРЕЛЯЦИЛАНБАҒАН АРГУМЕНТТІ ФУНКЦИЯНЫҢ ОРТАША КВАДРАТТЫҚ ҚАТЕЛІГІ
Бақылауды үйымдастырған кездегі негізгі талаптардың бірі болып - бір немесе әртүрлі шаманы көп рет өлшеген кездегі нәтижелері өзара тәуелсіз болатын шарттарды орнату керек. Геодезиялық өлшемдердің кез келген әдістемесі қандай да болмасын жағдайда бұл шартты қанағаттандыратын етіп жасалған.
Корреляцияланбаған аргументтер үшін корреляция коэффициенттері нөлге тең болғандықтан, формуладан жеке жағдай ретінде мынаны алуға болады.
mF = 
Осылайша, корреляциланбаган аргументті функцияныц орташа квадраттың қателігі квадрат түбірден алынган жеке функцияларының әрбір аргументінің туындыларыныц квадраттарының сәйкесінше аргументтердің орташа квадраттың қателіктерінің квадраттарының қосындыларына тең.
ФУНКЦИЯНЫҢ ОРТАША КВАДРАТТЫҚ ҚАТЕЛІКТЕРІН ЕСЕПТЕУДІҢ МЫСАЛДАРЫ
1 мысал. Жалпы түрдегі сызықтық функция берілген
(23)
мұндағы ki - коэффициенттері қандай да бір тұрақты сандар, ал хi - өлшенген шаалар және mі олардың сәйкесінше орташа квадраттық қателіктері, кo - тұрақты.
Шешуі. (23) формуланы қолданып, мынаны аламыз
егер өрнекте ki=k2...=kn=l, онда
Ғ1 = х1 + х2 +... + хп
Сәйкесінше, алгебралық қосындының орташа квадраттық қателігі квадрат түбірінен алынған кез келген таңбадагы барлық орташа квадраттық қателіктерінің қосындысына тең. Егерде формулада m1=m2=...=mn=m, онда
.
2 мысал. Арифметикалық ортаның орташа квадраттық қателігі. Мына функция берілген
Мұнда т1 = т2 =... т= т. Шешуі.
болғандықтан
(24) формула бойынша алатынымыз
Немесе
(25)
3 мысал. Мынадай функция берілген
(26)
Мұндағы х, у, z — бақылаудан алынған Корреляциланған аргументтер және сәйкесінше олардың орташа квадраттық қателіктері mx, my, mz,. mF анықтау керек.
Шешуі. е негіздемесі бойынша логарифмдей отырып, мынаны жазамыз
In Ғ = In x + In у - In z.
Ары қарай, In x = 
— екенін ескере отырып, мынаны аламыз
(27)
Яғни, (26) түрдегі функцияның салыстырмалы қателігінің квадраты аргументтердің салыстырмалы кател іктерін ің квадраттарының цосындысына тең.
Ары қарай алатынымыз
(28)
және соңында
4-мысал. F=lg х функциясы үшін mF анықтау керек, мұндағы lg-ондық логарифм.
Шешуі. Жазамыз 
мұндағыμ = 0,4343 -ондық логарифмдер модулі;
(29)
5-мысал. Теодолиттің жіптік кашықтық өлшеуішінің К коэффициенті S=250,00 м базистік қашықтықта ms = 0,052 м орташа квадраттық қателікте анықталады. Көп рет өлшегенде қашықтық өлшеуіштің mi=0,30 cм орташа квадраттық қателікпен алған орташа есебі 1=249,0 см болды.
К = 
(қашықтық өлшеуіштің тұрақты буыны с=0) және анықтау керек
mк
Шешуі.
(27) формула бойынша алатынымыз
бұдан
немесе
mк=0,12.
6-мысал. Һ = Stgα, формула бойынша алынған биіктік өсімшесінің орташа квадраттық қателігін анықтау керек, мұндағы көлденең қойылым S=143,5 м; еңістік бұрышы а=+2°30; һ=6,27 м, егер ms=0,5 м; та =1,0'. Шешуі.
mһ = 4,8 • 10-2 м, mһ = 4,8см.
7-мысал. Модульденген жарықтық ағынның X өлшенген толқын ұзындығының орташа квадраттық қателігін анықтау керек. Мыналар белгілі: жылдамдық с=299 792,5 км/с орташа квадраттық қателігі mс=0,4 км/с және жиілік f=10 000,0 кГц орташа квадраттық қателігі m= 0,15 кГц
Шешуі. Мынадан
алатынымыз
немесе
Енді есептейміз
0,95 ықтималдықпен толқын ұзындығы 29,978 м 29,980м аралығында болады.
8-мысал. Үшбұрыш қабырғасы синустар теоремасы бойынша анықталған
мұндағы b, A, B тәуелсіз өлшеу жұмыстары нәтижесінде сәйкесінше mb, mA, mB орташа квадраттық қателіктерімен алынған.
Есептелінген а қабырғасының орташа квадраттық қателігін mа анықтау керек.
Шешуі. (22) формула бойынша жазамыз
9-мысал. Бұрышты қайтара өлшеу арқылы жасалған өлшемнің орташа квадраттық қателігі m 
" белгілі. Іргелес жатқан β жәнеβ2 екі бұрыштың қосындысының орташа квадраттық қателігін анықтау керек.
Шешуі. Функция құраймыз
Қайтара өлшеу арқылы өлшенген іргелес бұрыштардың мәндерінің қателіктері корреляциялық байланысты екені белгілі (бір бағыттағы жүйелік қателік арқылы). Коэффициент -0,25. Дәлдікті бағалау үшін (23)
формуланы қолдана отырып (24) функция үшін мынаны аламыз
немесе
Қателік корреляциясын ескермесек мынаны аламыз.
Мысал: Бұрыштарды теодолитпен өлшегенде талаптар кешеніне мыналар кіреді: көру дүрбісінің үлғайтуы, есеп алу құрылғысының дәлдігі, сыртқы шарттар, бақылау тәжірибесі, және т.б.
Өлшеу кезінде болуы да, болмауы да мүмкін оқиға кездейсоқ оқиға деп аталады.
ОҚИҒА ТҮРЛЕРІ
Оқиғаларды былай бөледі:
Анық
Мүмкін емес
Кездейсоқ
Анық оқиға деп міндетті түрде болатын оқиғаны айтады.
Мысал: Урнада тек қана ак шарлар бар: Урнадан бір шарды алған кезде ақ шардың шығуы - А оқиғасы және анық оқиға - U әрпімен белгеленеді. Сәйкесінше
А= U
Болмайтын оқиға мүмкін емес оқиға деп аталады. Алдыңғы мысалдан мүмкін емес оқиға - қара шардың шығуы, яғни
B=V
Кездейсоқ оқиға деп болуы да, болмауы да мүмкін оқиғаны айтады.
Мысал: нақты ұзындығы белгісіз сызықты өлшеген кезде қателік (+) таңбасымен де (-) таңбасымен де болуы мүмкін.
