Теорема о нулях аналитической функции.

Пусть f(z)ÎC^¥(g) и обращается в 0 в бесконечном множестве различных точек (z_i¹z_k, все z_nÎg и f(z_n)=0), имеющем предельную точку (точку сгущения) z^*Îg ( z_n=z^*Îg). Тогда f(z)º0, для "zÎg.

Доказательство. По непрерывности f(z^*)=0 => т.к. функция аналитическая, то f(z)= c_n(z-z^*)ⁿ, где |z-z^*|<r(z^*) (радиус сходимости не меньше расстояния от z^* до границы области)=> c₀=0, и f(z)=(z-z^*)f₁(z); f₁(z)= c_n(z-z^*)^n-1; значит, так как f(z_n)=0=>f₁(z_n)=0=> по непрерывности f₁(z^*)=0 => c₁=0 и так далее => c_n=0 для "n. Итак, т.к. все коэффициенты разложения в ряд Тейлора равны 0, то f(z)º0 в круге |z-z^*| <r(z^*), где r(z^*) не меньше, чем расстояние от z^* до ¶g. Тождественное равенство f(z)º0 во всей области g доказывается аналогично доказательству принципа максимума.

Достаточно показать, что f(z^**)=0, где z^**Îg - произвольная точка, лежащая вне круга |z-z^*| <r(z^*). Соединим z^* и z^** спрямляемой кривой L, целиком лежащей в g и отстоящей от ¶g на расстояние d>0. Поскольку " точку круга |z-z^*|<r(z^*), лежащую внутри g можно рассматривать как предел последовательности нулей функции f(z), то выбрав в качестве нового центра разложения последнюю точку z=z₁ пересечения кривой L с окружностью |z-z^*|=r(z^*), получим, что f(z)º0 внутри круга |z-z₁|<r(z₁), где r(z₁)³d. Продолжая этот процесс, покроем кривую L конечным числом кругов, радиусов не меньше d, внутри которых f(z)º0. При этом точка z=z^** попадет внутрь последнего круга => f(z^**)º0. В силу произвольности z^** => f(z)º0 в g.n

Следствия.

1. Все нули f(z)ÎC^¥(g) и f(z)¹0 в g - изолированные.

2. Если f(z)ÎC^¥(g) и f(z)¹0 в g, то в " ограниченной `g'Ìg может быть лишь конечное число нулей f(z).

Доказательство Если множество нулей в `g'- бесконечно, то из него можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к zÎ`g' =>f(z)º0 в g, что противоречит условию. n

3. Если f(z)- целая, то в " ограниченной `g' может быть лишь конечное число нулей f(z). На расширенной комплексной плоскости целая функция может иметь лишь счетное число нулей, причем предельной точкой этого множества является бесконечно удаленная точка.

п.3. Теорема единственности определенной аналитической функции.

Теорема. Если f₁(z) и f₂(z)ÎC^¥(g) и $ {z_n}®z^*Îg, z_i¹z_k и f₁(z_n)=f₂(z_n), то f₁(z)ºf₂(z) для "zÎg.

Для доказательства достаточно при помощи теоремы о нулях установить, что функция h(z)=f₁(z)-f₂(z) º0 в g.

Следствия теоремы единственности.

Множество задания аналитической функции.

В области g может существовать только одна аналитическая функция, принимающая заданные значения на

a) {z_n}®z^*Îg, z_i¹z_k

b) xÎCÌg, C- кусочно-гладкая кривая.

c) zÎ`g'Ìg

Другими словами: Функция аналитическая в g однозначно определяется заданием своих значений на a), b), c).

Существенное замечание. Может - не значит существует. Нельзя произвольно задавать значения f(z_n) или f(C) или f(`g')!!!