Признак Даламбера в предельной форме.

Дальнейшие следствия теоремы Коши и интеграла Коши.

Теорема 8.5.Теорема Морера. Если f(z)ÎC(g), g-односвязная и для "gÌg: ò_gf(z)dz=0, где g-замкнутый контур, который можно стянуть в точку, оставаясь в g, то f(z)ÎC^¥(g).

Доказательство. При условиях теоремы $ F(z)= ÎC^¥(g) (Теорема 6.4), где z₀ и z- произвольные точки g, а интеграл берется по "путиÌg, соединяющему эти точки. При этом F'(z)=f(z). Но производная аналитической функции сама является аналитической функцией, т.е. $ F"(z)ÎC^¥(g) а именно F"(z)=f'(z). n

Замечание.

1. Теорема Морера является в некотором смысле обратной к теореме Коши.

2. Теорема 8.4 и Теорема Морера справедливы и для многосвязных областей.

 

Теорема 8.6.Теорема Лиувилля. Если f(z)ÎC^¥(E) и f(z)¹const, то при z®¥, |f(z)|®¥. Другая формулировка: Если f(z)ÎC^¥(E) и "zÎE $M: |f(z)|£M (|f(z)|- равномерно ограничен), то f(z)ºconst.

Доказательство. Докажем 2-ю формулировку (так удобнее). По теореме 8.1 f'(z)= ., где C_R: |x-z|=R. По условию теоремы $M: |f(z)|£M, независимо от R => |f'(z)|£2pRM/2pR²=M/R. Т.к.. R можно выбрать сколь угодно большим (R®¥), а f'(z) не зависит от R, то |f'(z)|=0. В силу произвольности выбора z, |f'(z)|=0 на всей комплексной плоскости E=>f(z)ºconst для "z.n

 

Определение. f(z)ÎC^¥(E)(на всей комплексной плоскости) (z¹¥) называется целой функцией.

Целая функция ¹const не может быть ограничена по абсолютной величине.

Так например, целые функции sin z и cos z неограничены по модулю!

Пример целой функции. f(z)=zⁿ. Отображение области однолистности: сектор раскрыва 2p/n отображается на всю комплексную плоскость.

Следствие. Невозможно отобразить конформно (с помощью аналитической функции) плоскость с выколотой точкой или расширенную плоскость (т.е. область с границей, состоящей из одной точки) на единичный круг!

 

§9. Интегралы, зависящие от параметра.

 

Пусть на комплексной плоскости z заданы: кусочно- гладкий контур C конечной длины L: ò_Lds=L, область g, и функция двух комплексных переменных w=j(z,x) zÎg, xÎL, удовлетворяющая следующим условиям:

1. Для "x₀ÎL j(z,x₀)=f(z)ÎC^¥(g): $¶j/¶z(z,x₀)ÎC^¥(g).

2. j(z,x)- непрерывна по совокупности переменных. Т.е. "e>0 $d(e,z,x)>0: |j(z+Dz,x+Dx)-j(z,x)|<e при |Dz|,|Dx|<d.

3. ¶j/¶z(z,x),…, ¶ⁿj/¶zⁿ(z,x)- также непрерывны по совокупности переменных.

Замечание. Из 2 следует, что j(z,x) непрерывна по z для "zÎg равномерно по x, т.е. для фиксированного z₀Îg и "e>0 $d(e,z₀)>0: такое, что |j(z₀+Dz,x)-j(z₀,x)|<e при |Dz|<d для всех xÎL одновременно.

Доказательство. От противного, аналогично доказательству равномерной непрерывности в замкнутой области (Теорема 3.3).

Из п.3 следует аналогичное утверждение для ¶j/¶z(z,x). Кроме того, действительная и мнимая часть и j(z,x), и ¶j/¶z(z,x) – также непрерывны по совокупности переменных.

 

Теорема 9.1 Если j(z,x), zÎg, xÎL удовлетворяет условиям 1-3, то интеграл, зависящий от параметра z $ и является аналитической функцией z в области g.

ò_Lj(z,x)dx=F(z)ÎC^¥(g) и F⁽ⁿ⁾(z)=ò_L¶ⁿj/¶zⁿ(z,x)dx.

Доказательство. Доказательство разобьем на 3 этапа:

1. F(z)ÎC(g)

|DF|=|F(z+Dz)-F(z)|=|ò_L[j(z+Dz,x)-j(z,x)]dx |£L |j(z+Dz,x)-j(z,x)|<(по замечанию к условию 2) < Le'<e как только |Dz|<d(e).

2. $ =F'(z)=

£{по формуле Коши-Адамара} £ <

<(по замечанию к условию 3) < Le'<e как только |Dz|<d(e).

3. F'(z)ÎC(g).

Доказывается аналогично п.1.

Итак, F(z)ÎC^¥(g) и F⁽ⁿ⁾(z)=ò_L¶ⁿj/¶zⁿ(z,x)dx. n

 

§10. Ряды аналитических функций.

 

п.1. Числовые ряды.

Пусть дана последовательность . Составим S_n= a_k- частичная сумма, составим последовательность частичных сумм и рассмотрим a_k - числовой ряд.

Определение. Числовой ряд называется сходящимся, если сходится {S_n}®S. Предел последовательности частичных сумм называется суммой ряда =S.

Необходимый и достаточный признак сходимости: Критерий Коши сходимости числовой последовательности: для "e>0 $N(e): для "n³N и "m>0 ïS_n+m-S_nï<e.

Отсюда следует необходимый признак: a_n®0. (Но не достаточный!).

Доказательство. Пусть ряд сходится, тогда "e>0 $N(e):для "n³N и "m>0

ïS_n+m-S_nï<e => для "n³N |a_n+1|=ïS_n+1-S_nï<e => a_n®0. n

Определение. = r_n- n-й остаток ряда.

Т.к. r_n+m-r_n= =S_n+m-S_n, то необходимым и достаточным признаком сходимости числового ряда является стремление |r_n|®0 при n®¥.

Доказательство. Необходимость. Если ряд сходится, то |r_n|=|S-S_n|®0.

Достаточность. |S_n+m-S_n|=| |=|r_n+m-r_n|. Пусть |r_n|®0=> Для "e>0 $N(e):для "n³N ïr_nï<e/2 => для "n³N ïr_n+mï<e/2 =>|S_n+m-S_n|=|r_n+m-r_n|<e=>ряд сходится.

n

Определение. Если |a_k|<¥, то ряд называется абсолютно сходящимся.

Очевидно, что если ряд сходится абсолютно, то он сходится. Обратное, вообще говоря, неверно.

Достаточными критериями абсолютной сходимости рядов являются признаки Даламбера и Коши.

Признак Даламбера.

Если найдется номер N, и для "n³N |a_n+1/a_n|£l<1, то ряд сходится.

Если найдется номер N, и для "n³N |a_n+1/a_n|³1, то ряд расходится.

Признак Даламбера в предельной форме.

Если $ =L, то при L<1 ряд сходится, при L>1 ряд расходится, при L=1 ничего сказать нельзя.

Доказательство. Если L<1, то $e>0: L<1-2e => L+e<1-e. Т.к. $ =L, то "e>0 $N: L-e< < L+e<1-e=q<1, k³N=>|a_k+1|<|a_k|q<…<|a_N|q^k+1-N, т.е. ряд мажорируется геометрической прогрессией со знаменателем q<1. n

Аналогично доказывается расходимость ряда при L>1.

 

Признак Коши.

Если найдется номер N, и для "n³N £l<1, то ряд сходится.

Если найдется номер N, и для "n³N ³1, то ряд расходится.