Пример оформления задания №1

1. Перевести число из двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной систем в десятичную систему счисления.

1.1. Выполнить перевод числа 101101₂ из двоичной системы счисления в десятичную систему счисления:

_{5 4 3 2 1 0}

101101₂ = 1´2⁵ + 0´2⁴ + 1´2³ +1´2² + 0´2¹ +1´2⁰ = 32+0+8+4+0+1=45_10.

Проверим результат перевода:

1.) 45:2 = 22 (1);

2.) 22:2 = 11 (0);

3.) 11:2 = 5 (1);

4.) 5:2 = 2 (1);

5.) 2:2 = 1 (0).

Запишем число в двоичной системе счисления: 45₁₀= 101101_2. Проверка подтверждает правильность решения.

Ответ: 101101₂ = 45₁₀.

1.2. Выполнить перевод числа 2312₈ из восьмеричной системы счисления в десятичную систему счисления.

_{3 2 1 0}

2312₈ = 2 ´ 8³ +3 ´ 8² +1 ´ 8¹ +2 ´ 8⁰ = 1024+192+8+2=1226_10.

Проверим результат перевода:

1.) 1226:8 = 153 (2);

2.) 153:8 = 19 (1);

3.) 19:8 = 2 (3);

 

Запишем число в восьмеричной системе счисления: 1226₁₀= 2312_8. Проверка подтверждает правильность решения.

Ответ: 2312₈. = 1226_10.

 

1.3. Выполнить перевод числа 1dc₁₆ из шестнадцатеричной системы счисления в десятичную систему счисления.

_{2 1 0}

1dc₁₆ = 1 ´ 16² + 13 ´ 16¹ +12 ´ 16⁰ = 256+208+12 = 476_10.

Проверим результат перевода:

1.) 476:16 = 29 (12);

2.) 29:16 = 1 (13).

 

Запишем число в шестнадцатеричной системе счисления: 476₁₀= 1dc_16. Проверка подтверждает правильность решения.

Ответ: 1dc₁₆ = 476₁₀.

 

5.2. Пример оформления задания № 2

 

2. Перевести число из десятичной системы счисления в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления.

2.1. Выполнить перевод числа 891₁₀ из десятичной системы счисления в двоичную систему счисления:

 

1) 891:2 = 445 (1), 445 >= 2;

2) 445:2 = 111 (0), 111 >= 2;

3) 111:2 = 55 (1), 55 >= 2;

4) 55:2 = 27 (1), 27 >= 2;

5) 27:2 = 13 (1), 13 >= 2;

6) 13:2 = 6 (1), 6 >= 2;

7) 6:2 = 3 (0), 3 >= 2;

8) 3:2 = 1 (1), 1 < 2 – конец перевода.

Запишем результат перевода: 981₁₀ = 1101111011_2.

Проверим результат перевода:

_{9 8 7 6 5 4 3 2 1 0}

1101111011₂ =1´2⁹+1´2⁸+0´2⁷ +1´2⁶ +1´2⁵+1´2⁴+1´2³+0´2²+1´2¹+1´2⁰ =

= 512 + 256 + 0 + 64 + 32 + 16 + 8 + 0 + 2 + 1 = 981_10..

Проверка подтверждает правильность решения.

Ответ: 891₁₀ = 1101111011₂.

 

2.2. Выполнить перевод числа 891 из десятичной системы счисления в восьмеричную систему счисления:

 

1) 891:8 = 111 (3), 111 >= 8;

2) 111:8 = 13 (7), 13 >= 8;

3) 13:8 = 1 (5), 1 < 8 – конец перевода.

Запишем результат перевода: 891₁₀ = 5173₈

Проверим результат перевода:

_{3 2 1 0}

1573₈ = 1 ´ 8³ + 5 ´ 8² + 7 ´ 8¹ + 3 ´ 8⁰ = 512 +320 + 56 + 3 = 891_10.

Проверка подтверждает правильность решения.

Ответ: 891₁₀ = 1573_8.

2.3. Выполнить перевод числа 891₁₀ из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную систему счисления:

1) 891:16 = 55 (11), 55 >= 16;

2) 55:16 = 3 (7), 3 < 16 – конец перевода.

Запишем результат перевода: 891₁₀ = 37b₁₆

Проверим результат перевода:

_{2 1 0}

37b₁₆ = 3 ´ 16² + 7 ´ 16¹ +11 ´ 16⁰ = 768 + 112 + 11 = 891_10.

Проверка подтверждает правильность решения.

Ответ: 891₁₀ = 37b_16.

1. Выполнить перевод числа 17.97 из десятичной системы счисления в двоичную систему счисления.

1.1. Переводим целую часть числа:

1) 17: 2 = 8 (1), 8 >= 2;

2) 8: 2 = 4 (0), 4 >= 2;

3) 4: 2 = 2 (0), 2 >= 2;

4) 2: 2 = 1 (0), 1< 2 – конец перевода.

Итак, 17₁₀ = 10001₂

1.2. Переводим дробную часть числа:

1) 0.97 ´ 2 = 1.94 (1);

2) 0.94 ´ 2 = 1.88 (1);

3) 0.88 ´ 2 = 1.76 (1);

4) 0.76 ´ 2 = 1.52 (1);

5) 0.52 ´ 2 = 1.04 (1).

Итак, 0.97₁₀ = 0.11111₂

Таким образом, 17.97₁₀ = 10001.11111₂

2. Выполним перевод числа 17.97 из десятичной системы счисления в восьмеричную систему счисления.

2.1. Переводим целую часть числа:

1) 17: 8 = 2 (1), 2 < 8 – конец перевода.

Итак, 17₁₀ = 21₈

2.2. Переводим дробную часть числа:

1) 0.97 ´ 8 = 7.76 (7);

2) 0.76 ´ 8 = 6.08 (6);

3) 0.08 ´ 8 = 0.64 (0);

Итак, 0.97₁₀ = 0.760₈

Таким образом, 17.97₁₀ = 21.760₈

3. Выполним перевод числа 17.97 из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную систему счисления.

3.1. Переводим целую часть числа:

1) 17: 16 = 1 (1), 1 < 16 – конец перевода.

Итак, 17₁₀ = 11₁₆

3.2. Переводим целую часть числа:

1) 0.97 ´ 16 = 15.52 (15);

2) 0.52 ´ 16 = 8.32 (8);

Итак, 0.97₁₀ = f8₁₆

Таким образом, 17.97₁₀ = 11.f8₁₆

4. Выполним перевод числа 1001.11111 из двоичной системы счисления в десятичную систему счисления:

_{4 3 2 1 0-1-2-3–4-5}

10001.11111 ₂ = 1 ´ 2⁴ + 0 ´ 2³ + 0 ´ 2² + 0 ´ 2¹ +1 ´ 2⁰ +1 ´ 2^-1 +1 ´ 2^-2 + 1 ´2^-3 + 1 ´ 2^-4 + 1 ´ 2^-5 = 16+0+0+0+1+0.5+0.25+0.125+0.0625+0.03125 = =17.96875₁₀.

Запишем искомое число: 10001.11111₂ = 17.96875_10,

Имеем: 17,97 ≠ 17,96875

5. Вычислим относительную ошибку e:

6. Выполним перевод числа 21.760 из восьмеричной системы счисления в десятичную систему счисления.

_{1 0-1-2-3}

21.760₈ = 2 ´ 8¹ + 1´ 8⁰ + 6 ´ 8^-2 + 0.8^-3 = 16 + 1 + 0.875 + 0.09375 + 0 = 17.96875₁₀.

Запишем искомое число: 21.760₈ = 17.96875₁₀

Имеем: 17.97 ≠ 17.96875

7. Вычислим относительную ошибку e:

8. Выполним перевод числа 11.f8 из шестнадцатеричной системы счисления в десятичную систему счисления:

 

_{1 0 -1-2}

11.f8₁₆ = 1 ´ 16¹ + 1 ´ 16⁰ + 15 ´ 16 ^–1 + 8 ´16^-2 = 16 + 1 + 0.9375 + 0.03125 = 17.96875₁₀

Запишем искомое число: 11.f851e₁₆ = 17.96875₁₀

Имеем: 17.97 ≠ 17.96875

9. Вычислим относительную ошибку e:

Пример выполнения задания № 3.

 

1. Представим числа 91 в формате хранения целого двоичного числа без знака.

1.1. Выполним перевод числа 91 из десятичной системы счисления в двоичную систему счисления:

1) 91:2=45(1), 45 >= 2;

2) 45:2=22(1), 22 >= 2;

3) 22:2=11(0), 11 >= 2;

4) 11:2=5(1), 5 >= 2;

5) 2:2=1(1), 2 >= 2;

6) 2:2=1(0), 1 < 2-конец перевода

Итак, 91₁₀ = 1011011₂.

Проверка: Выполним перевод числа 1011011 из двоичной системы счисления в десятичную систему счисления:

1⁶0⁵1⁴1³0²1¹1⁰₂ = 1 * 2⁶ + 0 * 2⁵ + 1 * 2⁴ + 1 * 2³ + 0 * 2² + 1 * 2¹ + 1 * 2⁰ = 64 + 16 + + 8 + 2 + 1 = 91₁₀.

Итак, 1011011₂ = 91₁₀.

1.2. Полученное двоичное число 1011011₂ дополним слева нулями до разрядности, равной шестнадцати:

1011011₂ =0000000001011011₂.

Таким образом, число 91, представленное в формате хранения целого двоичного числа без знака будет иметь вид:

 

 

 

2. Представим число –91 в формате хранения целого двоичного числа со знаком.

2.1. Переведем абсолютное значение исходного числа в двоичную систему счисления:

1) 91:2=45(1), 45>=2;

2) 45:2=22(1), 22>=2;

3) 22:2=11(0), 11>=2;

4) 11:2=5(1), 5>=2;

5) 5:2=2(1), 2>=2;

6) 2:2=1(0), 1>2-конец перевода

Итак, 91₁₀ = 1011011₂ .

2.2. Дополним слева нулями полученное двоичное число 1011011 до разрядности равной шестнадцати:

1011011₂ =0000000001011011₂ .

2.3. Найдем обратный код полученного числа 00000000010110110, заменив двоичные нули на единицы, а двоичные единицы –на двоичные нули:

0000000001011011→ 1111111110100100

2.4 Добавим к полученному двоичному числу 1111111110100100 двоичную единицу, по весу равную единице младшего разряда

+

0000000000000001

Таким образом, число -91 в памяти ЭВМ будет представляться кодом 1111111110100101:

 

 

3. Восстановим десятичное представление числа 11101101 хранимого в формате восьмиразрядного целого двоичного числа без знака.

Выполним перевод числа 11101101 из двоичной системы счисления в десятичную систему счисления

1⁷1⁶1⁵0⁴1³1²0¹1⁰₂ = 1*2⁷ + 1*2⁶ + 1*2⁵ + 0*2⁴ + 1 * 2³ + 1*2² + 0*2¹+1*2⁰ = 128 + 64+ + 32 + 0 + 8 + 4 + 0 + 1 = 237₁₀

Таким образом, при переводе числа 11101101₂ в десятичную систему счисления получим число 237₁₀.

Проверка: Выполним перевод числа 237 из десятичной системы счисления в двоичную систему счисления:

1) 237: 2 = 118 (1), 118 >=2;

2) 118: 2 = 59 (0), 59 >=2;

3) 59: 2 = 29 (1), 29 >=2;

4) 29: 2 = 14 (1), 14 >=2;

5) 14: 2 = 7 (0), 7 >=2;

6) 7: 2 = 3 (1), 3 >=2;

7) 3: 2 = 1 (1), 1<2-конец перевода.

Итак, 237₁₀ = 11101101₂.

4. Восстановим десятичное представление числа 11101101 хранимого в формате восьмиразрядного целого числа со знаками

4.1. Найдем обратный код числа 11101101: N_обр = 00010010

4.2. Добавим к полученному числу единицу, по весу равную единице младшего разряда

+

00000001

Таким образом, в двоичной системе счисления положительная форма числа имеет вид:

N_пол2 = 0010011 = 10011.

4.3 Переводим положительную форму числа из двоичной системы счисления в десятичную систему счисления:

N_пол = 10011 = N₁₀ = 1*2⁴ + 0*2³ + 0*2₂ + 1*2¹ + 1*2⁰ =16 + 0 + 0 + 2 + 1 = 19₁₀

N_пол10 = 19₁₀

4.4 Записываем отрицательное число в десятичной системе счисления:

N₁₀ = -19₁₀

5. Представим дробное число 43.13 в коротком формате хранения с плавающей точкой

5.1 Переведем число 43.13 из десятичной системы счисления в двоичную систему счисления

5.1.1 Переводим целую часть числа:

1) 43: 2 = 21 (1), 21 ≥ 2

2) 21: 2 = 10 (1), 10 ≥ 2

3) 10: 2 = 5 (0), 5 ≥ 2

4) 5: 2 = 2 (1), 2 ≥ 2

5) 2: 2 = 1 (0), 1 ≤ 2 – конец перевода

Итак, 43₁₀ = 101011₂

5.1.2 Переводим дробную часть числа. Количество дробных разрядов числа определяем по формуле m = 24 – n, где m – количество дробных разрядов числа, n – номер старшего разряда целой части числа

m = 24 – 5 = 19:

1) 0.13 ´ 2 = 0.26 à 0;

2) 0.26 ´ 2 = 0.52 à 0;

3) 0.52 ´ 2 = 1.04 à 1;

4) 0.04 ´ 2 = 0.08 à 0;

5) 0.08 ´ 2 = 0.16 à 0;

6) 0.16 ´ 2 = 0.32 à 0;

7) 0.32 ´ 2 = 0.64 à 0;

8) 0.64 ´ 2 = 1.28 à 1;

9) 0.28 ´ 2 = 0.56 à 0;

10) 0.56 ´ 2 = 1.12 à 1;

11) 0.12 ´ 2 = 0.24 à 0;

12) 0.24 ´ 2 = 0.48 à 0;

13) 0.48 ´ 2 = 0.96 à 0;

14) 0.96 ´ 2 = 1.92 à 1;

15) 0.92 ´ 2 = 1.84 à 1;

16) 0.84 ´ 2 = 1.68 à 1;

17) 0.68 ´ 2 = 1.36 à 1;

18) 0.36 ´ 2 = 0.72 à 0

19) 0.72 ´ 2 = 1.44 à 1.

Итак, 0.13₁₀ = 0.0010000101000111101₂

Таким образом, 43.13₁₀ = 101011.0010000101000111101₂.

Проверка: Выполним перевод числа 101011.0010000101000111101 из двоичной системы счисления в десятичную систему счисления:

1⁵0⁴1³0²1¹1⁰.0^-10^-21^-30^-40^-50^-60^-71^-80^-91^-100^-110^-120^-131^-141^-151^-161^-170^-181^-19₂ = 1 * 2⁵ + 0 ´ 2⁴ + 1 ´ 2³ + 0 ´ 2² + 1 ´ 2¹ + 1 ´ 2⁰ + 0 ´ 2^-1 + 0 ´ 2^-2 + 1 ´ 2^-3 + 0 ´ 2^-4 + 0 ´ 2^-5 + 0 ´ 2^-6 + 0 ´ 2^-7 + 1 ´ 2^-8 + 0 ´ 2^-9 +1 ´ 2^-10 + 0 ´ 2^-11 + 0 ´ 2^-12 + 0 ´ 2^-13 + 1 ´ 2^-14 + 1 ´ 2^-15 + 1 ´ 2^-16 + 1 ´ 2^-17 + 0 ´ 2^-18 + 1 ´ 2^-19 = 32 + 8 + 2 + 1 + 0.125 + 0.00390625 + 0.0009765625 + 0.00006103515625 + 0.000030517578125 + 0.0000152587890625 + 0.00000762939453125 + 0.0000019073486328125 + … ≈ 43.13.

Итак, 101011.0010000101000111101₂ ≈ 43.13₁₀.

5.2. Округлим число. Для этого к полученному числу прибавим двоичную единицу, по весу равную единице младшего разряда:

 

101011.0010000101000111101

+

0.0000000000000000001

101011.0010000101000111110

5.3. Отбросим младший разряд суммы. В результате будет получено число:

101011.001000010100011111₂

5.4. Нормализуем число, перемещаем точку на пять разрядов вправо:

101011.001000010100011111₂ = 1.01011001000010100011111₂ * 2⁵₁₀

5.5. Отбросим старший разряд:

1.01011001000010100011111₂ à 0.01011001000010100011111₂

5.6. Определим двоичный код смещенного порядка:

5₁₀ + 127₁₀ = 132₁₀ = 10000100_2.

5.7. Определим знаковый разряд: знаковый разряд положительного числа равен 0.

5.8. Представление числа 43.13 в памяти ЭВМ имеет следующий вид:

 

Зн

Порядок

Мантисса

1 байт

2 байт

3 байт

4 байт

с

f