Математические модели в процедурах анализа на микроуровне
Математическими моделями на микроуровне являются дифференциальные уравнения в частных производных или интегральные уравнения, описывающие поля физических величин. Другими словами, на микроуровне используются модели с распределенными параметрами. В качестве независимых переменных могут фигурировать пространственные переменные х1, х2, х3 и время t.
Например, уравнения непрерывности, используемые в физике полупроводниковых приборов:
Краевые условия включают начальные условия, характеризующие пространственное распределение зависимых переменных в начальный момент времени, и граничные, задающие значения этих переменных на границах рассматриваемой области в функции времени.
В САПР решение дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений с частными производными выполняется численными методами. Эти методы основаны на дискретизации независимых переменных – их представлении конечным множеством значений в выбранных узловых точках исследуемого пространства. Данные точки рассматриваются как узлы некоторой сетки, поэтому используемые в САПР методы – это сеточные методы.
Математическое обеспечение анализа на функционально-логическом уровне
2.1 Моделирование и анализ аналоговых устройств
На функционально-логическом уровне исследуют устройства, в качестве элементов которых принимают достаточно сложные узлы и блоки, считавшиеся системами на макроуровне. Поэтому необходимо упростить представление моделей этих узлов и блоков по сравнению с их представлением на макроуровне, т.е. вместо полных моделей узлов и блоков необходимо использовать их макромодели.
Вместо двух типов фазовых переменных в моделях функционально-логичского уровня фигурируют переменные одного типа, называемые сигналами.
Основой моделирования аналоговых устройств на функционально логическом уровне является использование аппарата передаточных функций. При этом модель каждого элемента представляют в виде уравнения вход-выход:
Vвых= f(Vвх),
где Vвых и Vвх – сигналы на выходе и входе узла соответственно. Если узел имеет более чем один вход и один выход, то скалярные величины Vвых и Vвх становятся векторными.
Однако известно, что представление модели в виде указанном выше возможно только, если узел является безинерционным, т.е. в полной модели узла не фигурируют производные. Следовательно, сначала требуется предварительная алгебраизация полной модели. Такую алгебраизацию выполняют с помощью интегральных преобразований, например, с помощью преобразования Лапласа, переходя из временной области в пространство комплексной переменной р: Vвых(р) и Vвх(р), сами же модели реальных блоков стараются по возможности максимально упростить и представить их моделями типовых блоков (звеньев) из числа ранее разработанных библиотечных моделей. Обычно модели звеньев имеют вид:
Vвых(р)=h(p) Vвх(р),
где h(p) – передаточная функция звена.
Другое упрощающее допущение при моделировании на функционально-логическом уровне – неучет влияния нагрузки на характеристики блоков. Подключение к выходу блока некоторого другого узла никак не влияет на модель блока.
Собственно получение математических моделей системы из математических моделей элементов оказывается вследствие принятых допущений значительно проще, чем на макроуровне: математическая модель системы есть совокупность математических моделей элементов, в которых отождествлены сигналы на соединенных входах и выходах элементов. Эта математическая модель системы представляет собой систему алгебраических уравнений.
Получение математической модели системы можно проиллюстрировать простым примером (рис.1), где показана система из трех блоков с передаточными функциями h1(p), h2(p), h3(p). Математическая модель системы имеет вид:
V2=h1(p)V1;
Vвых(p)=h2(p)V2;
V1=Vвх(p)+h3(p)Vвых(p)
или
Vвых(p)=H(p)Vвх(p),
где H(p)=h1(p)h2(p)/(1-h1(p)h2(p)h3(p)).
Рис. 1. Пример схемы из трех блоков
Таким образом, анализ сводится к следующим операциям:
1) заданную схему устройства представляют совокупностью звеньев и, если схема не полностью покрывается типовыми звеньями, то разрабатывают оригинальные модели;
2) формируют математические модели системы из моделей звеньев;
3) применяют прямое преобразование Лапласа к входным сигналам;
4) решают систему уравнений математических моделей системы и находят изображения выходных сигналов;
5) с помощью обратного преобразования Лапласа возвращаются во временную область из области комплексной переменной р.
2.2. Математические модели дискретных устройств
Анализ дискретных устройств на функционально-логическом уровне требуется прежде всего при проектировании устройств вычислительной техники и цифровой автоматики. Здесь дополнительным к допущениям, принимаемым при анализе аналоговых устройств, используют дискретизацию сигналов, причем базовым является двузначное представление сигналов («истина» или 1 и «ложь» или 0). Тогда для моделирования можно использовать аппарат математической логики. Находят применение также трех- и более значные модели.
Элементами цифровых устройств на функционально-логическом уровне служат элементы, выполняющие логические функции и, возможно, функции хранения информации. Простейшими элементами являются дизъюнктор, конъюнктор, инвертор, реализующие операции ИЛИ, И, НЕ соответственно. Число входов может быть и более двух. Условные схемные обозначения простых логических элементов приведены на рисунке 2.
Рис. 2. Условные обозначения логических элементов на схемах (дизъюнктор, конъюнктор, инвертор).
Математические модели устройств представляют собой систему математических моделей элементов, входящих в устройство, при отождествлении сигналов, относящихся к одному и тому же соединению элементов.
Различают синхронные и асинхронные модели.
Синхронная модель представляет собой систему логических уравнений, в ней присутствует такая переменная, как время, синхронные модели используются для анализа установившихся состояний.
Примером синхронной модели может служить следующая система уравнений, полученная для логической схемы триггера (рис.3):
B=not (R and C); P=not (A and Q);
Q=not (B and P); A=not (S and C).
Рис.3. Схема RS-триггера.
Асинхронные модели отражают не только логические функции, но и временные задержки в распространении сигналов. Асинхронная модель логического элемента имеет вид:
y(t+tзадержки)=f(X(t)),
где tзадержки – задержка сигнала в элементе, f – логическая функция.
Данное уравнение показывает, что выходной сигнал y принимает значение логической функции, соответствующее значениям аргументов X(t), в момент времени t+tзадержки. Следовательно, асинхронные модели можно использовать для анализа динамических процессов в логических схемах.
Термины синхронная и асинхронная модели можно объяснить ориентированностью этих моделей на синхронные и асинхронные схемы соответственно. В синхронных схемах передача сигналов между цифровыми блоками происходит только при подаче на специальные синхровходы тактовых (синхронизирующих) импульсов. Частота тактовых импульсов выбирается такой, чтобы к моменту прихода синхроимпульса переходные процессы от предыдущих передач сигналов фактически закончились. Следовательно, в синхронных схемах расчет задержек не актуален, быстродействие устройства определяется заданием тактовой частоты.
