Геометрические построения на плоскости

1). Деление отрезка пополам показано на Рис. 1.1.

Отрезок АВ прямой m делится на две равные части перпендикуляром n проведенным через точки пересечения С и D дуг окружностей радиуса R > 0,5АВ с центрами соответственно в точках А и В. Точка Е — середина отрезка АВ.

2). Деление отрезка на заданное число частей показано на Рис. 1.2.

Рис. 1.1. Рис. 1.2.

Отрезок АВ прямой m разделен (рис. 1.2) на семь частей посредством вспомогательного луча t, проведенного под острым углом к заданной прямой m через точку А. На луче t от точки А отложить заданное число (n=7) равных произвольной длины отрезков (отмеченных точками 1, 2,.... 7). Последнюю точку 7 соединить с точкой В и последовательно из каждой точки деления луча t провести ряд прямых параллельно прямой В7 до пересечения с прямой m. Полученные точки 1', 2',... делят отрезок АВ в искомом отношении.

3) Построение перпендикуляра к прямой из точки, находящейся вне ее, показано на Рис. 1.3.

Рис. 1.3.

Засечкой произвольного радиуса R из точки О отметить на прямой m точки А и В (рис. 1.3). Используя эти точки как центры, провести равными радиусами дуги окружностей до их взаимного пересечения в точке О'. Получим искомое OO' перпендикулярно m.

4) Построение перпендикуляра к прямой из точки, находящейся на прямой, показано на Рис. 1.4.

Рис. 1.4

Построение перпендикуляра к прямой m в точке A, принадлежащей данной прямой. Провести из произвольно выбранного центра О, расположенного вне данной прямой, дугу окружности радиуса R=ОА и отметить на прямой m точку В ее пересечения с дугой. Провести диаметр BM и прямую МА перпендикулярную АВ, так как окружность и опирающийся на ее диаметр угол МАВ – прямой.

5) Построение угла в 30 градусов показано на Рис. 1.5.

Построение угла 30° (рис. 16.9). Построить прямой угол АОВ. Из точки О провести дугу радиусом R; из точки А тем же радиусом R сделать засечку на дуге АВ в точке М. Угол MOB — искомый.

6) Построение угла в 60 градусов показано на Рис. 1.6.

Построение угла 60° (рис. 16.10). Из точки О на прямой т провести дугу 1 окружности произвольного радиуса R. Из точки А на той же прямой тем же радиусом провести дугу 2 до пересечения с дугой / в точке В. Угол АОВ — искомый.

Рис. 1.5. Рис. 1.6.

7). Деление угла пополам показано на Рис. 1.7.

Из вершины заданного угла провести дугу произвольного радиуса R до пересечения со сторонами угла в точках А и В. Из полученных точек, как из центров, провести две дуги равных радиусов до их взаимного пересечения в точке М. Биссектриса ОМ делит заданный угол пополам.

8). Построение угла в 75 градусов показано на Рис. 1.8.

Повторить построение по рис. 1.7 для угла 60° и дополнить построением по рис. 1.8 биссектрисы угла АОМ. Угол СОВ— искомый.

Рис. 1.7. Рис. 1.8.

9) Деление окружности на 3, 6 и 12 частей показано на Рис. 1.9.

В окружности заданного радиуса R провести через центр О взаимно перпендикулярные оси АВ и CD. Из любой точки конца диаметра (например, А) провести радиусом R дугу до пересечения с окружностью в точках 1 и 2. Отрезок 1-2 — искомая сторона правильного вписанного треугольника 1В2. В свою очередь, отрезки А1 = А2 и Cl = D2 соответственно равны сторонам правильных вписанных шестиугольника и двенадцатиугольника. Для построения недостающих точек (вершин углов) достаточно провести из точки В противоположного конца диаметра окружности дугу того же радиуса R до пересечения с окружностью или измерителем последовательно отложить соответствующие отрезки на основной окружности.

10) Деление окружности на 4 и 8 частей показано на Рис. 1.10.

Провести два взаимно перпендикулярных диаметра АВ и CD. Отрезки АС=СВ=BD, соединяющие концы диаметров, являются искомыми сторонами правильного четырехугольника, вписанного в окружность.

Для деления окружности на восемь частей построить из центра О перпендикуляр к одной из сторон (например, АС) и продолжить его до пересечения с окружностью в точке М. Отрезок AM — искомая сторона правильного восьмиугольника, вписанного в окружность.

Рис. 1.9. Рис. 1.10.

11) Деление окружности на 5 и 10 частей показано на Рис. 1.11.

Провести два взаимно перпендикулярных диаметра АВ и СD и разделить радиус ОВ пополам в точке М, как из центра, провести дугу радиусом MС до пересечения ее с диаметром АВ в точке К. Отрезок СК равен стороне правильного вписанного пятиугольника, отрезок ОК— десятиугольника. Для деления окружности на пять частей достаточно дугой радиуса СК сделать засечки на исходной окружности в точках 1, 2 и далее; используя точки 1 и 2 как центры, тем же радиусом отметить точки 3 и 4. Точки С, 1, 3, 4, 2 — вершины правильного вписанного пятиугольника.

Рис. 1.11. Рис. 1.12.

12) Деление окружности на 7 частей показано на Рис. 1.12.

Из точек А и В концов горизонтального диаметра АВ провести дуги окружности радиусом R=AO=ВО и отметить точки их пересечения 1 и 2 с исходной окружностью. На пересечении хорды 1-2 с радиусом OD отметить точку М. Отрезок ОМ равен стороне правильного вписанного семиугольника. Для его построения последовательно отметить на исходной окружности точки 3, 4, 5, 6, 7, 8 радиусом R=ОМ.

13) Построение правильных многоугольников, вписанных в окружность – деление окружности на n равных частей по заданной стороне показано на Рис. 1.13.

Рис. 1.13

Провести в окружности заданного радиуса R диаметр АВ и разделить его на заданное число равных частей (на рис. 1.13 n = 9). Из точек А и В, как из центров, провести дуги окружности радиуса 2R до их пересечения в точках К и М. Используя полученные точки К и М в качестве центров, провести семейство лучей через четные или нечетные точки деления диаметра АВ до пересечения с заданной окружностью. Полученные на окружности точки 1, 2,..., 9 — искомые точки деления окружности на заданное число частей.

Погрешность построения описанным способом — в пределах 0,01 R, что достаточно для практических целей.

Деление окружности на n равных частей можно также выполнить, используя данные табл. 1, где приведены длины сторон правильных многоугольников, вписанных в окружность единичного диаметра. Для получения номинального размера стороны n-угольника достаточно табличное значение длины стороны при выбранном n умножить на числовое значение диаметра окружности.

Таблица 1

Длины сторон правильных многоугольников, вписанных в окружность диаметром d=1

Число сторон n	Длина стороны а	Число сторон n	Длина стороны а	Число сторон n	Длина стороны а
	0,8660		0,2079		0,1161
	0,7071		0,1951		0,1120
	0,5878		0,1838		0,1045
	0,5000		0,1736		0,0980
	0,4389		0,1646		0,0923
	0,3827		0,1564		0,0872
	0,3420		0,1490		0,0826
	0,3090		0,1423		0,0785
	0,2817		0,1362		0,0747
	0,2588		0,1305		0,0713
	0,2393		0,1253		0,0654
	0,2225		0,1205		0,0627

14) Построение правильных многоугольников по заданной стороне показано на Рис. 1.14.

Рис. 1.14

Сторону АВ разделить точкой О пополам и восставить в этой точке перпендикуляр к АВ. Из точек А и В радиусом R=АВ провести дуги до их пересечения в точке 1. Треугольник А1В — искомый.

Для построения квадрата надо восставить в точках А и В перпендикуляры к АВ и продолжить их до пересечения в точках С и D с дугами R=АВ. Квадрат ACDB — искомый.

В квадрате ACDB провести диагонали и отметить точку 2 их пересечения. Разделить расстояние между точками 1 и 2 пополам точкой 3, которая будет служить центром окружности для вписанного в нее правильного пятиугольника со стороной АВ.

Последовательно откладывая расстояние 1-3 от точки 1 вверх по перпендикуляру, отметить точки 4, 5, 6,..., которые будут служить центрами окружностей для построения соответственно семи-, восьми-, девятиугольника и т. д. с заданной стороной АВ. Радиусами проводимых при этом окружностей являются расстояния от точки А до соответствующих центров.

По данным табл. 2 можно по заданной длине а стороны определить радиус R описанной окружности.

Таблица 2.

Зависимость радиуса R описанной окружности от длины а стороны вписанного многоугольника

Число сторон п	Радиус R	Число сторон n	Радиус R
	0,577aо		1,307a
	0,707aо		1,462a
	0,851а		1,618a
	1,000а		1,755a
	1,152о		1,932л

СОПРЯЖЕНИЯ

Сопряжением принято называть плавный переход прямой линии в дугу окружности или одной дуги в другую. Общая для этих линий точка называется точкой сопряжения.

В основе алгоритма решения задач на построение сопряжений лежат следующие правила:

Правило 1. Прямая, касательная к окружности, составляет прямой угол с радиусом, проведенным в точку касания.

Правило 2. Геометрическим местом центров окружностей, касательных к данной прямой, является прямая, параллельная заданной прямой и отстоящая от нее на величину радиуса окружности.

Правило 3. Точка касания двух окружностей (точка сопряжения) находится на линии, соединяющей их центры.

В общем случае построение сопряжения двух линий при заданном радиусе сопряжения, состоит из следующих этапов:

1. Построение множества точек, находящихся на расстоянии радиуса сопряжения от первой из сопрягаемых линий.

2. Построение множества точек, находящихся на расстоянии радиуса сопряжения от второй из сопрягаемых линий.

3. Определение на пересечении множества точек центра дуги сопряжения.

4. Определение точки сопряжения на первой (или второй) из сопрягаемых линий.

5. Проведение дуги сопряжения в зоне между точками сопряжения.

15). Сопряжение дуги окружности и прямой линии дугой заданного радиуса R₁представлено на Рис. 1.15, где а - внешнее касание, б - внутреннее касание.

Рис. 1.15

Внешнее касание (рис. 1.15, а). Центр О₁ дуги сопряжения находится на пересечении вспомогательной прямой, отстоящей от заданной прямой на величину радиуса R₁, и дуги радиуса R + R₁, из центра О. Точки сопряжения К и М находятся соответственно в основании перпендикуляра О₁К и на пересечении пряной ОО₁ с основной окружностью.

Внутреннее касание (рис. 1.15, б). Центр О₁ дуги сопряжения находится на пересечении вспомогательной прямой, отстоящей от заданной прямой на величину радиуса R, и дуги радиуса R-R₁ из центра О. Точки сопряжения — соответственно в основании перпендикуляра О₁К и на пересечении продолжения луча ОО₁ с основной окружностью.

16, 17, 18). Сопряжение двух дуг окружностей дугой заданного радиуса представлено на Рис. 1.16, где а - внешнее касание, б - внутреннее касание и с - смешанное касание.

Рис. 1.16

Внешнее касание (рис. 1.16, а). Центр О₃ искомой дуги радиуса R₃ находится на пересечении вспомогательных окружностей, описанных из центров О₁ и О₂ соответствующими радиусами R₁+ R₃ и R₂ + R₃.

Внутреннее касание (рис. 1.16, б). Центр О₃ искомой дуги радиуса 7?3 находится на пересечении вспомогательных окружностей, описанных из центров О{ и О2 соответствующими радиусами R₃-R₁ и R₃-R₂.

Смешанное касание (внешнее и внутреннее) (рис. 1.16, в). Центр искомой дуги радиуса R₃находится на пересечении вспомогательных дуг, проведенных из центров О₁ и О₂ соответствующими радиусами R₃-R₁ и R₃+R₂. Для всех случаев точки сопряжения окружностей К и М лежат по правилу 3 на лучах, соединяющих центры сопрягаемых окружностей.

19) Построение овала представлено по двум его осям на Рис. 1.17

Овал — плоская, замкнутая, выпуклая, плавная кривая, состоящая из взаимно сопрягающихся дуг окружностей различных радиусов. Построение овала выполняется дугами окружностей из соответствующих центров О₁, О₂, О₃ и О₄.

Построение овала может осуществляться различными способами (по двум осям, делением большей оси на 3 части, при отношении осей 3^1/2, делением большей оси на 4 части) представлено на Рис. 1.17

Рис. 1.17

Первый способ (рис. 1.17а). Для нахождения центров О₁О₂ необходимо:

1. отложить на малой оси отрезок ОЕ = ОА (длину большой полуоси);

2. провести прямую АС и отложить на ней от точки С отрезок СК= СЕ;

3. восставить срединный перпендикуляр n к отрезку АК;

4. на пересечении с заданными осями овала отметить положение центров О₁ и О₂. Два других центра О₃ и О₄ симметричны О₁ и О₂ относительно точки О пересечения осей овала;

5. из центров O₁ и О₃ провести дуги окружностей радиусом R₂;

6. на продолжении лучей О₁О₂, О₂О₃, О₄О₁ и О₄О₃, соединяющих найденные центры, отметить точки сопряжения 1, 2, 3, 4 и соединить их дугами окружностей: R₁ = О₂2, R₂ = О₃2.

Второй способ — при заданном соотношении осей АВ=√3 CD (рис. 1.17б):

1. из центра О пересечения осей овала радиусом ОА провести дугу до пересечения с продолжением малой оси CD и отметить точки О₂, О₄;

2. аналогично радиусом ОС описать дугу до пересечения с большой осью АВ в точках О₁ и О₃;

3. провести лучи через полученные центры О₁...О₄;

4. провести дуги сопряжения радиусами R₁ = О₂С, R₂ = О₁А до пересечения с лучами в точках 1, 2, 3 и 4.

Третий способ. Построение овала делением большой оси на четыре равные части (рис. 1.17в):

1. через центр О большой оси АВ перпендикулярно АВ провести малую ось;

2. из того же центра О радиусом ОО₁ = ОА/2 описать окружность и на ее пересечении с малой осью отметить центры О₃ и О₄;

3. из центров О₁ и О₂ описать дуги окружностей радиусом R₁ = О₁А;

4. на продолжениях лучей, соединяющих центры малых и больших дуг, отметить точки сопряжения 1, 2, 3 и 4 при их пересечении с дугами R₁;

5. из центров О₃ и О₄ провести дуги окружностей радиусом R₂ = О₃1, замыкающие овал.

Четвертый способ. Построение овала делением большой оси на три равные части (рис. 1.17г):

1. разделить большую ось АВ овала натри равные части, отметив центры О₁ и О₂;

2. описать из центров О₁ и О₂ окружности радиусом R₁ = АВ/3 и отметить точки О₃ и О₄ их взаимного пересечения как центры сопрягаемых дуг овала;

3. на лучах, соединяющих центры сопрягаемых дуг, при их пересечении с окружностями радиуса R₁ отметить точки сопряжения 1, 2, 3, 4; описать дуги окружностей из центров О₃ и О₄, замыкающие овал.

20) Построение эллипса по двум его осям представлено на Рис. 1.18 и 1.19

Первый способ (рис. 1.18). На заданных осях эллипса—большой АВ и малой CD — построить как на диаметрах две концентрические окружности. Одну из них разделить на 8...12 равных или неравных частей и через точки деления и центр О провести радиусы до их пересечения с большой окружностью. Через точки (1,2,...) деления большой окружности провести прямые, параллельные малой оси CD, а через точки (1',2',...) деления малой окружности — прямые, параллельные большой оси АВ.

Точки пересечения соответствующих прямых принадлежат искомому эллипсу. Полученную совокупность точек, включая точки на большой и малой осях, последовательно соединить от руки плавной кривой, которую затем обвести по лекалу.

Рис. 1.18

Второй способ (рис. 1.19). На большой оси эллипса как на диаметре АВ построить вспомогательную окружность. В произвольной точке К на продолжении большой оси восставить перпендикуляр n и отложить на нем отрезки, равные заданным полуосям эллипса: KM = a; KN = b. Выбрать на продолжении большой оси эллипса произвольную точку О и соединить ее прямыми с точками М и N. Далее для каждой из произвольно выбранных точек 1, 2,... на вспомогательной окружности построить две линии: прямую, параллельную малой оси эллипса, и ломаную 11'1''1'", опирающуюся в точках 1' и 1" соответственно на прямые ОМ и ON. При этом прямая 11'║1"1'" и параллельна большой оси эллипса. На пересечении построенных прямых отметить точки 1'", 2'",... искомого эллипса. Недостающие точки других четвертей эллипса строятся симметрично относительно осей.