Свойства множественных операций

Понятие множества

Начало созданию теории множеств дал немецкий математик Георг Кантор (1845 – 1918). Понятие «множества» он формулировал следующими словами: «Под множеством понимают объединение в одно общее объектов, хорошо различаемых нашей интуицией или нашей мыслью» или «множество - это многое, мыслимое в качестве единого».

Это определение нельзя рассматривать как строгое математическое определение. Это лишь описание идеи. Ведь слова «объединение», «совокупность» или «класс» ничем не хуже слова «множество». Понятие «множества» принимается как основное, первоначальное или исходное, не сводимое к другим, более ранним понятиям.

Примеры множеств:

1) множество гласных букв в русском алфавите;

2) множество людей, присутствующих в данный момент в данной комнате;

3) множество молекул воды в данном конкретном стакане;

4) множество точек, являющихся вершинами некоторого многоугольника;

5) множество сочетаний из 13 элементов по 7 и т.д..

Все приведенные примеры множеств обладают одним существенным свойством – эти множества состоят из конечного числа элементов. Конечного в том смысле, что на вопрос «сколько?» всегда можно дать определенный ответ в виде известного (или в данный момент не известного, но, тем не менее, определенного) целого числа.

Множества, состоящие лишь из конечного числа элементов, называются конечными множествами.

В математике часто приходится сталкиваться с другими – не конечными, или, как принято говорить, бесконечными множествами. Примерами бесконечных множеств могут послужить числовые множества:

Примеры числовых множеств:

1) ℕ– множество всех натуральных чисел – {1,2,3, …};

2) ℤ – множество всех целых чисел – {…,-2,-1,0,1,2,…};

3) ℚ – множество рациональных чисел (это числа, которые могут быть представлены в виде дроби, числитель которой – целое число, а знаменатель – натуральное, т.е. x = a / b, где a -целое, b -натуральное);

4) ℝ – множество вещественных (действительных) чисел (это все рациональные и иррациональные числа);

5) ℂ – множество комплексных чисел (это числа, вида х = a +i b, где a и b -вещественные, i–мнимая единица: i²= ‑1);

6) ℝ² – множество всех упорядоченных пар вещественных чисел (x, y), – вся вещественная плоскость;

7) ℝ ⁿ – n ‑мерное вещественное пространство, где n – натуральное число, – множество всех упорядоченных последовательностей из n вещественных чисел («энок») или n ‑мерное вещественное пространство.

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается Æ. Пустое множество конечно. Число элементов в пустом множестве равно нулю.

2 .Способы задания множества

Все элементы некоторого определенного множества обладают некоторым свойством, общим для всех элементов этого множества. Например: множество всех четных чисел; множество всех белых гусей; множество букв русского алфавита. Поэтому для задания множества можно:

1) либо задать свойство, которым должны обладать все его элементы;

2) либо указать (перечислить) все элементы этого множества.

Оба этих подхода, в сущности, представляют одно и то же, разница лишь во внешнем оформлении.

Тот факт, что х является элементом множества М, записывается так: х Î М. В этом случае говорят, что х входит в М, содержится в М или принадлежит М. Если х не является элементом множества М, то пишут х Ï М.

То, что некоторое множество М состоит из элементов x, y, …, t,… записывают так: М ={ x, y,…, t,…}, где многоточием обозначаются не выписанные элементы. Например: A ={ a, b, c }, M ={2,4,6,8,10,…}.

Если элементы множества обозначаются при помощи некоторых индексов, например: х _a, х _b,…, х _g,…, то пишут также: М =í х _dý_dÎG, где G=ía, b,…,g,…ý – множество индексов.

Совокупность множеств í М _a, М _b,…, М _g,…ý = í М _dý_dÎG - называется системой множеств (где Г=ía, b,…,g,…ý – индексное множество).

То, что множество состоит из элементов, обладающих некоторым свойством, записывают так: М ={ x: ………}, где на месте многоточия перечисляют свойства элементов. Читается это так: «множество М состоит из элементов х, таких, что…». Например: M ={ x: x = a /2, где а и x Îℤ}.

Для некоторых числовых множеств имеются свои способы записи:

Отрезок числовой оси: [ a, b ]={ x: a ≤ x ≤ b, где a, b, x Îℝ и a ≤ b }.

Интервал: (a, b)={ x: a < x < b, где a, b, x Îℝ и a < b }.

Полуинтервал: (a, b ]={ x: a < x ≤ b, где a, b, x Îℝ и a < b },

или [ a, b)={ x: a ≤ x < b, где a, b, x Îℝ и a < b },

или (-∞, b ]={ x: x ≤ b и b, x Îℝ },

или [ a, +∞)={ x: x ≥ a и a, x Îℝ }.

Два множества называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов, т.е. A = B тогда и только тогда, когда для любого элемента a Î A следует: a Î B, и для любого элемента b Î B следует: b Î A.

Таким образом, множество однозначно определяется своими элементами и не зависит от порядка их записи. Например, множество из трех элементов a, b и c допускает 6 видов записи: { a, b, c }= { a, c, b }= { b, a, c }= { b, c, a }= { c, a, b }= { c, b, a }.

Если все элементы множества A являются одновременно элементами множества B, то A называется подмножеством или частью множества B.

Пишут A Í B или В Ê А, читается: А входит в В, или А содержится в В, или В содержит А, или В покрывает А. Множество В называется в этом случае надмножеством А. Таким образом, A Í B тогда и только тогда, когда для любого элемента a Î A следует: a Î B.

Очевидно, если A Í B и В Í А, то А = В.

Пустое множество является подмножеством любого множества, а любое множество является одним из своих подмножеств.

Если A Í B и А ¹ В, то А называется собственным подмножеством множества В, а В – собственным надмножеством множества А.

Пишут A Ì B или В É А. Таким образом, A Ì B тогда и только тогда, когда для любого элемента a Î A следует: a Î B, и существует элемент b Î B такой, что b Ï A. Символическая запись последней фразы: A Ì B Û " a Î A => a Î B и $ b Î B: b Ï A.

Множество всех подмножеств данного множества А называется булеаном А и обозначается 2 ^А. Число элементов в булеане конечного множества из n элементов равно 2 ⁿ.

Множество, являющееся надмножеством любого множества в данном рассуждении, называют универсальным множеством или универсумом и обозначают ℧.

Операции над множествами

Объединением двух множеств A и B (или теоретико-множественной суммой) называется множество, состоящее из всех элементов, являющихся элементами хотя бы одного из множеств A или B. Таким образом, .

Объединением системы множеств называется множество .

Для графического изображения операции объединения множеств используются диаграммы Эйлера-Венна, где множества представлены как замкнутые области, а результат операции показан заштрихованной частью (см. рис.1).

Пересечением двух множеств A и B (или теоретико-множественным произведением) называется множество элементов, принадлежащих одновременно и A, и B. Таким образом, и .

Диаграмма Эйлера-Венна для пересечения двух множеств показана на рис.2.

Пересечением системы множеств называется множество .

Множества называются дизъюнктными (или непересекающимися), если . Аналогично для системы множеств: множества дизъюнктны, если любые два из них дизъюнктны.

Относительным дополнением множества B до множества A (или теоретико-множественной разностью) называется множество тех элементов A, которые не являются элементами B, таким образом, A \ B и . Диаграмма на рис.3.

Очевидно, что если , то . И в общем случае произвольных множеств A и B имеет место равенство .

Абсолютным дополнением множества A называется множество всех элементов, не принадлежащих A, таким образом, или ℧ \ A, где ℧ –универсальное множество. Диаграмма на рис.4.

Симметрической разностью двух множеств A и B называется объединение двух разностей A \ B и B \ A, т.е. A Å B = (A \ B) (B \ A). Диаграмма на рис.5.

Примеры:

1) Пусть , . Тогда ; ; ; ; .

2) Пусть - отрезок, - полуинтервал. Тогда ; ; ; ; ; ; .

3) Пусть А – множество прямоугольников, В – множество всех ромбов на плоскости. Тогда ={все прямоугольники и ромбы}; ={все квадраты}; А \ В ={прямоугольники, за исключением квадратов}; В \ А ={ромбы без квадратов}.

4) Пусть .

Рассмотрим систему множеств тогда ; .

5) Пусть .

Тогда ℝ², .

Свойства множественных операций

1) Для любого множества A – свойство «нуля».

2) Для любого множества A Þ A ∪℧ = ℧, A ∩℧ = A – свойство «единицы».

3) Для любого множества A – идемпотентность.

4) Для любых множеств А и В и – коммутативность.

5) Для любых множеств А, В и С и – ассоциативность.

6) Для любых множеств А, В и С и – дистрибутивность объединения и пересечения. Для системы множеств и .

7) Для любого множества A – закон двойного отрицания.

8) а) Для любых множеств А и В и – законы де Моргана для абсолютного дополнения.

б) Для любых множеств А, В и С и – законы де Моргана для относительного дополнения.

в) Обобщенные законы де Моргана: пусть А – фиксированное множество и . Тогда и , т.е. дополнение к объединению равно пересечению дополнений, а дополнение к пересечению равно объединению дополнений.

9) Если .

Если .

Если .

10) Для любых множеств А и В и – законы поглощения.