Определение направляющих косинусов

Для определения направляющих косинусов воспользуемся извест­ными из аналитиче­ской геометрии формулами связи исходных (x, y) и преобра­зованных (x΄, y΄) координат то­чек при повороте координатных осей на угол φ, отсчитываемый против часовой стрелки:

(6)

и

.

Для определения направляющих косинусов выполним преобразо­вание ко­ординатной системы Sxyz в систему SXYZ путем трех по­сле­довательных поворотов вокруг коор­динатных осей, каждый из которых описывается форму­лами (6), и найдем произведение соответствующих этим поворотам мат­риц. При этом будем использовать угловые элементы внешнего ориен­тиро­ва­ния a, w и c. Из трех углов, связывающих системы Sxyz и SXYZ, один (c) ле­жит в плоскости Sxy, другой (a) – в плоскости SXZ, а третий угол (w) - в плоскости SoY, не являющейся коор­динатной ни в системе Sxyz, ни в системе SXYZ.

Необходимо преобразовать систему Sxyz в систему SXYZ в ре­зультате трех после­до­вательных поворотов ее координатных осей на углы –c, –w, –a, форми­руя мат­рицу ортогонального пре­обра­зования на основе зависимостей (6).

1. Первый поворот системы Sxyz на угол –c вокруг оси Sz преоб­ра­зует ее в систему Sx¢y¢z (рис. 3.8). Мат­рица ор­тогональ­ного преоб­разова­ния

(7)

2. Второй поворот системы Sx¢y¢z на угол – w вокруг оси Sx¢ пре­об­разует ее в Sx¢Yz¢ (рис. 3.8). При этом оси Sx¢ и Sz¢ окажутся лежа­щими в плос­кости SXZ, а матрица орто­го­нального преобразова­ния бу­дет иметь вид:

(8)

3. Третий поворот системы Sx¢Yz¢ вокруг оси SY на угол – a пре­об­разует ее в сис­тему SXYZ (рис. 3.8). Матрица ортогонального пре­об­разо­вания будет иметь вид:

(9)

Матрица преобразования, соответствующая суммарному повороту, определяется как произведение трех матриц:

Перемножить матрицу, значит составить новую, каждый элемент которой равен сумме произведений строк первой матрицы на элементы столбцов второй.

(10)

.

где направляющие косинусы вычисляют по формулам:

(11)

Для связи направляющих косинусов с угловыми эле­ментами внеш­него ориентирования первойсистемы a _c, t и c¢ вы­полним три последо­вательных поворота системы SXYZ: вокруг оси SZ на угол t в положение Sx¢y¢Z; вокруг оси Sy¢ на угол a _c в положе­ние Sx¢¢y¢z; во­круг оси Sz на угол c¢ в положение Sxyz. Перемножив соответст­вующие мат­рицы ортогонального преобразо­вания, получим значения направляющих косинусов.

(12)

Если известны направляющие косинусы, то угловые элементы внеш­него ориентиро­вания в первой и второй системах можно опреде­лить по следующим формулам:

(13)

(14)

Знак суммарного угла наклона a _c второй системы условимся счи­тать соответствую­щим знаку про­доль­ного угла наклона a первой сис­темы элементов внешнего ориентирования.