Определение. Комплексное число z называется пределом последовательности {zn}, если для "e>0 $N(e):для "n³N ïzn-zï<e.
Обозначения: {zn}®z; 
zn=z.
Примеры. а) (1+z/n)n=ez, (z=x+iy); б) arg[(-1)n/n] не $, т.к arg[(-1)n/n]=0 при четных n, а при нечетных n arg[(-1)n/n]=p.
Каждый член последовательности zn=an+ibn: {zn}={an}+i{bn}- одновременное задание двух действительных последовательностей.
Теорема 1.1. Необходимым и достаточным условием сходимости {zn}®z= a+ib является требование {an}®a; {bn}®b.
Доказательство.
Необходимость. "e>0 $N(e): ïzn-zï<e для "n³N Þ ïan-aï£ïzn-zï<e,
ïbn-bï£ïzn-zï<e Þ {an}®a, {bn}®b.
Достаточность. "e>0 $N1(e): ïan-aï<e/2 для "n³N1, $N2(e): ïbn-bï<e/2 для "n³N2 Þ N=max{N1,N2}: ïzn-zï£ïan-aï+ïbn-bï<e для "n³N. n
Определение. Последовательность {zn} называется ограниченной,
если $A: "n ïznï<A.
Любая сходящаяся последовательность ограничена.
Теорема 1.2. Из всякой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.
Доказательство. Основано на Теореме Больцано-Вейерштрасса и соответствующем свойстве сходящихся ограниченных последовательностей вещественных чисел. Поскольку {zn}ограничена, то соответствующие ей действительные последовательности {an} и {bn} также ограничены (ïanï,ïbnï£ïan+i bnï=(an2+bn2)1/2=ïznï<A для "n).
Т.к. ïanï<A Þ $ {ank}®a: ïaï<A. Последовательности {ank} соответствует {bnk}: ïbnkï<AÞ $ {bnl}®b, причем {anl}®a Þ (по Теореме Больцано-Вейерштрасса) {znl}®z=a+ib: ïzï<A. n
Критерий Коши. Необходимым и достаточным условием сходимости {zn}®z является требование, чтобы для "e>0 $N(e):для "n³N и "m>0ïzn+m-znï<e.
Доказательство. (§) Основано на Теореме1.1 и критерии Коши для последовательности действительных чисел.
Необходимость. Т.к. последовательность {zn} (zn= an+i bn) сходится, то сходятся и действительные последовательности (по Теореме 1.1) Þ для "e>0 $N1(e):для "n³N1(e) и "m>0 ïan+m-anï<e/2 и $N2(e): для "n³N2(e)и "m>0 ïbn+m-bnï<e/2. Þ$N(e)= max{N1,N2}: ïzn+m-znï<e для "n>N(e) (в силу неравенства треугольника).
Достаточность.
Из того, что ïzn+m-znï<e для Þïan+m-anï, ïbn+m-bnï£ïzn+m-znï<e, что является достаточными условиями сходимости {an} и {bn}, т.е {zn}. n
Теорема 1.3. Если, то,
 |  |
,.
Неограниченно возрастающие последовательности. Если для "A>0 $N(A): ïznï>A для "n>N(A), то последовательность {zn} называется неограниченно возрастающей.
Примеры. а) zn=zn при |z|>1; б) zn= i n.
В обычном смысле она не сходится, но оказывается удобным считать, что $z¥=¥ zn=¥. Единственная бесконечно удаленная точка комплексной
плоскости. Все неограниченно возрастающие последовательности сходятся к этой единственной точке. Если {zn} неограниченно возрастающая, то
{xn=1/ zn}®0. Отсюда легко получить правила арифметических действий с бесконечно удаленной точкой: 1/¥=0,. 1/0=¥, z·¥=¥, z¹0, z+¥=¥, z/¥=0, z¹¥. Операции 0/0 и ¥/¥ являются неопределенными.
Определение комплексная плоскость C, дополненная бесконечно удаленной точкой называется расширенной комплексной плоскостью.
Определение Окрестностью бесконечно удаленной точки называется 
внешность круга с центром в начале координат достаточно большого радиуса R.
§2. Понятие функции комплексной переменной.
Пусть на комплексной плоскости задано множество E и закон, ставящий "zÎE в соответствие определенное комплексное число w: z®w, тогда говорят, что на E задана функция комплексной переменной f(z)=w. E- множество задания f(z); Множество M – значений соответствующих w- множество значений f(z). Задание f(z) есть задание соответствия (отображения) E®M.
Примеры. а) w=az+b (поворот, растяжение и параллельный перенос),
б)w=zn, в) w=1/z (симметричное отражение относительно вещественной оси, инверсия).
Структура множеств E и M может быть весьма разнообразной. Мы будем рассматривать случаи, когда E и M- области на комплексной плоскости.
Понятие области комплексной плоскости – это то же самое, что и понятие области плоскости (x,y).
Определение. Областью g комплексной плоскости Z называется множество точек этой плоскости, удовлетворяющее условиям:
1) Все zÎg являются внутренними точками g.
2) Любые z1, z2 Îg можно соединить ломаной с конечным числом звеньев, состоящих только из zÎg.
Примеры. а) |z|<1 - область; б) |z|£1-не область; в) {z: |z|<1}È{z: |z-5i|<1} не область;
Напомним понятие внутренней точки.
Определение. Точка z0 называется внутренней точкой множества g, если $ e-окрестность точки z0 : ïz-z0ï<e все точки которой принадлежат g.
Примеры. а) z=0 - внутренняя точка множества |z|<1; б) z=i - не является внутренней точкой множества |z|£1.
Таким образом, в определении области условие
1) означает, что g- открытое множество.
2) означает, что g- связное множество.
Итак, область - открытое связное множество.
Определение. Точка z0 называется граничной точкой множества g, если в " ее e-окрестности имеются как zÎg, так и zÏg.
Примеры. а) z=0 - граничная точка множества |z|>0; б) z=i - граничная точка множества |z|£1.
Совокупность граничных точек области g называется границей области g. (обозначения: ¶g, C, G, S и т.д.)
Граница множества может состоять из конечного числа точек, и даже из одной точки (как, например, у множества |z|>0).
Определение. Замыкание области g, состоящее в присоединении к g ее границы ¶g называется замкнутой областью `g =g+¶g.
Множество |z|£1 - замкнутое.
На расширенной комплексной плоскости замкнутое множество называется компактным.
Итак, будем рассматривать случай, когда w=f(z) задана в g и отображает g на область D комплексной плоскости w.
Отображение однозначно (по определению).
Если z1, z2 Îg и z1¹ z2: f(z1)=w1¹w2= f(z2), то отображение взаимно однозначно g«D.
В этом случае g называется областью однолистности f(z) и f(z) называется однолистной в g.
Примеры. а) w=const, w=az+b -однозначные и однолистные. Геометрический смысл: растяжение в k раз, поворот на угол a, параллельный перенос вдоль вектора b. Единственное отображение, сохраняющее подобие всех фигур;
б) w=zn - однозначные, но не однолистные. Например w=z2
Область однолистности— полуплоскость Любая прямая, не проходящая через точку z= 0 отображается в параболу. Декартова сеть линий в верхней полуплоскости отображается в 2 взаимно ортогональных семейства софокусных парабол. Область Imz>0 отображается во всю плоскость w с разрезом вдоль положительной вещественной полуоси, а область Rez>0 – в плоскость w с разрезом вдоль отрицательной вещественной полуоси.
 |
в) w= 
- не однозначная функция. Две ветви
Определение. Если для точки z можно указать такую ε-окрестность, что при однократном обходе точки z по любому замкнутому контуру, целиком лежащему в этой ε-окрестности, одна ветвь многозначной функции переходит в другую, то точка z называется точкой ветвления данной многозначной функции.
Для нашей функции, точками ветвления являются точки
На плоскости с разрезом по отрицательной части вещественной оси
 | |||
 | |||
каждая ветвь— однозначная функция. главная ветвь
г) w=1/z - Однозначная, однолистная на всей комплексной плоскости. Геометрический смысл: симметричное отражение относительно вещественной оси и инверсия относительно единичной окружности.
 |
д) функция Жуковского Однозначная, однолистная в
 |
любой области, где для
 | |||
 |
В частности, области однолистнстности:
Полярная сеть во внешности единичного круга отображается в сеть софокусных эллипсов и гипербол с фокусами в точках w=±1. Но и внутренность единичного круга отображается туда же.
е) w=ez- однозначные, но не однолистные.
 |
Области однолистности
ж) w=Ln zº ln|z|+i Arg(z), Многозначная функция. Точки ветвления
з) w=za
Однозначная, не однолистная. Область однолистности: сектор раскрыва
 | |||
 | |||
n — значная.
 |  |
значная.
и) гиперболические функции
к) тригонометрические функции
л) обратные гиперболические функции
 | |||||
 | |||||
 | |||||
Замечание. Здесь и далее ставим перед корнем знак «+», т.к. в ТФКП корень всегда двух знаков. С большой буквы обозначаются все значения многозначной функции
и) обратные тригонометрические функции
При g«D в D $ обратная функция z=j(w), осуществляющая отображение D®g.
Если отображение g®D однозначно, но не однолистно, то можно говорить об обратной функции, но она не будет однозначной.
Об этом позже.
При z=x+iy, f(z)=w=u+iv=u(x,y)+iv(x,y). Тем самым задание f(z) в g комплексной плоскости z есть одновременное задание двух действительных функций двух действительных переменных в области g плоскости (x,y). Поэтому свойства функций комплексной переменной во многом определяются свойствами функции двух действительных переменных.
§3. Непрерывность функции комплексной переменной.
п1. Понятие предела (предельного значения) функции комплексной переменной в точке z0Îg.
Определение 1. (по Гейне) Комплексное число w0 называется пределом f(z), zÎg, в точке z0Îg, если для "{zn}®z0 соответствующая последовательность {f(zn)}®w0.
Замечание. Предполагается, что z0 является точкой сгущения (предельной точкой множества g.
Определение. Точка z0Îg называется точкой сгущения (предельной точкой) множества g, если в " e- окрестности точки z0 содержатся точки множества g, отличные от z0.
Определение 2. (по Коши) Комплексное число w0 называется пределом f(z), zÎg, в точке z0Îg, если для "e>0 $d(e,z0)>0: ½f(z)-w0½<e, как только 0<½z-z0½<d
Обозначение: 
f(z)= w0.
Замечание. Это определение имеет смысл лишь при конечных значениях z0 и w0 в отличие от определения предела по Гейне.
Определения по Гейне и по Коши эквивалентны, что легко доказать самим.
Доказательство. (§)
1) 2®1 (Коши®Гейне). Пусть f(z) удовлетворяет 2. Возьмем "e>0 и выберем соответствующее d(e)>0. Рассмотрим произвольную последовательность {zn}®z0 и найдем N[d(e)]=N(e): для "n³ N(e) 0<½zn-z0½<d. Тогда по условию 2. 0<½f(zn)-w0½<e для "n³ N(e). А т.к. e>0- любое и {zn}®z0-произвольная, то это значит, что {f(zn)}®w0, т.е. выполнено 1.
2) 1®2 (Гейне®Коши). Предположим противное: пусть верно1, а 2- неверно. Это значит, что $e0>0, что "dn>0 $znÎg, что при 0<½zn-z0½<dn,будет выполнено ½f(z)-w0½>e0. Выберем {dn}®0 и соответствующую ей последовательность {zn}, удовлетворяющую предыдущим неравенствам. Тогда получим, что ${zn}®z0, а {f(zn)}не ® w0. Т.е. 1.- неверно. Получили противоречие. Сделанное предположение неверно. Т.е. из 1®2. n
Определение непрерывности f(z) в точке z0. Функция комплексной переменной f(z), zÎg, называется непрерывной в точке z0Îg, если $ ограниченный предел:
f(z)= w0 и w0= f(z0), т.е. f(z)= f(z0).
Очевидно, при этом достаточно малая d- окрестность точки z0 отображается f(z) на достаточно малую e- окрестность точки w0= f(z0).
Определение непрерывности функции в точке в терминах e-d. Функция комплексной переменной f(z), zÎg, называется непрерывной в точке z0Îg, если "e>0 $d(e,z0)>0: для "z: ½z-z0½<d; ½f(z)-f(z0)½<e.
Замечание 1. Это определение распространяется как на внутренние, так и на граничные точки множества.
Определение. Точка z0 называется изолированной точкой множества g, если в $ такая ее e-окрестность, в которой нет других точек множества g.
Замечание 2. По определению функция считается непрерывной в изолированной точке z0Îg.
Замечание 3. Понятие непрерывности функции f(z), zÎg, в точке z0Îg справедливо и в случае бесконечно удаленной точки z0=¥.
При этом под пределом функции f(z) при z®¥ по Гейне надо понимать предел последовательности {f(zn)}, где {zn}- " неограниченно возрастающая последовательность.
В e-d определении непрерывности функции f(z) при z®¥ условие ½z-z0½<d надо заменить на условие ½z½>R.
Примеры: а) функции w=az+b, w=z*, w=const, w=Re z, w=zn, w=|z| - являются непрерывными на всей комплексной плоскости.
б) функция w=arg(z) является непрерывной нам всей комплексной плоскости, за исключением точек z=0, z=¥, и точек, лежащей на положительной части действительной полуоси.
Основное определение. Функция комплексной переменной f(z), zÎg, называется непрерывной в области g, если она непрерывна в "zÎg.
Обозначение: f(z)ÎC(g).
Аналогично определяются понятия f(z)ÎC(`g), и f(z)ÎC(¶g). При этом при определении непрерывности по Гейне в zÎ`g или zζg надо рассматривать последовательности {zn}, состоящие только из точек znÎ`g или znζg.
Замечание 4. В случае понятия непрерывности по Коши для f(z)ÎC(g) для заданного e d зависит от (e,z) (d=d(e,z)), т.е. на e- окрестность " точки w=f(z)ÎD отображается d-окрестность соответствующей точки z, где d для различных z- различна.
Пусть f (z)= u (x, y)+ iv (x, y), u (x, y), v (x, y)- действительные функции действительных переменных.
Теорема 3.1. Необходимым и достаточным условием f (z)Î C (g) является требование, чтобы u (x, y) и v(x, y) были непрерывны в области g плоскости (x, y) по совокупности переменных.
Теорема 3.2. Пусть f(z) и h(z) Î C (g). Тогда f(z)±h(z) Î C (g), f(z)*h(z) Î C (g), и f(z)/h(z) Î C (g), когда h(z)≠0
