Сходящиеся последовательности.

Итак, будем рассматривать случай, когда w=f(z) задана в g и отображает g на область D комплексной плоскости w.

Отображение однозначно (по определению).

Если z₁, z₂ Îg и z₁¹ z₂: f(z₁)=w₁¹w₂= f(z₂), то отображение взаимно однозначно g«D.

В этом случае g называется областью однолистности f(z) и f(z) называется однолистной в g.

Примеры. а) w=const, w=az+b -однозначные и однолистные. Геометрический смысл: растяжение в k раз, поворот на угол a, параллельный перенос вдоль вектора b. Единственное отображение, сохраняющее подобие всех фигур;

б) w=zⁿ - однозначные, но не однолистные. Например w=z²

Область однолистности— полуплоскость Любая прямая, не проходящая через точку z= 0 отображается в параболу. Декартова сеть линий в верхней полуплоскости отображается в 2 взаимно ортогональных семейства софокусных парабол. Область Imz>0 отображается во всю плоскость w с разрезом вдоль положительной вещественной полуоси, а область Rez>0 – в плоскость w с разрезом вдоль отрицательной вещественной полуоси.

в) w= - не однозначная функция. Две ветви

Определение. Если для точки z можно указать такую ε-окрестность, что при однократном обходе точки z по любому замкнутому контуру, целиком лежащему в этой ε-окрестности, одна ветвь многозначной функции переходит в другую, то точка z называется точкой ветвления данной многозначной функции.

Для нашей функции, точками ветвления являются точки

На плоскости с разрезом по отрицательной части вещественной оси

каждая ветвь— однозначная функция. главная ветвь

г) w=1/z - Однозначная, однолистная на всей комплексной плоскости. Геометрический смысл: симметричное отражение относительно вещественной оси и инверсия относительно единичной окружности.

д) функция Жуковского Однозначная, однолистная в

любой области, где для

В частности, области однолистнстности:

Полярная сеть во внешности единичного круга отображается в сеть софокусных эллипсов и гипербол с фокусами в точках w=±1. Но и внутренность единичного круга отображается туда же.

е) w=e^z- однозначные, но не однолистные.

Области однолистности

ж) w=Ln zº ln|z|+i Arg(z), Многозначная функция. Точки ветвления

з) w=z^a

Однозначная, не однолистная. Область однолистности: сектор раскрыва

n — значная.

значная.

и) гиперболические функции

к) тригонометрические функции

л) обратные гиперболические функции

Замечание. Здесь и далее ставим перед корнем знак «+», т.к. в ТФКП корень всегда двух знаков. С большой буквы обозначаются все значения многозначной функции

и) обратные тригонометрические функции

При g«D в D $ обратная функция z=j(w), осуществляющая отображение D®g.

Если отображение g®D однозначно, но не однолистно, то можно говорить об обратной функции, но она не будет однозначной.

Об этом позже.

При z=x+iy, f(z)=w=u+iv=u(x,y)+iv(x,y). Тем самым задание f(z) в g комплексной плоскости z есть одновременное задание двух действительных функций двух действительных переменных в области g плоскости (x,y). Поэтому свойства функций комплексной переменной во многом определяются свойствами функции двух действительных переменных.

§3. Непрерывность функции комплексной переменной.

п1. Понятие предела (предельного значения) функции комплексной переменной в точке z₀Îg.

Определение 1. (по Гейне) Комплексное число w₀ называется пределом f(z), zÎg, в точке z₀Îg, если для "{z_n}®z₀ соответствующая последовательность {f(z_n)}®w₀.

Замечание. Предполагается, что z₀ является точкой сгущения (предельной точкой множества g.

Определение. Точка z₀Îg называется точкой сгущения (предельной точкой) множества g, если в " e- окрестности точки z₀ содержатся точки множества g, отличные от z₀.

Определение 2. (по Коши) Комплексное число w₀ называется пределом f(z), zÎg, в точке z₀Îg, если для "e>0 $d(e,z₀)>0: ½f(z)-w₀½<e, как только 0<½z-z₀½<d

Обозначение: f(z)= w₀.

Замечание. Это определение имеет смысл лишь при конечных значениях z₀ и w₀ в отличие от определения предела по Гейне.

Определения по Гейне и по Коши эквивалентны, что легко доказать самим.

Доказательство. (§)

1) 2®1 (Коши®Гейне). Пусть f(z) удовлетворяет 2. Возьмем "e>0 и выберем соответствующее d(e)>0. Рассмотрим произвольную последовательность {z_n}®z₀ и найдем N[d(e)]=N(e): для "n³ N(e) 0<½z_n-z₀½<d. Тогда по условию 2. 0<½f(z_n)-w₀½<e для "n³ N(e). А т.к. e>0- любое и {z_n}®z₀-произвольная, то это значит, что {f(z_n)}®w₀, т.е. выполнено 1.

2) 1®2 (Гейне®Коши). Предположим противное: пусть верно1, а 2- неверно. Это значит, что $e₀>0, что "d_n>0 $z_nÎg, что при 0<½z_n-z₀½<d_n,будет выполнено ½f(z)-w₀½>e₀. Выберем {d_n}®0 и соответствующую ей последовательность {z_n}, удовлетворяющую предыдущим неравенствам. Тогда получим, что ${z_n}®z₀, а {f(z_n)}не ® w₀. Т.е. 1.- неверно. Получили противоречие. Сделанное предположение неверно. Т.е. из 1®2. n

Определение непрерывности f(z) в точке z₀. Функция комплексной переменной f(z), zÎg, называется непрерывной в точке z₀Îg, если $ ограниченный предел:

f(z)= w₀ и w₀= f(z₀), т.е. f(z)= f(z₀).

Очевидно, при этом достаточно малая d- окрестность точки z₀ отображается f(z) на достаточно малую e- окрестность точки w₀= f(z₀).

Определение непрерывности функции в точке в терминах e-d. Функция комплексной переменной f(z), zÎg, называется непрерывной в точке z₀Îg, если "e>0 $d(e,z₀)>0: для "z: ½z-z₀½<d; ½f(z)-f(z₀)½<e.

Замечание 1. Это определение распространяется как на внутренние, так и на граничные точки множества.

Определение. Точка z₀ называется изолированной точкой множества g, если в $ такая ее e-окрестность, в которой нет других точек множества g.

Замечание 2. По определению функция считается непрерывной в изолированной точке z₀Îg.

Замечание 3. Понятие непрерывности функции f(z), zÎg, в точке z₀Îg справедливо и в случае бесконечно удаленной точки z₀=¥.

При этом под пределом функции f(z) при z®¥ по Гейне надо понимать предел последовательности {f(z_n)}, где {z_n}- " неограниченно возрастающая последовательность.

В e-d определении непрерывности функции f(z) при z®¥ условие ½z-z₀½<d надо заменить на условие ½z½>R.

Примеры: а) функции w=az+b, w=z^*, w=const, w=Re z, w=zⁿ, w=|z| - являются непрерывными на всей комплексной плоскости.

б) функция w=arg(z) является непрерывной нам всей комплексной плоскости, за исключением точек z=0, z=¥, и точек, лежащей на положительной части действительной полуоси.

Основное определение. Функция комплексной переменной f(z), zÎg, называется непрерывной в области g, если она непрерывна в "zÎg.

Обозначение: f(z)ÎC(g).

Аналогично определяются понятия f(z)ÎC(`g), и f(z)ÎC(¶g). При этом при определении непрерывности по Гейне в zÎ`g или zζg надо рассматривать последовательности {z_n}, состоящие только из точек z_nÎ`g или z_nζg.

Замечание 4. В случае понятия непрерывности по Коши для f(z)ÎC(g) для заданного e d зависит от (e,z) (d=d(e,z)), т.е. на e- окрестность " точки w=f(z)ÎD отображается d-окрестность соответствующей точки z, где d для различных z- различна.

Пусть f (z)= u (x, y)+ iv (x, y), u (x, y), v (x, y)- действительные функции действительных переменных.

Теорема 3.1. Необходимым и достаточным условием f (z)Î C (g) является требование, чтобы u (x, y) и v(x, y) были непрерывны в области g плоскости (x, y) по совокупности переменных.

Теорема 3.2. Пусть f(z) и h(z) Î C (g). Тогда f(z)±h(z) Î C (g), f(z)*h(z) Î C (g), и f(z)/h(z) Î C (g), когда h(z)≠0