I. .
1) . , : z1=(a1,b1), z2=(a2,b2). z1=z2 Û a1=a2, b1=b2. . - .
2) . z1+z2=(a1+a2,b1+ b2).
: (0,1)+(1,0)=(1,1).
3) . z1z2=(a1 a2-b1 b2, a1b2+a2b1).
.
: .
(b,0)x(0,1)=(0,b)= ib - .Þ z=a+ib=Re z+i Im z.
.
4) . z1-z2=(a1-a2,b1- b2).
5) . .
. 1/i = -i.
. .
: i2=i*i=(0,1)(0,1)=-1.
z=(a,b)=a+ib. z2=(a+ib)2=a2+2iab-b2=(a2-b2)+i2ab => Re z2=(a2- b2), Im z2=2ab.
7) . z=(a, b)=a+ib; Re z= a, Im z=b;
z*= (a,-b)=a-ib. Re z*=a; Im z*= -b. => Re z =(z+z*)/2; Im z =(z-z*)/2i.
. (z1z2)*= z1*z2*; (z1z2)*= z1*z2*;(z1/z2)*= z1*/z2*; (z*)*=z.
. z z*=(a+ib)(a-ib)=a2+b2; (z z) *=(z2)*= (a2- b2)-i2ab; z1/z2= z1 z2*/ z2 z2*.
i *=-i; 1*=1.
.
II. .
z=(x,y)=x+iy <=> (x,y).
. .
Im z=0- .
Re z=0- .
φ , .
..
.
. ) |z-z0|=a (a>0) - z0 a;
) |z-z0|<a (a>0) - z0 a;
) |z-z0|>a (a>0) - z0 a;
) a<|z-z0|<b (0<a<b) - z0;
) arg(z-z0)= j - , z0, j .
) a<arg(z-z0)<b - z0 b-a.
) Re z= a - , || , (a,0);
) Im z= b - , || , (0,b);
R2 C, , . .
(x,y)(r,j), x=.r cos j, y=r sin j, r=(x2+y2)1/2=ïzï=((Re z)2+(Im z)2)1/2- ,
|
|
tg j=y/x. j=j0+2pk- .
Arg z=arg z+2pk, 0£ arg z £2p.
0=(0,0) 0, .
: z=r(cosj+isinj)=reij- ( ) - .
. )|z|2=z z*=a2+b2.; z2¹|z|2;
)z=1: |1|=1, arg 1=0; 1=1(cos 0 +i sin 0)= 1ei0;
) z=i: |i|=1, arg i=p/2; i=1(cos p/2 +i sin p/2)= 1eip/2;
) z=-1: |-1|=1, arg (-1)= p; -1=1(cos p +i sin p)= 1eip;
) z=-i: |-i|=1, arg (-i)= 3p/2; -i=1(cos 3p/2 +i sin 3p/2)= 1ei3p/2;
e) z=1+i: |1+i|= , arg (1+i)= p/4; 1+i= (cos p/4 +i sin p/4)= eip/4;
) z=eij; |eij|=1, arg (eij)= j; eij=1 (cos j +i sin j);
) z=-eij; |-eij|=1, arg (-eij)= p+j; -eij=1 (cos(p+j) +i sin(p+j))=ei(p+j)