I. Действия с комплексными числами.
1) Равенство. Два комплексных числа равны, если равны их действительные и мнимые части: z1=(a1,b1), z2=(a2,b2). Если z1=z2 Û a1=a2, b1=b2.Операция сравнения не определена. Множество комплексных чисел- неупорядоченное множество.
2) Сложение. z1+z2=(a1+a2,b1+ b2).
Пример: (0,1)+(1,0)=(1,1).
3) Умножение. z1·z2=(a1 a2-b1 b2, a1b2+a2b1).
Операции сложения и умножения включают действия с действительными числами.
Пример: Умножение чисто вещественного числа на чисто мнимое число.
(b,0)x(0,1)=(0,b)= ib -тем самым чисто мнимое число есть произведение соответствующего действительного числа на мнимую единицу.Þ алгебраическая форма записи комплексного числа z=a+ib=Re z+i Im z.
Обратные операции.
4) Вычитание. z1-z2=(a1-a2,b1- b2).
5) Деление. 
.
Пример. 1/i = -i.
Возведение в целую степень. Действия с многочленами.
Примеры: i2=i*i=(0,1)(0,1)=-1. 
z=(a,b)=a+ib. z2=(a+ib)2=a2+2iab-b2=(a2-b2)+i2ab => Re z2=(a2- b2), Im z2=2ab.
7) Комплексное сопряжение. z=(a, b)=a+ib; Re z= a, Im z=b;
z*= (a,-b)=a-ib. Re z*=a; Im z*= -b. => Re z =(z+z*)/2; Im z =(z-z*)/2i.
Некоторые свойства. (z1±z2)*= z1*±z2*; (z1z2)*= z1*z2*;(z1/z2)*= z1*/z2*; (z*)*=z.
Примеры. z z*=(a+ib)(a-ib)=a2+b2; (z z) *=(z2)*= (a2- b2)-i2ab; z1/z2= z1 z2*/ z2 z2*.
i *=-i; 1*=1.
Комплексные числа можно изображать точками на комплексной плоскости.
II. Геометрическая интерпретация комплексных чисел.
z=(x,y)=x+iy <=> точка плоскости (x,y).
Взаимно однозначное соответствие. Комплексная плоскость.
Ось абсцисс Im z=0- действительная ось.
Ось ординат Re z=0- мнимая ось.
φ считается положительным, если измеряется против хода часовой стрелки.
Введем понятие модуля к.ч. 
Простейшие множества точек на комплексной плоскости.
Примеры. а) |z-z0|=a (a>0) - окружность с центром в точке z0 радиуса a;
б) |z-z0|<a (a>0) - открытый круг с центром в точке z0 радиуса a;
в) |z-z0|>a (a>0) - внешность открытого круг с центром в точке z0 радиуса a;
г) a<|z-z0|<b (0<a<b) - открытое кольцо с центром в точке z0;
д) arg(z-z0)= j - луч, с началом в точке z0, идущий под углом j к положительному направлению действительной оси.
е) a<arg(z-z0)<b - внутренность неограниченного открытого сектора с вершиной в точке z0 и углом раскрыва b-a.
ж) Re z= a - прямая, || мнимой оси, проходящая через точку (a,0);
з) Im z= b - прямая, || действительной оси, проходящая через точку (0,b);
Определение Числовая плоскость R2 называется комплексной плоскостью C, если для ее точек определены модули, операции сложения и умножения. Точки комплексной плоскости С называются комплексными числами.
Тригонометрическая и показательная формы записи комплексного числа
Полярные координаты (x,y)«(r,j), где x=.r cos j, y=r sin j, r=(x2+y2)1/2=ïzï=((Re z)2+(Im z)2)1/2- модуль комплексного числа,
tg j=y/x. j=j0+2pk- аргумент комплексного числа.
Arg z=arg z+2pk, 0£ arg z £2p.
Для комплексного числа 0=(0,0) модуль равен 0, а аргумент не определен.
Тригонометрическая форма записи комплексного числа: z=r(cosj+isinj)=reij- (формула Эйлера) - показательная форма записи комплексного числа.
Примеры. а)|z|2=z z*=a2+b2.; z2¹|z|2;
б)z=1: |1|=1, arg 1=0; 1=1(cos 0 +i sin 0)= 1ei0;
в) z=i: |i|=1, arg i=p/2; i=1(cos p/2 +i sin p/2)= 1eip/2;
г) z=-1: |-1|=1, arg (-1)= p; -1=1(cos p +i sin p)= 1eip;
д) z=-i: |-i|=1, arg (-i)= 3p/2; -i=1(cos 3p/2 +i sin 3p/2)= 1ei3p/2;
e) z=1+i: |1+i|= 
, arg (1+i)= p/4; 1+i= (cos p/4 +i sin p/4)= eip/4;
ж) z=eij; |eij|=1, arg (eij)= j; eij=1 (cos j +i sin j);
з) z=-eij; |-eij|=1, arg (-eij)= p+j; -eij=1 (cos(p+j) +i sin(p+j))=ei(p+j)
