Квадратурные формулы интерполяционного типа
Будем рассматривать формулы приближенного вычисления интегралов
, (3.25)
где 
заданная интегрируемая функция (так называемая весовая функция) и 
достаточно гладкая функция. Рассматриваемые далее формулы имеют вид
, (3.26)
где 
и 
числа, 
.
В отличие от предыдущего параграфа не будем разбивать отрезок 
на частичные отрезки, а получим квадратурные формулы путем замены 
интерполяционным многочленом сразу на всем отрезке . Полученные таким образом формулы называются квадратурными формулами интерполяционного типа. Как правило, точность таких формул возрастает с увеличением числа узлов интерполирования. Рассмотренные в п. 3.1 формулы прямоугольников, трапеции и Симпсона являются частными случаями квадратурных формул интерполяционного типа, когда 
, 
.
Получим выражения для коэффициентов квадратурных формул интерполяционного типа. Пусть на отрезке заданы узлы интерполирования 
, . Предполагается, что среди этих узлов нет совпадающих, в остальном они могут быть расположены как угодно на .
Функцию будем заменять интерполяционным полиномом Лагранжа (см. лекция 2, формула (2.4))
,
Часто выражение 
записывают в другом виде. Введем многочлен 
степени 
и вычислим его производную в точке :
Тогда получим, что
Заменяя в интеграле (3.25) функцию интерполяционным многочленом Лагранжа
, (3.27)
получим приближенную формулу (3.26) (доказать, дом. зад. №4), где
, . (3.28)
Таким образом, формула (3.26) является квадратурной формулой интерполяционного типа тогда и только тогда, когда ее коэффициенты вычисляются по правилу (3.28).
Метод Гаусса вычисления определенных интегралов
В предыдущем параграфе предполагалось, что узлы квадратурных формул заданы заранее. Можно показать, что если использовать 
узлов интерполяции, то получим квадратурные формулы, точные для алгебраических многочленов степени 
. Оказывается, что за счет выбора узлов можно получить квадратурные формулы, которые будут точными и для многочленов степени выше . Рассмотрим следующую задачу: построить квадратурную формулу
, (3.29)
которая при заданном была бы точна для алгебраического многочлена возможно большей степени. Здесь для удобства изложения нумерация узлов начинается с 
.
Такие квадратурные формулы существуют. Они называются формулами Гаусса. Эти формулы точны для любого алгебраического многочлена степени 
.
Итак, потребуем, чтобы квадратурная формула (3.29) была точна для любого алгебраического многочлена степени 
. Это эквивалентно требованию, чтобы формула была точна для функций 
, 
. Отсюда получаем условия
, , (3.30)
которые представляют собой нелинейную систему 
уравнений относительно 
неизвестных
.
Для того, чтобы число уравнений равнялось числу неизвестных, надо потребовать 
.
При рассмотрении квадратурных формул (3.29) общего вида, введем многочлен
. (3.31)
Будем полагать, что 
.
Теорема 1. Квадратурная формула (3.29) точна для любого многочлена степени тогда и только тогда, когда выполнены два условия:
1. Многочлен ортогонален с весом 
любому многочлену 
степени меньше , т.е.
. (3.32)
2. Формула (3.29) является квадратурной формулой интерполяционного типа, т.е.
, 
. (3.33)
Без доказательства.
Использование теоремы 1 существенно упрощает построение формул Гаусса.
Условие (3.32) эквивалентно требованиям
, 
, (3.34)
которые представляют собой систему уравнений относительно неизвестных 
. Таким образом, для построения формул Гаусса достаточно найти узлы из соотношений ортогональности (3.34) и затем вычислить коэффициенты 
согласно (3.33).
Рассмотрим несколько частных случаев, когда решение системы (3.34) можно найти непосредственно.
Пусть , 
, 
. При 
получаем 
и
, 
,
, 
.
(получить решение, дом. зад. №4).
