Интерполирование многочленом Лагранжа или Ньютона на всем отрезке 
с использованием большого числа узлов интерполяции часто приводит к плохому приближению, что объясняется сильным накоплением погрешностей в процессе вычислений. Кроме того, из-за расходимости процесса интерполяции увеличение числа узлов не обязано приводить к повышению точности. Для того, чтобы избежать больших погрешностей, весь отрезок разбивают на частичные отрезки и на каждом частичном отрезке приближенно заменяют функцию 
многочленом невысокой степени (так называемая, кусочно-полиномиальная интерполяция).
Одним из способов интерполирования на всем отрезке является интерполирование с помощью сплайн-функций. Сплайн-функцией или сплайном называют кусочно-полиномиальную функцию, определенную на отрезке и имеющую на этом отрезке некоторое число непрерывных производных.
Преимуществом сплайнов перед обычной интерполяцией является, во-первых, их сходимость и, во-вторых, устойчивость процесса вычислений.
Рассмотрим построение кубического сплайна. Пусть на задана непрерывная функция . Введем сетку
и обозначим 
, 
.
Кубическим с плайном, соответствующим данной функции 
и данным узлам 
называется функция 
, удовлетворяющая следующим условиям:
а) на каждом сегменте 
, 
, функция является многочленом третьей степени.
б) функция , а также ее первая и вторая производные непрерывны на 
.
в) 
, 
.
Последнее условие называется условием интерполирования, а сплайн, определяемый условиями а)-в), называется также интерполяционным кубическим сплайном.
Докажем существование и единственность сплайна, определяемого перечисленными выше условиями. Приведенное ниже доказательство содержит также способ построения сплайна.
На каждом из отрезков , будем искать функцию = 
в виде многочлена третьей степени
= 
, 
, , (2.19)
где 
коэффициенты, подлежащие определению. Смысл введенных коэффициентов очевиден:
.
Из условий интерполирования 
, 
. Доопределим, кроме того, 
.
Требование непрерывности функции приводит к условиям
, 
,
отсюда, учитывая выражение для функции , получаем при 
уравнения
.
Обозначая 
, перепишем это уравнение в виде
, 
. (2.20)
Условие непрерывности первой производной
, 
приводят к уравнениям
, . (2.21)
Из условия непрерывности второй производной
, ,
получаем уравнения
, 
. (2.22)
Объединяя (2.20)-(2.22), получаем систему 
уравнений относительно 
неизвестных 
, 
.
Недостающие уравнения получают, задавая те или иные граничные условия для . Предположим, например, что функция удовлетворяет условию 
. Тогда естественно требовать, чтобы 
. Отсюда получаем 
, т.е. 
, 
.
Таким образом, приходим к замкнутой системе уравнений для определения коэффициентов кубического сплайна:
, , 
, (2.23)
, , (2.24)
, . (2.25)
Методом исключения неизвестных, получаем (дом. задание №2)
, (2.26)
, .
Система уравнений (2.26) имеет единственное решение. Матрица полученной системы линейных алгебраических уравнений трехдиагональная. Решение такой системы уравнений можно найти методом прогонки. По найденным коэффициентам 
коэффициенты 
определяются с помощью явных формул
, . (2.27)
Итак, существует единственный кубический сплайн, определяемый условиями а)-в) и граничными условиями 
. Можно рассматривать и другие граничные условия.
Интерполирование кубическими сплайнами является сходящимся процессом. Это означает, что при неограниченном увеличении числа узлов 
соответствующая последовательность сплайн-функций сходится к интерполируемой функции . Оценки погрешности интерполяции 
зависят от выбора сеток и от гладкости .
Если рассматривать последовательность равномерных сеток
с шагом 
. В этом случае система уравнений (2.26)-(2.27) существенно упрощается:
,
, . (2.28)
Можно получить оценку
, (2.29)
где 
, 
кубический сплайн, построенный для функции на сетке 
.
