Интерполяционная формула Ньютона
Эта формула позволяет выразить интерполяционный многочлен 
через значение функции в одном из узлов и разделенные разности функции 
, построенные по узлам 
. Она является разностным аналогом формулы Тейлора
Мы получили формулу (2.8) для разделенной разности 
-го порядка
. (2.10)
В общем случае
.
Интерполяционным многочленом Ньютона называется многочлен
2.11)
Можно показать, что многочлен Ньютона 
, определяемый по формуле (2.11), совпадает с многочленом Лагранжа 
, определяемым по формуле (2.4).
Подчеркнем, что формулы (2.4) и (2.11) представляют собой различную запись одного и того же многочлена
,
удовлетворяющего условиям интерполирования
.
Интерполяционную формулу Ньютона удобно применять в том случае, когда интерполируется одна и та же функция 
, но число узлов интерполяции постепенно увеличивается. Если число узлов интерполяции фиксированы и интерполируется не одна, а несколько функций, то удобнее пользоваться формулой Лагранжа.
Замечание. При выводе формулы (2.11) не предполагается, что узлы 
расположены в каком-то определенном порядке. Поэтому роль точки 
в формуле (2.11) может играть любая из точек . Соответствующее множество интерполяционных формул можно получить из (2.11) перенумерацией узлов. Например, тот же самый многочлен 
можно представить в виде
(2.12)
Формула (2.11) называется формулой интерполирования вперед, а формула (2.12) называется формулой интерполирования назад.
Поскольку многочлены Лагранжа и Ньютона отличаются только формой записи, представление погрешности в виде (2.5):
, 
справедливо как для формулы Лагранжа, так и для формулы Ньютона. Можно доказать, что погрешность интерполирования можно представить через разделенную разность:
. (2.13)
Сопоставляя (2.5) и (2.13), видим, что существует точка , для которой
= 
. (2.14)
Формула (2.14) устанавливает связь между разделенной разностью порядка и 
-й производной функции .
Оптимальный выбор узлов интерполирования
Величину 
, входящую в оценку (2.13), можно минимизировать за счет выбора узлов интерполирования. Задача состоит в том, чтобы подобрать узлы 
, так, чтобы минимизировать величину
.
Эта задача решается с помощью многочлена Чебышева:
, (2.15)
причем в качестве узлов интерполирования надо взять корни многочлена (2.15), т.е. точки
, 
.
При этом
и оценка остаточного члена примет вид
, (2.16)
где 
.
О сходимости интерполяционного процесса
Возникает вопрос, будет ли стремиться к нулю погрешность интерполирования 
, если число узлов сетки неограниченно возрастает. Ответ, вообще говоря, отрицательный.
Сформулируем определение скорости сходимости интерполяционного процесса. Множество точек 
, таких, что
называется сеткой на отрезке 
и обозначается через 
. До сих пор предполагалось, что число узлов интерполяции фиксировано. Переходя к изучению сходимости, необходимо рассмотреть последовательность сеток с возрастающим числом узлов:
, 
,..., 
,...
Пусть функция определена и непрерывна на . Тогда можно задать последовательность интерполяционных многочленов 
, построенных для функции по ее значениям в узлах сетки 
.
Говорят, что интерполяционный процесс для функции сходится в точке 
, если существует
.
Кроме поточечной сходимости рассматривается сходимость в различных нормах. Например, равномерная сходимость на отрезке 
означает, что
.
Свойство сходимости или расходимости интерполяционного процесса зависит как от выбора последовательности сеток, так и от гладкости функций .
Известны примеры несложных функций, для которых интерполяционный процесс расходится. Так, последовательность интерполяционных многочленов, построенных для непрерывной функции 
по равномерноотстоящим узлам на отрезке 
, не сходится к функции 
ни в одной точке отрезка , кроме точек 
.
С другой стороны, для заданной непрерывной функции можно добиться сходимости за счет выбора расположения узлов интерполяции. То есть, если непрерывна на , то найдется такая последовательность сеток, для которой соответствующий интерполяционный процесс сходится равномерно на .
Следует заметить, что построить такие сетки чрезвычайно сложно и, кроме того, для каждой функции требуется своя сетка. В практике вычислений избегают пользоваться интерполяционными многочленами высокой степени. Вместо этого применяются кусочнополиномиальная интерполяция, которая будет рассмотрена ниже.
