Интерполяционный многочлен Лагранжа

Интерполирование и приближение функций

В этом разделе будут рассмотрены способы вычисления приближенных значений функций и ее производных в случае, когда известны значения функции в некоторых фиксированных точках

 

Постановка задачи приближения функций

1. Простейшая задача, приводящая к приближению функций, заключается в следующем. В дискретные моменты времени определяются значения функции ; требуется восстановить ее значения при других значениях .

Иногда, из каких либо соображений известно, что приближающую функцию целесообразно искать в виде

.

Если параметры определяются из условия совпадения и приближающей функции в точках , так называемых узлах интерполяции,

, ,

то такой способ приближения называют интерполированием.

2. Если точка , в которой вычисляется значение , лежит вне отрезка , то наряду с термином интерполяция употребляют термин экстраполяция.

Узлы должны располагаться недалеко друг от друга, поскольку многие детали поведения аппроксимируемой функции могут быть утеряны. Если узлы расположены очень близко друг к другу, то увеличивается роль погрешностей в используемой информации. Таким образом, вопрос о выборе узлов интерполяции и экстраполяции непрост, особенно в задачах, где значения исследуемой функции зависят от многих случайных факторов.

В качестве приближающих функций можно выбрать различные их классы: полиномы, многочлены, тригонометрические, дробно-рациональные и т.д. Вид приближающей функции существенно зависит от цели, с которой осуществляется приближение.

 

Интерполяционный многочлен Лагранжа

Среди способов интерполирования наиболее распространен случай линейного интерполирования, когда приближение ищется в виде

,

где известные фиксированные функции, значения неизвестных коэффициентов определяются из условия совпадения с приближаемой функцией в узлах интерполирования :

, . (2.1)

Метод решения задачи, при котором коэффициенты определяются непосредственным решением системы (2.1), называется методом неопределенных коэффициентов.

Наиболее изучен случай интерполирования полиномами

. (2.2)

Тогда , , и система уравнений имеет вид

, . (2.3)

Непосредственное нахождение коэффициентов с помощью решения этой системы уже при сравнительно небольших , например при , приводит к катастрофическому искажению коэффициентов вычислительной погрешностью.

Для дальнейшего нам потребуется символ Кронекера:

Задача интерполирования будет решена, если удастся построить многочлены степени не выше такие, что при . Многочлен

будет искомым интерполяционным многочленом. В самом деле,

;

кроме того, многочлен степени . Из условия , получаем

.

Интерполяционный многочлен, записанный в форме

, (2.4)

называется интерполяционным многочленом Лагранжа.