2.3.1. Гармонические (синусоидальные) ток и напряжение
Синусоидальный ток представляет собой ток, изменяющийся во времени по синусоидальному закону (рис. 2.9):
(2.21)
Соответственно для синусоидального напряжения имеет место аналогичная формула: 
(2.22)
Максимальное значение функции (Im или Um) называют амплитудой. Период Т — это время, за которое совершается одно полное колебание.
Частота равна числу колебаний в 1 с:
f = 1/T (2.23)
Единица частоты f — герц (Гц) или с-1. Угловая частота
ω =2π f (2.24)
Единица угловой частоты — рад/с.
Рис. 2.9
Аргумент синуса, т. е. (ωt + φ), называют фазой. Фаза характеризует состояние колебания (числовое значение) в данный момент времени t.
Любая синусоидально изменяющаяся функция определяется тремя величинами: амплитудой, угловой частотой и начальной фазой.
В России и Западной Европе наибольшее распространение получили установки синусоидального тока частотой 50 Гц, принятой в энергетике за стандартную. В США стандартной является частота 60 Гц.
Диапазон частот практически применяемых сннусоидальных токов очень широк: от долей герца, например, в геологоразведке, до миллиардов герц (гигагерц) в радиотехнике.
Синусоидальные токи и э д. с. сравнительно низких частот (до нескольких килогерц) получают, как правило, с помощью механических генераторов. Синусоидальные токи и э. д. с. высоких частот получают с помощью специальных полупроводниковых (и ламповых) генераторов. Источник синусоидальной э. д. с. и источник синусоидального тока обозначают на электрических схемах теми же символами, что и источники постоянной э. д. с. и тока, но вводят в их обозначения зависимость от времени: e(t ) и i(t).
Положив для простоты в выражениях (2.21) и (2.22) φ = 0, получим следующее выражение для закона Ома в случае активного сопротивления при гармоническом воздействии:
u = RImsinωt =Umsinωt (2.25)
или:
i = GUm sinωt = Imsinωt (2.26)
где R = 1/G, R – активное сопротивление, G – активная проводимость,
Um и Im – амплитуды напряжения и тока.
Как видно из соотношений (2.25) и (2.26), ток и напряжение в рассматриваемом элементе находятся в фазе.
Мгновенная мощность электрических колебаний в активном сопротивлении определяется выражением
p = ui = Ri2 = Gu2
Положительной является также и величина энергии, рассеиваемой на активном сопротивлении за любой конечный интервал времени t – t0 > 0:
Для линейной индуктивности связь между приложенным к ней напряжением u и проходящим через неё током i выражается соотношением:
(2.27)
Отсюда следует, что при отсутствии начального тока, протекавшего через индуктивность, величина тока в момент времени t определится соотношением:
В случае гармонического воздействия, т.е. когда i = Imsin(ωt + φ0) из формулы (2.27) получим:
(2.28)
Из соотношения (2.28) видно, что амплитуда напряжения на индуктивности определяется выражением UmL = ωLIm, а роль индуктивного сопротивления XL играет величина ωL.
Кроме того, гармонические колебания напряжения на зажимах индуктивности опережают по фазе колебания тока на угол π/2
Значения средней мощности в идеальном индуктивном элементе оказывается равным 0, т.к. в режиме гармонических колебаний происходит непрерывный обмен энергией между индуктивностью и внешней по отношению к ней цепью без рассеяния энергии.
Для линейной ёмкости зависимость напряжения на её зажимах от тока в случае гармонического (синусоидального) воздействия определяется следующим соотношением:
(2.29)
Таким образом, связь между амплитудой гармонических колебаний напряжения на зажимах ёмкости и протекающего через неё тока имеет вид:
UmC = Im/ωC,
а роль ёмкостного сопротивления RC играет величина 1 /ωC,
Из формулы (2.29) видно, что на зажимах ёмкости колебания напряжения отстают по фазе от колебаний тока на угол π/2
Остановимся теперь несколько подробнее на вопросе оценки мощности в цепи переменного тока при наличии произвольного сдвига фаз φ между током и напряжением
При прохождении переменного тока по электрической цепи можно оценивать или мощность, развиваемую за каждый малый промежуток времени, или среднюю мощность за полный цикл изменения — период. Для квазистационарных процессов мгновенную мощность можно найти как произведение мгновенных значений силы тока в цепи и разности потенциалов на ее концах:
p = iu = imumsinωtsin(ωt + φ)
В этой формуле для простоты записи отсчет времени выбран таким образом, что для одной из величин (например, тока) начальная фаза равна нулю. Из структуры выражения видно, что если разность фаз φ между напряжением и током отлична от нуля, то в некоторые моменты времени р < 0, т. е. развиваемая мощность отрицательна. В эти моменты электрическая цепь не потребляет энергии, а, наоборот, отдает запасенную энергию обратно источнику э. д. с.
Поэтому для оценки полезной работы, совершаемой переменным током, рассматривают среднюю мощность Р за период. При таком рассмотрении, очевидно, необходимо учесть и все моменты, при которых р < 0, так как соответствующие слагаемые вычтутся из общей суммы. Для синусоидального тока:
(2.30)
или:
(2.31)
Величины 
и 
(составляющие ≈ 0,707 от амплитудных величин) называются (по аналогии с постоянным током) действующими или эффективными значениями и их произведение определяет мощность, расходуемую на выделение тепла или выполнение механической работы в цепи. В случае φ = 0, Р = IU, что совпадает с определением мощности при постоянном токе. Понятие действующего значения применяется очень часто.
Большинство измерительных приборов градуируется в действующих значениях. В дальнейшем изложении будут использоваться действующие значения синусоидального тока (или других величин), кроме случаев, оговариваемых особо, или случаев рассмотрения мгновенных значений.
Величина cosφ играет значительную роль в электротехнике, так как определяет эффективность использования электрооборудования. Действительно, для получения той же мощности при cosφ < 1 требуется большее значение либо I, либо U, чем при cosφ = 1. Но электрические установки не могут выдерживать разности потенциалов выше некоторого максимального значения из-за возможного пробоя изоляции и не могут пропускать ток больше расчетного ввиду нагревания проводов. Следовательно, при cosφ < 1 даже при Iмакс и Uмак с от такой установки нельзя получить максимально возможной мощности.
Поэтому на генераторах переменного тока и других устройствах часто обозначают не действительно используемую полезную мощность (она зависит от качества электрической цепи, т. е. от величины cosφ), а произведение UI, представляющее собой кажущуюся мощность, которая измеряется в вольтамперах:
Pк = UI
Полезная же активная мощность, как было найдено выше, равна
Pa = UIcosφ
При прохождении тока через активное сопротивление φ = 0, а 
. Тогда
Pа = I2R
При прохождении тока через индуктивность и емкость 
, следовательно, cosφ = 0, так что и средняя мощность в этих элементах равна нулю. Это объясняется их свойством запасать и затем отдавать энергию без потерь, что привело к названию «реактивные элементы».
Кроме действующего значения, для синусоидально изменяющейся величины иногда используется понятие среднего значения.
Под средним значением синусоидально изменяющейся величины понимают ее среднее значение за полпериода. Так, среднее значение тока
(2.32)
т е. среднее значение синусоидального тока составляет 2/π ≈ 0,638. от амплитудного.
Аналогично, 
, 
Для практических расчётов часто используется графическое изображение синусоидальных функций вращающимися векторами.
Рассмотрим вектор постоянной длины I1, вращающийся в заданной плоскости вокруг точки О с угловой скоростью ω. Введем в указанной плоскости систему прямоугольных координат хОy (рис. 2.10).
Рис. 2.10
Пусть φ1 —угол, образованный ОМ1 с осью Ох в начальный момент времени. Тогда i1 — ордината точки М1 в момент времени t — выражается формулой:
i1 =I1sin(ωt + φ1)
Вектор ОM1 удобно использовать для графического представления синусоидальных функций времени (синус получится при проектировании на ось Оу, косинус — на ось Ох).
Пусть нам нужно сложить две синусоидальные функции с одинаковым периодом, но с разными начальными фазами:
i1 =I1sin(ωt + φ1) и i2 =I2sin(ωt + φ2)
По известному правилу вектор ОМ, изображающий сумму обеих функций i1 и i2 можно получить как геометрическую сумму векторов ОМ1 и ОМ 2, изображающих эти функции. Все три вектора вращаются одновременно с угловой скоростью ω. Из рис 2.10, очевидно, что ордината точки М представляет собой сумму функций I1sin(ωt + φ1) и I2sin(ωt + φ2). Аналогично абсцисса точки М равна сумме функций I1cos(ωt + φ1) и I2cos(ωt + φ2).
Рисунок 2.10 представляет собой простейшую векторную диаграмму.
Отметим теперь, что для наглядности построения векторных диаграмм удобнее предположить, что сами векторы неподвижны, а оси координат вращаются с угловой скоростью ω,
Векторная диаграмма рис. 2.10, отражающая относительное положение суммируемых векторов и осей координат в момент времени t = 0, позволяет определить амплитуду ОМ = I и фазу φ вектора, представляющего собой сумму исследуемых колебаний, и получить следующие соотношения:
Isin(ωt + φ) = I1sin(ωt + φ1) + I2sin(ωt + φ2). (2.33, а)
Icos(ωt + φ) = I1cos(ωt + φ1) + I2cos(ωt + φ2). (2.33, б)
Изображение синусоидальных переменных токов вращающимися векторами весьма удобно в тех случаях, когда приходится складывать несколько токов или изучать фазовые соотношения между ними. Особенно простым получается векторное изображение, когда сдвиги по фазе между рассматриваемыми токами также постоянны (т. е. равны их частоты). Действительно, как видно из соотношений (2.23 а, б), мгновенные значения переменного тока можно складывать алгебраически подобно значениям постоянного тока. В то же время эти мгновенные значения являются проекциями вращающихся векторов. Следовательно, на том основании, что сумма проекций слагаемых равна проекции суммы, можно производить просто геометрическое сложение вращающихся векторов, а значение тока в любой момент времени находить по проекции суммарного вектора.
Естественно, что применение векторного изображения оправдано только для установившихся синусоидальных токов (т.е. таких, амплитуда которых является постоянной величиной), ибо только для них длина вектора не изменяется во времени. Тогда взаимное расположение векторов также будет неизменным, а их сумма — постоянной.
Векторные изображения очень наглядны и дают большую экономию в расчетах, как и методы векторной алгебры по сравнению с аналитическими методами. Следует, однако, заметить, что векторные диаграммы для синусоидальных токов, являясь удобным геометрическим способом изображения, не указывают направления в пространстве (как это имеет место для векторов напряженности поля, магнитной индукции и т. п.). Векторы для переменных токов изображают только амплитуды (своей длиной), а их проекции на оси — лишь мгновенные значения для любого момента времени.
На рис. 2.11, а построены векторные диаграммы для тока и разности потенциалов на различных элементах электрической цепи. Отрезки расположены под углами с учетом фазовых сдвигов. Амплитудные значения и фазовые сдвиги определяются соответственно длиной и взаимным расположением векторов. Поэтому, когда требуется знание только этих величин, векторные диаграммы считают неподвижными и строят их без осей (рис. 2.11, б).
При необходимости определить мгновенные значения, векторы надо вращать с угловой скоростью ω и находить соответствующие проекции на специально построенную ось. Не существенно, выбирается ли длина пропорциональной амплитудным значениям, или действующим, так как отношение этих величин постоянно (√2).
Рис. 2.11. Векторные диаграммы для различных элементов электрической
цепи.
Применение векторных диаграмм может быть распространено на сопротивления и проводимости. В последовательной электрической цепи ток, проходящий через все ее элементы, одинаков. Если разность потенциалов на каждом элементе разделить на ток (используя амплитудные или действующие значения), то в результате получаются значения сопротивлений элементов цепи. Значит, если была построена неподвижная векторная диаграмма для разностей потенциалов, то после деления всех ее отрезков на силу тока, получается подобная векторная диаграмма для сопротивлений
2.3.2. Символический метод анализа.
В предыдущем параграфе был рассмотрен метод расчёта электрических цепей переменного тока, основанный на изображении синусоидальных величин (токов и напряжений) в виде векторных диаграмм.
Целью данного параграфа является исследование возможности применения с аналогичной целью символического метода, основанного на применении комплексных чисел.
Сущность применения символических изображений заключается в представлении синусоидального (косинусоидального) процесса мнимой или вещественной частью комплексного числа. Математические преобразования, диктуемые условиями задачи, выполняются затем над комплексной величиной, символически изображающей действительный процесс.
Рис. 2.12. Эквивалентность комплексных чисел и векторных
диаграмм
Как следует из сказанного выше, символические изображения можно ввести, перенося векторные диаграммы на плоскость комплексных чисел, т. е. используя известную из математики эквивалентность комплексных величин векторам на плоскости (рис.2.12, а). При этом длина вектора, изображающая амплитуду сигнала, соответствует модулю комплексного числа; мгновенные значения рассматриваемой величины, которые при использовании векторных диаграмм соответствовали проекциям вектора на одну из координатных осей, изображаются вещественной или мнимой частью комплексного числа, сложение векторов на диаграмме заменяется сложением комплексных величин и т. д.
Символический метод во многих случаях позволяет значительно упростить расчет электрических цепей в случае гармонического (синусоидального) воздействия. Математические преобразования, диктуемые условиями задачи, выполняются над комплексной величиной, символически изображающей действительный процесс. Геометрическому сложению и вычитанию векторов, отображающих синусоиды одинаковой частоты, соответствует алгебраическое сложение и вычитание комплексов этих векторов.
Дифференцированию мгновенного значения соответствует умножение на jω его векторного отображения, интегрированию — деление на jω. Поэтому применение символического метода приводит к алгебраизации интегро-дифференциальных уравнений.
Окончательный результат выражается, после преобразований комплексной величины, её вещественной или мнимой частью, в соответствии с первоначальным представлением.
Как известно из курса математического анализа, комплексные величины могут записываться несколькими способами:
(2.34)
Различные способы записи тождественны друг другу и связаны следующими соотношениями:
a = Acosφ; b = Asinφ; 
Из этих выражений легко видеть, что синусоидальному току
i = imsinφt (или разности потенциалов, или другой величине) соответствует мнимая часть (точнее, коэффициент при j) следующей комплексной величины:
(2.35)
Эта комплексная величина является символическим изображением синусоидального переменного тока и называется комплексной амплитудой тока i. Комплексная амплитуда изображает ток i в момент времени t = 0.
Итак, в данном случае
где 
обозначает мнимую часть 
Точно так же косинусоидальный ток i = imcosωt может изображаться действительной частью :
Если одновременно рассматриваются несколько процессов, то перед применением символических изображений все они приводятся к одной функции (либо sin, либо cos). Это приведение несложно, так как сводится к введению начального фазового сдвига 
.
Как уже отмечалось, на практике чаще пользуются действующими значениями 
и символом обозначают следующее выражение:
(2.36)
Величина φ (или ωt) в формуле (2.36) в приведенном примере имеет смысл фазы рассматриваемого синусоидального процесса. Изменению φ (или ωt) соответствует поворот вектора на комплексной плоскости, как это и указывалось выше для случая векторной диаграммы.
Итак, при символической записи синусоидальной функции с произвольным начальным сдвигом фаз φ, например и = Umsin(ωt + φ), она отображается вращающимся вектором Umt в комплексной плоскости под углом к вещественной оси, равным (ωt + φ). Вектор Umt может быть записан в виде комплексного числа в алгебраической, тригонометрической или показательной форме:
Umt = ú + jű = Um [cos(ωt + φ) + jsin(ωt + φ)] = Umej(ωt+φ) = 
где 
, а j = 
В практических расчётах часто оперируют с комплексным действующим значением, отображающим неподвижный вектор (в момент времени t = 0):
Комплексное сопротивление. Закон Ома в символической форме.
Как уже отмечалось, сущность символического метода расчета состоит в том, что при синусоидальном токе можно перейти от уравнений, составленных для мгновенных значений и являющихся дифференциальными уравнениями, к алгебраическим уравнениям, составленным относительно комплексов тока и э. д. с.
Этот переход основан на том, что в уравнении, составленном по законам Кирхгофа для установившегося процесса, мгновенное значение тока i заменяют комплексной амплитудой тока İm; мгновенное значение напряжения на резисторе сопротивлением R, равное Ri, — комплексом Rİm, по фазе совпадающим с током İm; мгновенное значение напряжения на индуктивной катушке 
— комплексом İmjωL, опережающим ток на 90°; мгновенное значение напряжения на конденсаторе 
— комплексом 
, отстающим от тока на 90°; мгновенное значение э. д. с. е — комплексом Ėт. Справедливость замены на İmjω следует из формулы (2.28), из которой следует, что амплитуда напряжения. на индуктивности L равна произведению амплитуды тока на XL= ωL. Множитель j свидетельствует о том, что вектор напряжения на катушке индуктивноcnb опережает вектор тока на 90°.
Аналогично, из формулы (2.29) следует, что амплитуда напряжения на конденсаторе равна амплитуде тока, умноженной на 
.
Отставание напряжения на конденсаторе от протекающего по ней тока на 90° обозначает наличие множителя – j.
В качестве примера запишем уравнение для мгновенных значений напряжений для схемы рис. 2.13:
uR + uL + uC = e
Рис. 2.13.
или
(2.37)
В комплексной форме данное уравнение примет вид:
Вынеся İт за скобку, получим.:
(2.38)
Следовательно, для схемы рис. 2.13
Как уже отмечалось, в символическом методе токи и напряжения заменяют их комплексными изображениями или символами. Так, Rİm — это изображение или символ падения напряжения iR резисторе R, jωLİm — изображение или символ падения напряжения 
на катушке индуктивности L, а 
— изображение или символ падения напряжения 
на конденсаторе С.
Множитель 
в уравнении (2.38) представляет собой комплекс, имеющий размерность сопротивления и обозначается через Z. Его называют комплексным сопротивлением:
(2.39)
Как и всякий комплекс, Z можно записать в показательной форме. Модуль комплексного сопротивления принято обозначать через z. Точку над Z не ставят, т.к. её принято ставить только над такими комплексными величинами, которые отображают синусоидальные функции времени.
Уравнение (2.38) можно записать так: İmZ = Ėm. Разделив обе его части на 
, мы перейдем от комплексных амплитуд İт и Ėт к комплексам действующих значений İ и Ė:
(2.40)
Уравнение (2.40) представляет собой закон Ома в комплексной форме для цепи синусоидального тока.
В общем случае Z имеет некоторую действительную часть R и некоторую мнимую часть jX, т.е.:
Z = R = jX
где — R активное сопротивление; X — реактивное сопротивление.
Так, например, для схемы рис 2.13 реактивное сопротивление
