Все элементы электрической цепи условно можно разделить на активные и пассивные. Активным называется элемент, содержащий в своей структуре источник электрической энергии. К пассивным относятся элементы, в которых рассеивается (резисторы) или накапливается (катушка индуктивности и конденсаторы) энергия.
2.1.1. Характеристики пассивных элементов.
К основным характеристикам пассивных элементов цепи относятся их вольтамперные, веберамперные и кулонвольтные характеристики. Указанные характеристики описываются дифференциальными или (и) алгебраическими уравнениями, причём для линейных элементов эти уравнения являются также линейными, а для нелинейных соответственно нелинейными.
Строго говоря, все элементы цепи являются нелинейными. Возможность рассмотрения их как линейных (существенно упрощая математическое описание и анализ процессов в цепи) определяется границами изменения характеризующих их переменных и их частот. Коэффициенты, связывающие переменные, их производные и интегралы в этих уравнениях, называются параметрами элемента.
Как уже отмечалось, пассивные элементы электрической цепи могут быть двух видов: рассеивающие и реактивные.
Рассеивающими элементами цепи (к ним относятся резистивные элементы или активные резисторы) называются такие, в которых при прохождении тока происходит только необратимая затрата электрической энергии. Если же подобной затраты энергии не происходит, то эти элементы называются реактивными. К ним относятся катушки индуктивности и конденсаторы.
При прохождении тока по элементам электрической цепи на них образуется некоторая разность потенциалов, зависящая от силы тока. На этом основании все перечисленные элементы часто объединяют общим названием — сопротивления.
Рассмотрим подробнее процессы, характеризующие каждый из перечисленных пассивных элементов.
Резистивным элементом называют такой элемент, который обладает только свойством рассеивания энергии. Математическая модель резистивного элемента R определяется законом Ома, который устанавливает зависимость напряжения U от тока i, протекающего через сопротивление R. Такую зависимость называют вольтамперной характеристикой (в.а.х.) резистивного элемента и записывают в следующем виде:
U = iR или 
(2.1)
Если в (1.2) положить U = 1В, i = 1А, то R = 1Ом.
Более крупными единицами измерения величины сопротивления являются килоом (1кОм = 103Ом) и мегом (1мОм = 106Ом).
Величина, обратная сопротивлению, называется проводимостью резистора. Она обозначается G и измеряется в сименсах (См). Вольтамперная характеристика для линейного и нелинейного резистивных элементов показаны на рис. 1.2.
Мощность, рассеиваемая резистивным элементом в виде тепла, равна:
P =Ui = Ri2 = GU2 (2.2)
Индуктивным элементом называется такой элемент электрической цепи, который обладает только свойством накопления энергии магнитного поля. Математической моделью индуктивного элемента L является вебер-амперная характеристика, которая устанавливает зависимость суммарного магнитного потока, образованного в витках катушки, (потокосцепления ψ) от величины протекающего через катушку тока i. Уравнение, описывающее свойства индуктивного элемента имеет вид:
Ψ = iL, 
(2.3)
где w – число витков катушки; n – номер витка, с которым сцеплен поток Фn, L – индуктивность катушки.
Если положить в (2.3) ψ = 1 вебер (Вб), i = 1А, то L = 1 генри (Гн). Более мелкими единицами измерения индуктивности являются милигенри и микрогенри (1Гн = 103мГн = 106мкГн).
Согласно закону электромагнитной индукции напряжение на индуктивном элементе пропорционально скорости изменения тока в нем, т.е.
(2.4)
Из (2.4) видно, что при i = const, u = 0. Следовательно, при включении L в цепь постоянного тока свойства индуктивного элемента эквивалентны коротко замкнутому участку цепи.
Мощность электрических колебаний в индуктивном элементе под действием запасенной энергии согласно (2.3 и 2.4) равна:
(2.5)
откуда
(2.6)
Так как направления напряжения u и тока i могут совпадать и не совпадать, то согласно (2.5) мощность может быть как положительной, так и отрицательной. В первом случае (р > 0) индуктивный элемент потребляет энергию, а во втором случае (р < 0) – отдает.
Энергия, запасенная в индуктивном элементе (2.6), всегда положительная.
Емкостным элементом) называют элемент электрической цепи, обладающий только свойством накапливать энергию электрического поля. Математической моделью емкостного элемента С является вольткулоновая характеристика, которая устанавливает зависимость напряжения u от сообщенного емкости C электрического заряда q и определяется выражением:
q = CU или 
(2.7)
Если в выражении (2.7) положить q = 1Кл, u = 1В, то C = 1 Фарада (Ф). Более мелкими единицами измерения емкости являются милифарада (мФ) и микрофарада (мкФ). 1Ф = 103мФ = 1012мкФ
Между током и напряжением на емкости существует связь, определяемая равенством:
(2.8)
Из (2.8) видно, что ток в емкостном элементе пропорционален скорости изменения приложенного к нему напряжения. Если u = сonst, то i = 0, следовательно в цепи постоянного тока емкостной элемент по своим свойствам эквивалентен разрыву цепи.
Мощность электрических колебаний в емкостном элементе под действием запасенной в ней энергии к любому моменту времени t определяется выражением:
(2.9)
откуда 
(2.10)
Так как напряжение u и ток i могут совпадать или не совпадать по направлению, то согласно (2.9) мощность p может быть как положительной, так и отрицательной.
При p > 0 емкостной элемент накапливает энергию, а при p < 0 – отдает. Энергия, запасенная в емкостном элементе к моменту t (2.10) всегда положительна.
В инженерной практике резистивный, индуктивный и емкостной элементы называют сопротивлением, индуктивностью и емкостью.
Следует отметить, что в действительности невозможно получить такой элемент цепи, который являлся бы только сопротивлением, или только индуктивностью, или только емкостью.
Катушка индуктивности обладает активным сопротивлением, так как ее обмотка выполнена из проводника с конечной проводимостью. Как всякое металлическое тело она обладает и емкостью. Конденсатор имеет некоторую индуктивность, так как состоит из отдельных проводников, перемещение зарядов по которым вызывает появление магнитного поля. Потери в диэлектрике конденсатора вызывают его нагревание и, следовательно, являются необратимыми потерями, как ив активном сопротивлении. Отрезок провода, как это следует из аналогичных рассуждений, кроме активного сопротивления имеет и индуктивность, и емкость.
Исследовать прохождение тока в таких сложных элементах цепи, конечно, неудобно. Однако практически часто используются такие элементы, в которых сопротивление одного из перечисленных видов имеет преобладающее значение, а двумя другими видами можно без ущерба для требуемой точности исследования пренебречь. Тогда рассматриваемый элемент цепи можно заменить идеализированным, обладающим только индуктивностью, или только емкостью, или только активным сопротивлением.
В тех же случаях, когда по тем или иным причинам такое упрощение недопустимо, прибегают к замене реального элемента эквивалентной цепью, состоящей из нескольких идеализированных элементов. Таким образом, конденсатор с потерями и катушка индуктивности с заметной величиной активного сопротивления проводников могут быть заменены эквивалентными цепями, приведенными на рис. 1.4, а. Изображенные схемы являются неполными, так как не учитывают емкости между отдельными витками катушки и индуктивности элементов конструкции конденсатора.
В тех случаях, когда эти элементы также нужно учитывать (например, для токов высокой частоты), эквивалентные схемы становятся сложнее (рис. 2.1, б).
Рис. 2.1. Эквивалентные схемы катушки индуктивности и конденсатора для токов средних (а) и высоких (б) частот.
L — индуктивность катушки, С — емкость конденсатора, RL — сопротивление потерь в катушке индуктивности, RC1, RC2 — сопротивления потерь в конденсаторе, CL — емкость, эквивалентная емкости между витками катушки индуктивности, LC — индуктивность конденсатора
Применение эквивалентных цепей значительно облегчает изучение процессов в электрических схемах. При этом можно ограничиться изучением свойств только трех идеализированных элементов R, L и С, а все остальные случаи рассматривать как их комбинации.
Как отмечалось ранее, элементы электрической цепи могут быть линейными (сопротивление таких элементов цепи не зависит от величины протекающего тока или созданной на них разности потенциалов, следовательно, ток в таких элементах пропорционален приложенной разности потенциалов и процессы описываются линейными алгебраическими или дифференциальными уравнениями, составляемыми на основании законов Кирхгофа) и нелинейными (сопротивления которых зависят от величины тока или разности потенциалов и процессы в них описываются нелинейными уравнениями).
Строго говоря, все элементы цепи в той или иной степени нелинейны, и только с известным приближением можно считать их в определенных пределах изменения тока или разности потенциалов линейными. Значения этих пределов зависят от физических условий и требуемой точности исследования. Например, у обычного металлического проводника сопротивление, практически постоянное при слабых токах, увеличивается при значительном повышении силы тока. Увеличение сопротивления в этом случае вызвано нагреванием проводника. При слабом токе (определение малости связано с величиной плотности тока в проводнике) изменение температуры, вызванное прохождением тока по цепи, настолько незначительно, что маскируется другими причинами: изменением температуры среды, лучевым нагреванием и т. п. и, естественно, не должно учитываться.
Нелинейность сопротивлений весьма усложняет исследование электрических цепей, так как решение нелинейных уравнений представляет значительные трудности. Поэтому в тех случаях, когда в определенных пределах изменения тока или разности потенциалов нелинейность оказывается малой, стремятся считать цепи приблизительно линейными.
Рассмотренные выше упрощения могут, конечно, сказываться на общности результатов, и их допустимость необходимо всегда проверять.
Необходимо отметить, что если параметры элемента не являются функциями пространственных координат, определяющих его геометрические размеры, то он называется элементом с сосредоточенными параметрами. Если элемент описывается уравнениями, в которые входят пространственные переменные, то он относится к классу элементов с распределенными параметрами. Классическим примером последних является линия передачи электроэнергии (длинная линия).
2.1.2. Характеристики активных элементов. Источники ЭДС
и источники тока.
Как уже отмечалась, кроме пассивных элементов цепи, таких как сопротивления, емкости и индуктивности, электрическая цепь может содержать активные элементы, к которым относятся источники ЭДС и тока. Их часто называют генераторами. Условные обозначения источников ЭДС и тока показаны на рисунке 2.2.
Рис. 2.2. Условные обозначения на схемах:
а — источник ЭДС — генератор напряжения;
б — источник тока — генератор тока
Генератором ЭДС или генератором напряжения называется источник постоянного или переменного напряжения, имеющий внутреннее сопротивление Rг = 0. Напряжение на его зажимах не изменяется при подключении к нему любого сопротивления нагрузки.
При сопротивлении нагрузки Rн = 0, подключенной к зажимам генератора ЭДС, в нагрузку потечет бесконечно большой ток.
Генератором тока называется источник постоянного или переменного тока, имеющий бесконечно большое внутреннее сопротивление. Сопротивление в обозначении генератора тока не показывается. При любом сопротивлении нагрузки Rн, подключенной к источнику тока, ток в нагрузке не зависит от ее сопротивления, т. е. остается постоянным.
Реальные источники напряжения и тока имеют внутреннее сопротивление Rг конечной величины. Поэтому реальный источник может быть изображен в виде источника ЭДС и последовательно включенного сопротивления Rг (рис. 2.3, а) или в виде источника тока и параллельно включенного сопротивления Rг (рис. 2.3, 6).
Схемы на рис. 2.3, а и б эквивалентны, потому что при подключении сопротивления нагрузки к реальному источнику напряжения ток в нагрузке будет таким же.
Рис. 2.3. Условные обозначения реальных источников, имеющих внутреннее сопротивление
2.2.2. Напряжение на участке цепи.
Под напряжением на некотором участке электрической цепи понимают разность потенциалов между крайними точками этого участка.
На рис. 2.5 изображен участок цепи, крайние точки которого обозначены буквами а и b. Пусть ток I течет от точки а к точке b (от более высокого потенциала к более низкому). Очевидно, что потенциал точки а (φa) выше потенциала точки b (φb) на значение, равное произведению тока I на сопротивление R: φa = φb +IR. В соответствии с определением напряжение между точками а и b Uab = φa – φb
Следовательно, Uab =IR, т. е. напряжение на сопротивлении равно произведению тока, протекающего по сопротивлению, на значение этого сопротивления.
Рис 2.5.
В электротехнике разность потенциалов на концах сопротивления называют либо напряжением на сопротивлении, либо падением напряжения. В дальнейшем разность потенциалов на концах сопротивления, т. е. произведение IR будем именовать падением напряжения.
Положительное направление падения напряжения на каком-либо участке (направление отсчета этого напряжения), указываемое на рисунках стрелкой, совпадает с положительным направлением отсчета тока, протекающего по данному сопротивлению.
Рассмотрим теперь вопрос о напряжении на участке цепи, содержащем не только сопротивление, но и э.д.c.
Рис. 2.6.
На рис. 2.6, а,б показаны участки некоторых цепей, по которым протекает ток I. Найдем разность потенциалов (напряжение) между точками а и с для этих участков. По определению,
Uac = φa – φc (2.11)
Выразим потенциал точки а через потенциал точки c. При перемещении от точки c к точке b встречно направлению э.д.с. Е (рис. 1.6 а) потенциал точки b оказывается ниже (меньше), чем потенциал точки c, на значение э.д.с. Е: φb = φc — Е,
При перемещении от точки c к точке b согласно направлению э. д. с. Е (рис. 2.6, 6) потенциал точки b оказывается выше (больше), чем потенциал точки с, на значение э. д. с. Е: φb = φc + Е
Так как по участку цепи без источника э. д. с. ток течет от более высокого потенциала к более низкому, в обеих схемах рис. 2.6 потенциал точки а выше потенциала точки b на значение падения напряжения на сопротивлении R: φa = φb +IR.
Таким образом, для схемы риc. 2.6, а справедливо соотношение:
φa = φc – Е + IR
или
Uac = φa – φc = IR – Е (2.12)
Для схемы рис. 2.6, б соответствующие соотношения примут вид:
φa = φc + Е + IR
или
Uac = φa – φc = IR + Е (2.13)
Положительное направление напряжения Uac показывают стрелкой от а к с. Согласно определению Uca = φc – φa. Поэтому Uca = – Uac, т. е. изменение чередования (последовательности) индексов равносильно изменению знака этого напряжения. Следовательно, напряжение может быть и положительной, и отрицательной величиной.
2.2.3. Закон Ома.
Для участка цепи, не содержащего источник э. д. с., закон Ома устанавливает связь между напряжением и током на этом участке. Для схемы, изображённой на рис. 1.8 это соотношение имеет вид:
Uab =IR,
или
I = Uab /R = (φa – φb)/ R (2.15)
Для участка цепи, содержащего источник э. д. с., закон Ома позволяет найти ток этого участка по известной разности потенциалов (φa – φb) на концах участка цепи и имеющейся на этом участке э.д.с. Е. Так, из уравнения (2.12) для схемы рис. 2.6, а следует:
I= (φa – φc + Е) / R= (Uac+ Е)/ R.
Соответственно из уравнения (2.13) для схемы рис. 2.6, б следует:
I= (φa – φc – Е) / R= (Uac– Е)/ R.
В общем случае
(2.16)
Уравнение (2.16) математически выражает закон Ома для участка цепи, содержащего источник э. д.с.; знак плюс перед Е соответствует рис. 2.6, а, знак минус — рис. 2.6, б. В частном случае при Е = 0 уравнение (2.16) переходит в уравнение (2.15).
Пример 1.
К зажимам а и с схемы рис. 2.7 подключен вольтметр, имеющий очень большое, теоретически бесконечно большое сопротивление (следовательно, его подключение или отключение не влияет на режим работы цепи).
Если ток I = 10 А течет от точки а к точке с, то показание вольтметра Uac = – 18В; если этот ток течет от точки с к точке а, то Uac = – 20 В. Определить сопротивление R и э.д.с. Е.
Решение.
В первом режиме; Uac = – 18 = – Е + RI = – Е +10R
Во втором режиме: Ű ac = – 20 = – Е – RI = – Е –10R
Совместное решение дает Е = 19 В, = R = 0,1 Ом,
