Средний арифметический и средний гармонический индексы

I

Слово индекс (index) означает указатель. В статистике индексом называется относительная величина, которая характеризует изменение во времени, состояние в пространстве уровня изучаемого явления или степень выполнения плана.

С помощью индексов решаются следующие задачи:

ü Определяются средние изменения сложных, непосредственно несоизмеримых совокупностей во времени. При решении этих задач индексы выступают как синтетические показатели динамики;

ü Оценивается средняя степень выполнения плана по совокупности в целом или ее части. Здесь они выступают как индексы выполнения плана;

ü Устанавливаются средние соотношения сложных явлений в пространстве. Эта задача решается с помощью территориальных индексов;

ü Определяется роль отдельных факторов, функционально связанных с результативными признаками в общем изменении сложных явлений во времени и пространстве. Изучается влияние структурных сдвигов на результативный показатель. Здесь индексы выступают как аналитическое средство.

II

По степени охвата явлений и процессов индексы делятся на индивидуальные и общие. В зависимости от методологии расчета общие индексы подразделяются на агрегатные индексы, средние из индивидуальных индексов и индексы средних величин.

Индивидуальные индексы. Индивидуальные индексы выражают соотношение отдельных элементов совокупности. Это темпы роста, показатели выполнения плана или относительные показатели территориального сравнения.

В статистической литературе приняты следующие обозначения:

q — количество; р — цена; z — себестоимость; t — затраты времени на производство продукции.

Таким образом, индивидуальный индекс физического объема продукции исчисляется:

где q_1, q₀, - количество произведенной продукции в отчетном и базисном периодах.

Этот индекс может характеризовать изменение физического объема продукции во времени, и соотношение в пространстве, если сравнивать производство одного и того же вида продукции за один и тот же период по разным объектам (областям, районам, хозяйствам).

Этот индекс также характеризует степень выполнения плана:

Аналогично строятся индивидуальные индексы цен, себестоимости и трудоемкости:

Как видно, индивидуальные индексы представляют собой, по существу, относительные величины динамики, выполнения плана или сравнения.

Индекс как относительный показатель выражается в виде коэффициентов или процентов.

Если имеются данные за ряд периодов или уровней, в качестве базы сравнения может быть принят начальный уровень или уровень предыдущего периода. В первом случае мы получим индексы с постоянной базой — базисные индексы, во втором случае - индексы с переменной базой — цепные индексы.

Если базисные и цепные индексы охватывают один и тот же период, то произведение цепных индексов равно последнему базисному:

Отношение последующего базисного индекса к предшествующему равно цепному индексу:

--------------... -----------------------

Общие (сводные) индексы. Общие (сводные) индексы показывают соотношение совокупности явлений, состоящей из разнородных, непосредственно несоизмеримых элементов. С помощью общих индексов можно охарактеризовать продукции динамику объемов всей выпускаемой продукции разных видов. Однако нельзя просто сложить объемы продукции различных видов за два периода и отнести эти суммы одну к другой. Такое суммирование бессмысленно не только из-за различных единиц измерения (тонны, штуки, метры и др.), но также из-за того, что каждый вид продукции имеет свое назначение и произведен с разными затратами средств и общественно необходимого времени.

Формой представления сводных (общих) индексов является агрегатная.

Агрегатный индекс состоит из двух элементов: индексируемых величин, изменение которых должен отразить индекс, ипоказателей,которые служат соизмеоителями (весами).

Значение индексируемой величины всегда изменяется: отчетное значение сопоставляется с базисным. Показатель - соизмеритель (вес) выполняет функцию веса по отношению к индексируемой величине. Значение сризмерителя (веса) в конкретном индексе принимается одинаковым в числителе и знаменателе, чтобы исключить влияние соизмерителя на изменение индексируемого показателя. Веса индексов могут быть выражены в стоимостных, трудовых и других единицах измерения. В зависимости от содержания и характера индексируемой величины различают индексы количественных (объемных) показателей и индексы качественных показателей.

Существует правило построения агрегатных индексов, в соответствии с которым в индексах качественных показателей весами выступают показатели отчетного периода, а в индексах количественных показателей — базисного периода.

Количественные показатели характеризуют общий, суммарный размер того или иного явления, например, количество (физический объем) продукции в натуральном выражении, численность работников, общие затраты времени на произведенную продукцию, размер посевной площади и т. д. Общий индекс физического объема продукции рассчитывают аналогичным образом. Весами здесь выступают цены, которые фиксируются на базисном уровне:

 

Качественные показатели характеризуют размер признака в расчете на единицу совокупности: цена единицы продукции (товара), себестоимость единицы продукции, затраты рабочего времени на единицу продукции (трудоемкость единицы продукции) урожайность культуры в расчете на один гектар и т. п. Общий индекс цен составит:

Между двумя указанными индексами существует взаимосвязь: если значения этих индексов перемножить получится значение общего индекса стоимостного объема:

Средний арифметический и средний гармонический индексы

Агрегатный индекс может быть вычислен и при помощи индивидуальных индексов. Необходимость в этом возникает в том случае, когда по элементам, входящим в индекс, не известны отдельные значения р, д, z, t, a имеются индивидуальные индексы i_p, i_q, i_v i_t и произведения pq.

Рассмотрим это на примере агрегатного индекса физического объема.

Индивидуальный индекс физического объема равен:

отсюда q₁ = iq₀. Заменив в числителе агрегатного индекcа физического объема q₁ на iq₀ получим:

Это и есть среднеарифметический индекс физического объема.

Индексы переменного и постоянного составов, индекс структурных сдвигов

При изучении динамики средних показателей, уровни которых зависят от изменения вариантов и весов, используются индексы переменного и фиксированного составов.

Рассмотрим их построение и содержание на примере индекса себестоимости. В нашем примере на величину общего индекса себестоимости картофеля оказывает влияние не только изменение себестоимости единицы продукции по каждому хозяйству, но и изменение удельного веса каждого хозяйства в общем объеме производства картофеля.

Общий индекс, в котором отражается влияние этих двух факторов, определяется как отношение средних:

Индекс, рассчитанный как отношение взвешенных средних с различными весами, называется индексом переменного состава.

индексы, отражающие изменение средних величин за счет влияния только индексируемых величин при постоянных весах, называются индексами постоянного состава.

Степень влияния структурных сдвигов на изменение средней себестоимости определяется отношением: