Большинство энергетических тепловых реакторов имеют цилиндрическую форму активной зоны или очень близкую к ней. Среди многих соображений при выборе формы активной зоны побеждает стремление сделать её симметричной, технологичной и удобной для организации теплосъёма.
Геометрический параметр Вг2 критической цилиндрической активной зоны может быть с равным успехом найден и из решения уравнения критичности, и из решения волнового уравнения, но первое является трансцендентным и не разрешается относительно В2 аналитически, следовательно, при известных величинах k¥, L2 и tт из уравнения критичности можно найти только величину В2 (методом последовательных приближений), но нельзя получить удобной аналитической зависимости Вг2 от размеров активной зоны (радиуса и высоты её).
Такое выражение В2 = f (Rаз,Hаз) можно получить только после решения волнового уравнения и разрешения его относительно Вг2:
Bг2 = - [ Ñ 2Ф(r) ] / [ Ф(r) ], (6.4.1)
Но волновое уравнение - дифференциальное уравнение второго порядка в частных производных, поэтому для получения конкретного (частного) его решения надо обязательно располагать парой граничных условий.
6.4.1. Граничные условия для решения волнового уравнения. Предположим вначале для простоты, что речь идёт о гомогенной цилиндрической активной зоне, окруженной пустотой (вакуумом). Почему именно пустотой?
Дело в том, что вакуум, кроме того, что он даёт возможность сравнивать различные критические активные зоны в одинаковых условиях, является в некотором смысле абсолютным поглотителем утекающих из активной зоны нейтронов, поскольку он не содержит в себе объектов, с которыми нейтрон может столкнуться, изменить направление движения и вернуться обратно в активную зону.
Единственной точкой цилиндрической гомогенной активной зоны, о величине плотности потока тепловых нейтронов мы можем хоть что-то сказать, является центр её (середина её высоты по оси симметрии). И единственное, что мы можем сказать относительно плотности потока тепловых нейтронов в этой точке, - то, что величина Ф(r) в ней максимальна, поскольку это - наиболее удалённая от всех границ активной зоны точка, и возможности для утечки тепловых нейтронов из неё за пределы активной зоны минимальны. z
0 r
Рис.6.6. Размещение начала цилиндрической системы координат в
геометрическом центре цилиндрической активной зоны.
И если поместить начало цилиндрической системы координат в центр активной зоны (рис.6.6), то первое граничное условие
Ф(r=0,z=0) = Фо = Фmax
- выглядит неопределённо, так как неясна конкретная величина этого максимума. Это же граничное условие (как условие максимума функции Ф(r,z)) можно записать более определённо:
(dФ/dr)z=o = 0 и (dФ/dz)r=o = 0. (6.4.2)
Второе граничное условие в такой ситуации должно быть обязательно нетривиальным, то есть должно указывать на любое конкретное значение функции Ф(r,z) в какой-либо точке активной зоны. Здесь мы выдыхаемся: при всем желании указать такую точку в пределах активной зоны мы не в состоянии. На действительных границах активной зоны (при r = Rаз или z = ± Hаз/2) величина плотности потока тепловых нейтронов - явно не нулевая.
Поэтому в качестве второго граничного условия вводится искусственное условие, состоящее в следующем.
Предположим, что распределения Ф(r) и Ф(z) в пределах активной зоны от центра к периферии имеет характер нелинейного уменьшения. Но, если вообразить (рис.6.7), что функция Ф(r), переходя через границу активной зоны, продолжает уменьшаться линейно, причём, с тем же угловым коэффициентом, что и на границе активной зоны, то на некотором отстоянии d от границы активной зоны линейно-экстраполированная таким образом функция Ф(r) уменьшается до нуля.
Отстояние (d) от границы активной зоны в вакуум, на котором линейно-экстраполированная на границе активной зоны функция распределения плотности потока тепловых нейтронов обращается в нуль, называется длиной линейной экстраполяции.
Условная цилиндрическая поверхность, эквидистантно отстоящая от поверхности реальной цилиндрической активной зоны на длину линейной экстраполяции, называется экстраполированной границей активной зоны.
Величины полуразмеров реальной цилиндрической активной зоны, увеличенные на длину линейной экстраполяции, называют экстраполированными полуразмерами активной зоны:
R'= Rаз + d (6.4.3)
H'/2 = Hаз/2 + d (6.4.4)
Ф (r)
Действительные границы активной зоны
Касательная к графику Ф(r) на границе активной зоны
r
Длина линейной экстраполяции d
Экстраполированные границы активной зоны
Действительный радиус
активной зоны Rаз Rаз + d = R¢ - экстраполированный радиус активной зоны
Рис.6.7. К понятию длины линейной экстраполяции, экстраполированных границ
и экстраполированных размеров активной зоны.
Кинетическая теория даёт простую формулу для длины линейной экстраполяции:
d = 0.7104 ltr = 0.7104 / Str (6.4.5)
Учитывая сказанное, второе граничное условие звучит просто:
На экстраполированных границах активной зоны величина плотности потока тепловых нейтронов равна нулю: Ф (r=R') = 0 и Ф (z=±H' /2) = 0 (6.4.6)
6.4.2. Результат решения волнового уравнения для цилиндрической гомогенной активной зоны. Если записать волновое уравнение в цилиндрической системе координат, начало которой совпадает с центром активной зоны, и решить его при обозначенных выше граничных условиях, то интеграл этого уравнения будет иметь вид:
(6.4.7)
Выражение (6.4.7) означает, что:
- распределение величины плотности потока тепловых нейтронов по высоте цилиндрической гомогенной активной зоны (в точках равноудаленных от оси симметрии на расстояние r) подчиняется закону косинуса:
Ф(z) r=idem = Фоr cos(pz/H'), (6.4.8)
где Фоr = Ф(z=0, r) - значение плотности потока тепловых нейтронов на цилиндрической поверхности радиуса r на середине высоты активной зоны (рис.6.8):
 |
d
d d
r
d
Рис.6.8. Эпюры распределения плотности потока тепловых нейтронов по высоте цилиндрической
гомогенной активной зоны по оси симметрии и на разных отстояниях от оси.
z
d
d d
r
d
Рис.6.9. Эпюры распределения плотности потока тепловых нейтронов по радиусу
цилиндрической гомогенной активной зоны на разных уровнях по её высоте.
- распределение плотности потока тепловых нейтронов по радиусу активной зоны (в плоских круговых поверхностях на любой фиксированной высоте z над (или под) центром активной зоны) подчиняется закону функции Бесселя первого рода нулевого порядка:
Ф(r) z=idem= Фоz Io(2.405r/R'), (6.4.9)
где Фоz = Ф(z,r=0) - значение плотности потока тепловых нейтронов на оси симметрии активной зоны на высоте z (рис.6.9).
Функция Бесселя первого рода нулевого порядка Io(x) для действительного аргумента x появляется при решении волнового уравнения в цилиндрической системе координат. Начальный участок графика этой функции (при изменении x в пределах от 0 до 2.405) напоминает график функции косинуса в пределах от 0 до p/2: при x = 0 Io = 1, а при x = 2.405 Io = 0 (рис.6.10). Более того, значения этих функций при значениях аргумента x в указанных интервалах их с точностью до + 2% совпадают.
I0(x) 1.0
0.5
- 0.5
Х
Рис.6.10. График функции Бесселя первого рода нулевого порядка Io(x) для действительного аргумента.
В связи с тем, что график Io(x) пересекает ось абсцисс при xo = 2.405, это значение аргумента называют первым корнем (или первым нулём) функции Бесселя первого рода нулевого порядка.
Функция Io(x), наряду с другими бесселевыми функциями, приводится в графическом и табличном виде в справочниках по специальным функциям.
Характер косинусоидально-бесселевского распределения плотности потока тепловых нейтронов в цилиндрической гомогенной активной зоне действителен (совпадает с реальным) для любых точек активной зоны, исключая точки, лежащие в пределах относительно тонкого приграничного слоя толщиной ~ 2 ltr среды активной зоны, где действительный характер распределения Ф(z,r) несколько отклоняется от аналитического в сторону увеличения.
Учитывая, что транспортные макросечения сред активных зон ВВЭР не превышают нескольких см -1, соответствующие им величины длины линейной экстраполяции d оказываются не выше 1 см. Поэтому распределение Ф(z,r) в цилиндрических гомогенных активных зонах с размерами более 1 м фактически определяется не столько величиной d, сколько действительными размерами активной зоны.
Этот вывод справедлив и для гетерогенных тепловых реакторов.
6.4.3. Выражение для геометрического параметра цилиндрической активной зоны. Это выражение получается путём подстановки решения волнового уравнения (6.4.7) в равенство (6.4.1). После преобразований получается:
Bг2 = (p/H')2 + (2.405/R')2 (6.4.10)
Как видим, геометрический параметр имеет размерность см-2, а его величина обратно пропорциональна квадрату линейных размеров активной зоны реактора.
О величине геометрического параметра говорят такие цифры:
- для реактора космической спутниковой электростанции (R'» 6 см, H '~ 11 см) величина Вг2» 0.2422 см-2;
- для реактора морского атомохода (R'» 50 см, H'» 100 см) Вг2» 3.3 10-3 см-2;
- для реактора ВВЭР-1000 (R' = 158 см, H' = 355 см) Вг2 = 3.1 10-4 см-2;
- для реактора РБМК-1000 (R' = 590 см, H' = 700 cм) Вг2 = 3.7 10-5 см-2.
Падающий характер изменения величины Вг2 с ростом линейных размеров активной зоны позволяет качественно разрешить вопрос о соотношении величин геометрического и материального параметров в некритических реакторах (в критических реакторах, как уже отмечалось, Вг2 = Вм2).
Величина материального параметра для любого реактора определяется только составом материалов, входящих в его активную зону. Следовательно, для гетерогенного реактора, активная зона которого состоит из одинаковых ячеек, величина материального параметра для всей активной зоны уже определена составом материалов одиночной ячейки: ведь соотношение материалов в одиночной ячейке и во всей активной зоне, составляемой из определённого числа таких ячеек, одинаково. Значит, величина материального параметра от числа размещаемых в его активной зоне ячеек не зависит и в процессе загрузки топливных ячеек в активную зону не меняется.
Теперь представим себе процесс зарядки активной зоны и доведения её до критического состояния: в загруженный замедлителем реактор вначале вставляется центральная ТВС, затем вокруг неё размещается первый слой из 6 таких же ТВС, затем последовательно ставятся на свои места 12 ТВС второго слоя, затем - 18 ТВС третьего слоя и т.д., - до тех пор, пока не будет набрано критическое количество ТВС, при котором в активной зоне начинается самоподдерживающаяся цепная реакция деления.
Ясно, что в процессе доведения активной зоны до критического состояния растёт радиус набора активной зоны, а значит, величина геометрического параметра:
Bг2 = (p/H')2 + (2.405/R')2
в процессе набора критической массы будет уменьшаться. И когда активная зона достигнет критичности, величина геометрического параметра снизится до величины материального параметра.
Таким образом, в подкритическом реакторе величина геометрического параметра больше величины материального параметра, а в надкритическом (который получился бы, если бы в активную зону добавили еще одну ТВС сверх критического их количества) - наоборот - величина материального параметра стала бы больше величины геометрического параметра.
6.4.4. Оптимальное соотношение размеров цилиндрической активной зоны. Из всего сказанного в принципе должно быть ясно, как рассчитывать критические размеры активной зоны цилиндрического гомогенного реактора по заданному составу материалов его активной зоны:
а) по составу материалов активной зоны рассчитать величины их эффективных микросечений и средних макросечений для всей среды активной зоны;
б) рассчитать h, e, j, q, t т и L2, то есть получить k¥, t т и L2;
в) методом последовательных приближений решить уравнение критичности реактора
k¥ exp(-B2t т )/( 1 + B2L2) = 1
относительно величины В2, являющейся в критическом реакторе и материальным, и геометрическим параметром;
г) подставляя найденную величину В2 в её выражение:
(p/H')2 + (2.405/R')2 = B2, (6.4.11)
можно было бы искать экстраполированные критические размеры активной зоны реактора (Н' и R'), но одно уравнение с двумя неизвестными имеет бесчисленное множество пар решений. Иными словами, одному и тому же значению В2 удовлетворяют и блинообразные активные зоны (с малым отношением Н'/R'), и, наоборот, колоннообразные активные зоны (с большим отношением Н'/R'). Следовательно, для получения определённого решения уравнения (6.4.11) необходимо задаться величиной соотношения размеров активной зоны (Н'/R'). Из каких соображений?
- Из соображений экономии нейтронов: из стремления при данной величине объёма активной зоны сделать минимальной утечку тепловых нейтронов. При одинаковой плотности тока утечки тепловых нейтронов по всей поверхности активной зоны решение задачи на минимум утечки сводится к решению задачи на минимум поверхности цилиндрической активной зоны при заданном ее объёме. Это имеет место при соотношении (Н'/R') = 2, то есть когда высота цилиндра равна его диаметру.
Но на цилиндрической части поверхности активной зоны градиент плотности потока тепловых нейтронов получается немного выше, чем на плоских поверхностях верхнего и нижнего торцов активной зоны, а, значит, величины плотности тока утечки тепловых нейтронов на цилиндрической поверхности будут выше, чем на плоских торцах.
Поэтому для нахождения минимально-возможной общей утечки тепловых нейтронов из активной зоны необходимо решать задачу на экстремум для величины общего тока утечки тепловых нейтронов через всю поверхность активной зоны (S):
Iобщ = ò I(S) dS
(S)
Решение этой задачи дает оптимальное соотношение размеров цилиндрической активной зоны
(H'/R')opt = 1.948 (6.4.12)
по соображениям экономии тепловых нейтронов в активной зоне.
Цилиндрические активные зоны с (Н'/R')<1.948 принято называть уплощёнными (т.е. более плоскими по сравнению с активными зонами с оптимальным соотношением размеров), а зоны с (H'/R')>1.948 - удлинёнными.
Например, активная зона РБМК-1000 (Наз = 7 м, Dаз = 11.8 м) характеризуется отношением Н'/R'» 1.19, т. е. является сильно уплощённой, а активная зона ВВЭР-1000 (Наз = 3.55 м, Rаз =1.58 м, Н'/R'» 2.25) - является явно сильно удлинённой. В той и другой активных зонах экономия тепловых нейтронов оказалась принесённой в жертву иным соображениям.
В ВВЭР-1000 уменьшение отношения Н'/R' привело бы к увеличению диаметра активной зоны за счёт сокращения её высоты, а вместе с этим - и к увеличению диаметра корпуса реактора, а, значит, - к увеличению толщины стенки корпуса (корпус - сосуд, работающий под большим давлением), материалоёмкости реактора и к увеличению его стоимости. Именно поэтому (главным образом) активная зона ВВЭР-1000 выполнена удлинённой.
У РБМК-1000 (канального реактора) таких проблем нет: активная зона находится под незначительным давлением азотно-гелиевой смеси, охлаждающей графитовую кладку; высокое давление имеет место только внутри труб технологических каналов; уменьшение высоты активной зоны (или высоты технологических каналов) за счёт увеличения диаметра активной зоны оказывается даже благотворным делом: с точки зрения укорочения технологических каналов и увеличения численности параллельно работающих каналов, при котором снижается гидравлическое сопротивление активной зоны, а, значит, - и энергетические затраты на циркуляцию теплоносителя в контуре МПЦ.
Краткие выводы
а) Диффузия тепловых нейтронов в реакторе подчиняется закону Фика
I (r) = - D ÑФ(r),
где коэффициент диффузии D (согласно выводу кинетической теории): D = 1/3Str.
б) Главное влияние процесса диффузии на размножающие свойства активной зоны прослеживается через величину вероятности избежания утечки тепловых нейтронов p т, которая определяется величиной геометрического параметра активной зоны В2 и характеристикой диффузионных свойств среды активной зоны - длиной диффузии L. Величина p т определяется выражением:
p т = (1 + B2L2) -1.
в) Длина диффузии представляет собой логический аналог средней длины замедления применительно к процессу диффузии тепловых нейтронов в среде и является мерой среды давать определённое среднеквадратичное пространственное смещение тепловых нейтронов в ней в процессе их диффузии. Квадрат длины диффузии определяется выражением:
L2 = (3Sa Str)-1
г) Величина длины диффузии в любом веществе с ростом его температуры однозначно растёт: ________
L2(t) = Lo2 ÖТн/293 [go / g (p,t)]2
д) В процессе нахождения p т получены два фундаментальных уравнения критического реактора - уравнение критичности:
he j q exp(-B2t т ) (1 + В2L2)-1 = 1,
представляющее собой развернутое условие критичности реактора в зависимости от его нейтронно-физических характеристик и геометрических свойств активной зоны, и волновое уравнение:
Ñ2Ф(r) + B2Ф(r) = 0,
решение которого для конкретной активной зоны дает функцию Ф(r) распределения плотности потока тепловых нейтронов в объёме реактора.
е) В цилиндрическом гомогенном реакторе без отражателя распределение плотности потока тепловых нейтронов по высоте и радиусу реактора подчинено косинусоидально-бесселевому закону:
Ф(z,r) = Фо cos(pz / H') Io(2.405r /R'),
где максимальное значение плотности потока тепловых нейтронов Фо имеет место в геометрическом центре цилиндрической активной зоны.
ж) Величина геометрического параметра Вг2 для цилиндрического реактора без отражателя определяется выражением:
Bг2 = [p/(Hаз+ 2d)]2 + [2.405/(Rаз+d)]2,
в котором величина d = 0.7104/Str - длина линейной экстраполяции.
з) В подкритическом реакторе Вг2 > Bм2, в критическом Вг2 = Вм2, а в надкритическом - Вг2 < Bм2.
