Уравнение баланса тепловых нейтронов можно записывать для всех тепловых нейтронов в реакторе:
dN/dt = (скорость генерации ТН в а.з.) - (скорость поглощения ТН в а.з.) - (скорость утечки ТН из а.з.),
а можно и для единичного объёма активной зоны (например, для 1 см3):
dn/dt = (ск. генерации ТН в 1см3а.з.) - (ск. поглощения ТН в 1см3а.з) - (ск. утечки ТН из 1 см3 а.з.) (6.2.1)
Второе уравнение получается из первого путём почленного деления обеих частей его на величину объёма активной зоны V аз. В этом случае в левой части (6.2.1) получается средняя по объёму активной зоны скорость изменения плотности тепловых нейтронов, равно как и в правой части этого логического равенства получаются средние величины скоростей генерации, поглощения и утечки тепловых нейтронов в 1 см3 среды активной зоны.
Выражения для первых двух слагаемых правой части (6.2.1) нам уже известны, остается получить выражение для третьего - скорости утечки тепловых нейтронов из единичного объёма среды активной зоны.
Для этого около произвольной точки активной зоны с координатами r (x,y,z) мысленно выделим элементарный объём dV = dx dy dz и сосчитаем вначале скорость утечки тепловых нейтронов из этого объёма.
Предположим, что плотность тока тепловых нейтронов на левой грани этого элементарного объёма площадью dy dz равна Ix, а на правой грани (той же площади dy dz) она равна Ix+dIx. Это значит, что через левую грань в элементарный объём входит ежесекундно Ixdydz тепловых нейтронов, а через правую грань проходит ежесекундно (Ix+dIx) dydz тепловых нейтронов.
Z dx
Ix Ix+dIx dz
X
Y
Рис.6.4. Иллюстрация к выводу величины скорости утечки тепловых нейтронов из элементарного объёма активной зоны.
Разница чисел тепловых нейтронов, ежесекундно пересекающих левую и правую грани элементарного объёма, и есть составляющая скорости утечки тепловых нейтронов из этого объема вдоль оси Оx:
dQx = (Ix+dIx)dydz - Ixdydz = dIxdydz = (dIx/dx)dxdydz = (dIx/dx)dV.
Аналогично рассуждая относительно составляющих скоростей утечки из элементарного объёма вдоль осей Оy и Oz, можно получить:
dQy = (dIy/dy)dV и dQz = (dIz/dz)dV,
а, следовательно, полная скорость утечки тепловых нейтронов из элементарного объёма вдоль всех трёх координатных осей составит:
dQ = dQx + dQy + dQz = [(dIx/dx) + (dIy/dy) + (dIz/dz)]dV = Ñ I (r)dV (6.2.2)
Для получения скорости утечки из единичного объёма надо скорость утечки из элементарного объёма dV разделить на величину этого объёма:
qу = dQ/dV = Ñ I (r) (6.2.3)
Но выражение для вектора плотности тока тепловых нейтронов в соответствии с законом Фика для них:
I (r) = - D Ñ Ф (r).
Подстановка этого выражения в (6.2.3) дает:
qу = Ñ[-DÑФ(r)] = -DÑ [Ñ Ф(r)] = - DÑ 2Ф(r), (6.2.4)
поскольку оператор Гамильтона от оператора Гамильтона функции, как известно, есть оператор второго порядка этой же функции - оператор Лапласа. В теории поля оператор Лапласа иначе называют дивергенцией.
Таким образом, в общем виде локальная скорость утечки тепловых нейтронов из единичного объёма с учётом величины коэффициента диффузии (D = 1/3Str) выразится так:
(6.2.5)
6.3. Волновое уравнение, уравнение критичности реактора и величина
вероятности избежания утечки тепловых нейтронов
6.3.1. Волновое уравнение (уравнение Гельмгольца). Волновое уравнение получается из уравнения баланса тепловых нейтронов (6.2.1), записанного для критического реактора (то есть dn/dt = 0), путём подстановки в него выражений для скоростей генерации (формула (5.4.14)), поглощения (Ra = SaФ) и утечки тепловых нейтронов (формула (6.2.5)):
k¥SaФ exp(-B2t т ) - SaФ + (1/3Str)Ñ 2Ф = 0,
или, если разделить это выражение почленно на ненулевую величину Sa:
(1/3SaStr)Ñ 2Ф + [k¥ exp(-B2tт) - 1]Ф = 0, или, с учётом того, что (1/3SaStr) = L2:
Ñ2 Ф + [ k¥ exp(-B2t т) - 1] Ф / L2 = 0 (6.3.1)
А теперь оставим на минуту это выражение и вернемся к п.5.4.3, где было получено уравнение пространственной части решения уравнения возраста Ферми (см. выражение (5.4.8)):
Ñ 2R/R = - B2, или Ñ 2R + B2R = 0, (6.3.2)
где функция координат R была впоследствии найдена:
R = k¥SaФ/(jTo) (6.3.3)
Подстановка (6.3.3) в (6.3.2) и последующее сокращение на ненулевую постоянную величину k¥Sа / jTo приводят к следующему выражению:
Ñ 2Ф + B2Ф = 0 (6.3.4)
В этом выражении В2 - постоянная величина (параметр реактора).
Уравнения такого типа среди прочих уравнений математической физики известны как простейшие уравнения волнового типа, поэтому уравнение (6.3.4) называют волновым уравнением критического реактора ( или уравнением Гельмгольца).
Его решение для активной зоны конкретных формы и размеров - есть функция Ф(r) распределения плотности потока тепловых нейтронов по координатам её объёма.
Здесь сразу же уместно задуматься над вопросом: чем вообще может определяться распределение плотности потока тепловых нейтронов в объёме активной зоны критического (то есть стационарного) реактора? - Поскольку функция Ф(r) фигурирует в уравнении волнового процесса, значит ли это, что диффузия нейтронов вообще является волновым процессом? Таким, скажем, как процесс колебания гитарной струны, или процесс распространения волн по водной поверхности, или любой физический процесс, формально описываемый тем же волновым уравнением?
Житейский опыт подсказывает, что амплитуда и частота колебаний гитарной струны (параметры волнового процесса) определяются длиной и диаметром струны (то есть её геометрическими характеристиками), упругими свойствами материала струны и степенью её натяжения (т.е. физическими свойствами колеблющейся среды и условиями организации колебаний).
Аналогично обстоит дело и с распределением Ф(r) в волновом процессе диффузии тепловых нейтронов в активной зоне: оно тоже определяется и геометрией, и физическими свойствами среды активной зоны реактора, и условиями окружения активной зоны. Но так как в уравнении (6.3.4), кроме функции Ф(r), есть лишь один параметр (В2), то именно этот постоянный параметр должен отражать и физические (материальные) свойства среды активной зоны, и её геометрические свойства. На этом основании параметр реактора (В2) называется и геометрическим параметром (и обозначается Вг2), и материальным параметром (Вм2).
Вг2 и Вм2 - физически различные характеристики: одна определяется только формой и размерами активной зоны, другая - только составом компонентов активной зоны реактора. Но они равны только в критическом реакторе, поскольку волновое уравнение получено для критического реактора и только для него оно имеет смысл в том простейшем виде, в котором оно было получено.
В некритическом реакторе n(t) ¹ idem, dn/dt ¹ 0, и поэтому в нестационарном волновом уравнении должно было бы появиться ещё одно слагаемое в правой части, зависящее от времени t.
Возникает закономерный вопрос: о каком волновом процессе может вообще идти речь в критическом реакторе, который является принципиально стационарным, и какое отношение вообще имеет волновое уравнение к стационарному реактору?
- А вот какое: волновое уравнение в форме Гельмгольца (то есть с нулевой правой частью) описывает не волну в движении, а является уравнением стоячей волны. Это совсем не означает, что тепловые нейтроны в реакторе неподвижно застыли в различных точках активной зоны реактора. Они движутся (да еще как!) в направлении от центра к периферии, по пути к ним добавляются ещё тепловые нейтроны, рождаемые за счёт замедления, часть их поглощается на этом пути, часть диффундирует дальше, но так, что в любом микрообъеме активной зоны в любой момент времени число тепловых нейтронов - в итоге протекания непрерывно идущих процессов генерации, поглощения и утечки - поддерживается постоянным, так же, как неизменным во времени поддерживается и энергетический спектр тепловых нейтронов.
Итак, стационарное волновое уравнение (уравнение Гельмгольца) является дифференциальным уравнением стоячей волны плотности потока тепловых нейтронов в активной зоне реактора. Его решение - функция пространственного распределения величины плотности потока тепловых нейтронов по объёму активной зоны.
6.3.2. Уравнение критичности реактора. Теперь вернемся к уравнению (6.3.1) и сравним его с уравнением (6.3.4). Сразу бросается в глаза схожесть этих уравнений, хотя и получены они из разных предпосылок: уравнение (6.3.1) - из уравнения баланса тепловых нейтронов в критическом реакторе, а уравнение (6.3.4) - при решении уравнения возраста Ферми тоже для критического реактора. И сразу было отмечено: эта часть решения является пространственной, (т.е. дающей пространственное распределение плотности потока нейтронов любой кинетической энергии в объёме активной зоны). В частности, оно должно быть справедливо и для тепловых нейтронов. Поэтому неудивительно, что оба эти уравнения внешне схожи: они оба описывают одну и ту же величину Ф(r) для одного и того же объекта - критического реактора, - то есть оба они - являются, по существу, одним и тем же уравнением.
А раз это так, то в обоих уравнениях в сходных членах должны быть равными коэффициенты, то есть:
[k¥ exp(-B2t т )-1] / L2 = B2, откуда следует, что
(6.3.5)
Чтобы понять, что собой представляет это уравнение, вернемся на минуту назад, к условию критичности реактора, которое выражается простым равенством kэ = 1. Но величина эффективного коэффициента размножения:
kэ = k¥ pз p т,
а с учётом найденного ранее выражения pз = exp(-B2 t т ):
kэ = k¥ exp(-B2 t т ) p т.
Приравнивая величину последнего выражения единице, получаем развернутое условие критичности:
k¥ exp(-B2t т ) p т = 1 (6.3.6)
Сравнивая выражения (6.3.5) и (6.3.6), следует сделать выводы:
а) Уравнение (6.3.5) выражает развёрнутое условие критичности реактора. Поэтому его и называют уравнением критичности реактора.
б) Из сходства (6.3.5) и (6.3.6) вытекает, что величина вероятности избежания утечки тепловых нейтронов
p т = 
= (1 + B2L2)-1 (6.3.7)
Уравнение критичности можно записать в ещё более развёрнутом виде:
(6.3.8)
Его вид ясно иллюстрирует взаимосвязь размножающих свойств активной зоны (определяемых величинами h, e, j, q, t т и L2) с критическими размерами активной зоны (скрытых в величине параметра реактора В2, который в активной зоне критического реактора является и геометрическим, и материальным).
6.3.3. Вероятность избежания утечки тепловых нейтронов. Полученное выражение для величины вероятности избежания утечки тепловых нейтронов при диффузии (6.3.7) полностью согласуется как с начальной гипотезой о зависимости p т от геометрии и физических свойств среды активной зоны (от геометрического параметра В2 и квадрата длины диффузии L2), так и с физическим смыслом длины диффузии: чем больше L, тем прозрачнее среда активной зоны для тепловых нейтронов, и больше толщина периферийного слоя активной зоны, из которого рождающиеся тепловые нейтроны могут испытать утечку за её пределы в процессе их диффузии, и тем выше доля утекающих из активной зоны тепловых нейтронов, а поэтому меньше доля остающихся в ней тепловых нейтронов р т.
Для практика-реакторщика полезно запомнить качественную зависимость р т от температуры активной зоны. Эта зависимость однозначна: поскольку длина диффузии L в любых веществах с ростом температуры увеличивается (см.п.6.1.5), величина р т = (1 + В2L2)-1 с ростом температуры в активной зоне из любых материалов и при любой её структуре будет уменьшаться.
to ® T ® Tн ® Sa ¯ ® L ® L2 ® pт¯.
Рис.6.5. Цепочка температурного влияния на величину вероятности избежания утечки тепловых нейтронов.
Примечание. В этом смысле температурная зависимость вероятности избежания утечки замедляющихся нейтронов pз = exp(-B2tт), прослеживаемая через температурную зависимость возраста тепловых нейтронов в активной зоне, является хотя и аналогичной, но не столь однозначной, как рт. В твёрдых веществах возраст тепловых нейтронов с ростом температуры уменьшается (за счёт повышения величины энергии сшивки Ес), а потому величина рз за счёт наличия в активной зоне реактора твёрдых замедлителей (графита - в уран-графитовом реакторе РБМК) может даже увеличиваться, если графита в активной зоне настолько больше, чем второго замедлителя (воды), что эффект температурного уменьшения возраста в графите превалирует над эффектом температурного увеличения возраста в воде, отчего средний возраст тепловых нейтронов в активной зоне может с ростом температуры уменьшаться, а величина рз - увеличиваться. Реакторам типа ВВЭР эта неоднозначность не свойственна: в них увеличение средней температуры активной зоны приводит к обязательному уменьшению величин и рз, и р т.
Так или иначе, однако, стоит взять на заметку, что за счёт изменения температуры замедлителя принципиально возможно управлять эффективными размножающими свойствами активной зоны реактора (kэ) через посредство величин рз и р т.
