Колебания и волны
Колебательным движением или колебанием называются движения или процессы, которые характеризуются повторяемостью во времени тех или иных значений физических величин.
Колебательные процессы широко распространены в природе и технике и представляют собой сложные процессы. Физическая природа может быть разной, поэтому различаются: механические, электромагнитные и т.д., но различные колебательные процессы описываются одинаковыми характеристиками и однотипными уравнениями.
| МЕХАНИЧЕСКИЕ | ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ | |
| Масса m | Индуктивность L | |
| Жесткость k | Величина, обратная электроемкости 1/C | |
| Смещение (координата) x | Заряд конденсатора q (t) | |
| Скорость v = dx/dt | Ток в цепи I = dq/dt | |
| Ускорение a = d2x/dt2 | Скорость изменения тока d2q/dt2 | |
| Импульс Р = m v | Магнитный поток Ф = LI | |
| Сила (упругая F = kx) F | Напряжение U = q/C | |
Частота свободных колебаний
|
| |
Период 
|  -формула Томпсона
| |
Кинетическая энергия
| Магнитная энергия катушки 
| |
Потенциальная энергия деформации (пружина) 
| Энергия электрического поля (конденсатора)
| |
| Дифференциальные уравнения гармонических колебаний | ||
| 
| |
| 
| |
| решением этих уравнений являются выражения: | ||
х = А sin (ω0t + φ0) 
| q = q0 sin (ω0t + φ0)
| |
| Уравнения затухающих колебаний: | ||
| 
| |
| решением этих уравнений являются выражения: | ||
| x(t) = x0e-βt cos (ωt + φ0)
| q(t) = q0 e-βt cos (ωt + φ0)
| |
| Коэффициент затухания β = r/2m | β = R/2L | |
| Коэффициент сопротивления r | R | |
| Уравнения вынужденных колебаний: | ||
| 
| |
| х = А sin (ωt - φ0)
| q = q0 сos (ωt - φ0)
| |
Добротность пружинного маятника
| Добротность колебательного контура
| |
Для возбуждения и поддерживания электромагнитных колебаний используется колебательный контур – это цепь, состоящая из последовательно соединенных: катушки, конденсатора и сопротивления.
При свободных колебаниях происходит периодическое превращение электрической энергии W э, запасенной в конденсаторе, в магнитную энергию W м катушки и наоборот. Если в колебательном контуре нет потерь энергии, то полная электромагнитная энергия системы остается неизменной:
Все реальные контуры содержат электрическое сопротивление R. Процесс свободных колебаний в таком контуре уже не подчиняется гармоническому закону. За каждый период колебаний часть электромагнитной энергии, запасенной в контуре, превращается в джоулево тепло, и колебания становятся затухающими (рис.1).
|
Рисунок 1. Затухающие колебания в контуре.
Таким образом, затуханием колебаний называется постепенное ослабление колебаний с течением времени, обусловленное потерей энергии колебательной системой.
Затухание механических колебаний вызывается трением; в электрических колебательных системах – тепловыми потерями на активном сопротивлении R, а также потерями в диэлектриках и ферромагнетиках, вследствие гистерезиса.
Отношение амплитуд двух последующих затуханий называется декрементом затухания, а логарифм – логарифмическим декрементом затухания:
Ne – число колебаний, совершаемых за время уменьшения амплитуды в е раз.
Затухающие колебания в электрическом контуре аналогичны затухающим колебаниям груза на пружине при наличии вязкого трения, когда сила трения изменяется прямо пропорционально скорости тела: F тр = – rυ. Коэффициент r в этой формуле аналогичен сопротивлению R в электрическом контуре. сопротивления R контура. Интервал времени, в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в e ≈ 2,7 раза, называется временем затухания.
Колебания, возникающие под действием внешней периодически изменяющейся силы или э.д.с., называются вынужденными колебаниями.
Вынужденные колебания, в отличие от собственных колебаний в электрических цепях, являются незатухающими. Периодический внешний источник обеспечивает приток энергии к системе и не дает колебаниям затухать, несмотря на наличие неизбежных потерь.
Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающих колебаний w0 к частоте, равной или близкой к собственной частоте колебательной системы, называется резонансом. Резонансная частота равна
Где b = R/2L. При b 2 << w02 значение wрез практически совпадает с собственной частотой колебательной системы.
Добротность характеризует резонансные свойства колебательной системы, чем больше Q, тем больше Арез. (Чем меньше затухание, тем больше добротность Q).
Добротности Q любой колебательной системы, способной совершать свободные колебания, может быть дано энергетическое определение:
|
Добротность электрических контуров, применяемых в радиотехнике, обычно порядка нескольких десятков и даже сотен.
Переменный ток
Электрический ток, величина и направление которого изменяется во времени называется переменным.
В сеть с переменным напряжением, изменяющимся по закону 
, включают следующие элементы: активное сопротивление R, катушку индуктивности L, электроемкость C. Рассматриваемый контур может содержать как один элемент, так и группу элементов. В последнем случае опишем случаи последовательного и параллельного соединения элементов.
В этой теме строчными буквами обозначены мгновенные значения напряжения u, тока i, мощности p; прописными буквами с нижним индексом m – амплитудные значение соответствующих величин (Um, Im, Pm); прописными буквами без индекса – эффективные значения напряжения 
и тока 
, а также среднюю мощность переменного тока P.
Для мгновенных значений выполняются законы постоянного тока – закон Ома, правила Кирхгофа и закон Джоуля-Ленца. Требуется найти связь между амплитудными значениями тока и напряжения в рассматриваемом контуре, а также сдвиг фаз между током и напряжением.
Контур с активным сопротивлением
Применим II правило Кирхгофа: 
, откуда мгновенное значение силы тока 
, или 
. Следовательно,
, 
.
Условие 
означает, что ток и напряжение в одни и те же моменты времени принимают максимальные значения, в одни и те же моменты времени равны нулю. Зависимость тока и напряжения на активном сопротивлении изображены на графике.
Контур с электроемкостью
Применим II правило Кирхгофа: 
Из определения электроемкости 
следует, что 
Учитывая определение силы тока 
получим зависимость мгновенного значения силы тока от времени:
, или 
. Следовательно,
, 
.
Формулу 
можно записать в виде
,
который можно интерпретировать как закон Ома для участка цепи с электроемкостью. Здесь 
представляет емкостное сопротивление.
Условие означает, что синусоиды, изображающие зависимости силы тока и напряжения от времени, сдвинуты относительно друг друга на четверть периода, то есть ток по фазе опережает напряжение на 
.
Зависимость тока и напряжения на конденсаторе изображены на графике.
Контур с индуктивностью
При протекании по катушке переменного тока в ней возникает ЭДС самоиндукции 
Применим II правило Кирхгофа: 
, или 
. Из этого выражения следует, что
.
Интегрируя это уравнение, получим зависимость мгновенного значения силы тока от времени:
, или 
. Следовательно,
, 
.
Формулу 
можно записать в виде
,
который можно интерпретировать как закон Ома для участка цепи с индуктивностью. Здесь 
представляет индуктивное сопротивление.
Условие 
означает, что синусоиды, изображающие зависимости силы тока и напряжения от времени, сдвинуты относительно друг друга на четверть периода, то есть напряжение по фазе опережает ток на 
.
Зависимость тока и напряжения на индуктивности изображены на графике.
Емкостное и индуктивные сопротивления называют реактивными, сопротивление R - активным сопротивлением.
Реактивное сопротивление измеряют в тех же единицах, что и активное. Но между ними существует и принципиальное различие, а именно: только активное сопротивление определяет необратимые процессы в цепи, такие например, как преобразование электромагнитной энергии в джоулеву теплоту.
