Примеры выполнения задания Д-4

Пример Д- 4.1. Груз 1 массой , опускаясь вниз по наклонной плоскости, приводит во вращение барабан 2 ступенчатой формы (рис 3.95). К наружной ступени барабана прикреплена нить, соединяющая его с центром масс барабана 3, который катится без проскальзывания по наклонной плоскости под углом к горизонту . Массы груза 1, барабанов 2, 3 равны соответственно: m₁ = 5 кг; m₂ = 4 кг; m₃ = 1 кг. Радиус большой окружности R₂ = 0,3 м; радиус малой окружности r = 0,1 м; радиус барабана R₃ = 0,2 м; F ₁= 2(1+2 s) Н. Радиус инерции барабана Барабан 3 считать однородным цилиндром. На барабан 2 действует постоянный момент сил сопротивления .

Рис. 3.95. Расчетная схема к примеру Д-4.1

Определить угловую скорость барабана 3 при движении груза 1 в тот момент, когда пройденный путь станет равным: s = 2 м, если угол наклона плоскости к горизонту = 60°, коэффициент трения скольжения груза 1 по наклонной плоскости = 0,1. В начальный момент времени система находилась в покое.

Решение:

1. Рассмотрим движение неизменяемой механической системы, состоящей из тел 1, 2, 3, связанных нитями. Изобразим все действующие на систему внешние силы: активные момент сопротивления М ₂, реакции и силы трения и .

Для определения воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии системы

2. Определяем Т ₀ и T. Так как в начальный момент система находилась в покое, то T ₀ = 0. Величина Т равна сумме энергий всех тел системы:

. (3.42)

Учитывая, что тело 1 движется поступательно, тело 2 вращается вокруг неподвижной оси z, тело 3 движется плоскопараллельно, получим:

Все входящие в вышеприведенные равенства скорости следует выразить через искомую . Приняв во внимание, что Р – мгновенный центр скоростей барабана 3, получим:

; ; .

Моменты инерции имеют значения , .

Подставив все величины в равенство 3.42 будем иметь:

. (3.43)

3. Так как система не изменяемая, то Найдем сумму работ, действующих внешних сил, при перемещении груза 1 на s. В результате получим:

Работа остальных сил равна нулю. Тогда сумма работ внешних сил

(3.44)

4. Подставив выражения (3.43) и (3.44) в уравнение, выражающее теорему об изменение кинетической энергии (3.40), получим:

Подставив числовые значения величин, входящих в данное равенство, имеем:

Отсюда находим искомую угловую скорость:

с^-1.

Ответ: с^-1.

Пример Д-4.2. Дано:

В качестве механической системы рассмотрим тела 1, 2 и 3 (рис. 3.96) и применим к ней теорему об изменении кинетической энергии механической системы в интегральной форме:

.

Поскольку нить нерастяжима, а колеса не проскальзывают относительно друг друга, то Следовательно,

.

Соотношение между скоростями точек и угловыми скоростями тел не зависит от положения механической системы. Изобразим механическую систему в промежуточном положении и приложим все внешние силы, включая реакции связей.

Вычислим работу внешних сил . Силы тяжестей колес и реакций осей колес работу не совершают, так как точки их приложения неподвижны (рис. 3.96). Силы являются внутренними, поэтому

.

Рис. 3.96. Расчетная схема к примеру Д-4.2

Учитывая, что связь между перемещениями аналогично связи между скоростями, выразим через h:

Тогда

Вычислим кинетическую энергию механической системы. Учитывая, что тела 1 и 2 совершают вращательное движение, а 3 - поступательное, получим:

Выразим и через :

, .

Тогда

Подставив полученные Т₁, Т₂ и в (3.40), получим:

При известной угловой скорости найдем и окончательно получим:

Подставляя известные величины, найдем

Ответ:

Задание Д-5. Общее уравнение динамики

3.5.1 Применение принципа Даламбера – Лагранжа

Механическая система состоит из ступенчатых шкивов 4 и 5 весом Р ₄ и Р ₅ с радиусом ступеней R ₄= R, r ₄=0,5 R, R ₅=0,8 R, r ₅=0,4 R (массу каждого шкива считать равномерно распределенной по его внешнему ободу), грузов 1 и 2 и сплошного однородного цилиндра катка 3, весом Р ₁, Р ₂, Р ₃ (рис. 3.97-3.126). Тела системы соединены нитями, намотанными на шкивы; участки нитей параллельны соответствующим плоскостям. Система движется в вертикальной плоскости под действием силы тяжести и постоянной силы Коэффициент трения скольжения грузов о плоскость f = 0,1, катки катятся без проскальзывания, трением качения пренебречь. Определить ускорение груза, имеющего больший вес. Сила F, и вес всех тел заданы в ньютонах (табл.11).

Таблица 10

Данные к заданиям Д-5, Д-6

Вариант	Р ₁	Р ₂	Р ₃	Р ₄	Р ₅	F
	3 Р	4 Р	2 Р	3 Р	2 Р	18 Р
	4 Р	2 Р	2 Р	Р	2 Р	16 Р
	6 Р	5 Р	4 Р	2 Р	Р	30 Р
	3 Р	3 Р	Р	2 Р	Р	15 Р
	3 Р	4 Р	2 Р	3 Р	2 Р	16 Р
	2 Р	3 Р	Р	2 Р	3 Р	15 Р
	8 Р	6 Р	4 Р	3 Р	2 Р	40 Р
	5 Р	Р	2 Р	Р	3 Р	28 Р
	3 Р	Р	Р	2 Р	3 Р	15 Р
	2 Р	3 Р	Р	Р	2 Р	17 Р


Рис. 3.97	Рис. 3.98

Рис. 3.99	Рис. 3.100

Рис. 3.101	Рис. 3.102

Рис. 3.103	Рис. 3.104

Рис. 3.105	Рис. 3.106

Рис. 3.107	Рис. 3.108

Рис. 3.109	Рис. 3.110

Рис. 3.111	Рис. 3.112

Рис. 3.113	Рис. 3.114
Рис. 3.115	Рис. 3.116

Рис. 3.117	Рис. 3.118

Рис. 3.119	Рис. 3.120

Рис. 3.121	Рис. 3.122

Рис. 3.123	Рис. 3.124

Рис. 3.125	Рис. 3.126